正余弦定理练习有难度

【典型例题】例题1：例题：在ABC中，A、B、C所对的边长分别为a、b、c，设a、b、c满足条件b2c2bca2和

cb

12

3，求A和tanB的值．练习：在1ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2－c2＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinC，求b.例题2：ABC中，A

3

，BC＝3，则ABC的周长为（）

3

6C．

3

D．

61A．43sinB3B．43sinBA．43sinB3B．43sinB36sinB36sinB3练习：在2ABC中，A＝60°，b＝1，SABC

3，求

abcsinAsinBsinC

的值.例题3：△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c,如果a2bbc,求证:A2B.练习3：在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，tanCtanC=____。tanAtanB

ba

ab

6cosC，则2例题：在4ABC中，BC=a，顶点A在平行于BC且与BC相距为a的直线上滑动，求的取值范围.

ABAC练习：在4ABC中，c

62，C＝30°，求a＋b的最大值。例题5：是否存在三边为连续自然数的三角形，使得最大角是最小角的两倍？3练习5：若a，b，c是三角形的三边长，证明长为a,b,c的三条线段能构成锐角三角形。例题：下列条件中，6ABC是锐角三角形的是（

）A.sinAcosA

15

C.tanAtanBtanC0

D.b3,c33,B30练习：在6ABC中，sinA=

sinBsinCcosBcosC

，判断这个三角形的形状.4B.ABBC0B.ABBC0例题7：如果ABC的三个内角的余弦值分别等于ABC的三个内角的正弦值，则111222（

）A．ABC和ABC都是锐角三角形111222B．ABC和ABC都是钝角三角形111222C．ABC是钝角三角形，ABC是锐角三角形111222D．ABC是锐角三角形，ABC是钝角三角形111222练习7：若

sinAa

cosBb

cosCc

则△ABC为（

）A．等边三角形C．有一个内角为30°的直角三角形

B．等腰三角形D．有一个内角为30°的等腰三角形例题：已知8ABC中，22（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，外接圆半径为2.则△ABC面积的最大值为__________.532a2b2例题：9ABC的三边长为a、b、c，对应的三内角为A、B、C，求证：c2

sin(AB)sinC

.练习：9ABC的三边长为a、b、c，对应的三内角为A、B、C，求证：a2sin2Bb2sin2A2absinC.6练习：在8ABC中，练习：在8ABC中，2b＝a＋c，∠B＝30°，△ABC的面积为，那么b等于________．例题10：如图3，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9nmile并以20nmile/h的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28nmile/h的速度航行，应沿什么方向，用多少h能尽快追上乙船？北A

45°B15°C练习10：(A)已知A码头在B码头的南偏西75处，两码头相距200千米，甲、乙两船同时分别由A码头和B码头出发，乙船朝着西北方向航行，乙船的航行速度为40海里/小时，如果两船出发后5小时相遇，求甲船的速度。（1海里=1.852千米）（精确到0.1海里）(B)甲船在A点发现乙船在北偏东60的B点处，测的乙船以每小时a海里的速度向正北行使。已知甲船速度是每小时3a海里，问：甲船如何行驶才能最快与乙船相遇？7例题11：某城市有一条公路，自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB，现要修建一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，现要求市中心O与AB的距离为10km，问把A、B分别设在公路上离中心O多远处才能使|AB|最短?并求其最短距离.BLA

O练习11：如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米后，又从B点测得斜度为45°，设建筑物的高为50米．求此山对于地平面的斜度的倾斜角．C8

A

15

45B

DE正余弦定理练习知识点1、斜三角形中各元素间的关系：在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边.(1)三角形内角和：A＋B＋C＝π.(2)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.asinA

bsinB

csinC

2R.(R为外接圆半径)公式的变形：(1)a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC(2)sinA

a2R

,sinB

b2R

,sinC

c2R

,(3)a:b:csinA:sinB:sinC

(4)

asinA

ba,sinBsinA

cc,sinCsinC

bsinB2、利用正弦定理解三角形使,经常用到:①ABC②sin(A

B)sinC,cos(AB)-cosC③S

abc

12

absinC在ABC中，已知a,b,A，讨论三角形解的情况3、余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.a2b2c22bccosA,

b2c2a22bca2c2b22aca2b2c22ab

,,.cosAb2a2c22accosB,cosBcosAb2a2c22accosB,cosBc2a2b22abcosC.cosC1．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知4bcosBsinC3c，则B(

)A．

6

或

56

B．

4

C．

3

D．

6

或

32．在ABC中，已知A60，a23,b2，则B(

)A．30

B．60

C．30或150

D．60或1203．在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，它的面积为等于()

b2c2a24

，则角AA．30

B．45

C．60

D．904．在锐角ABC中，C为最大角，且sinA:sinB:sinC2:(1k):2k，则实数k的取值范围是(

)A．(1，3]

B．(1,3)

53

535．在锐角三角形ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a2，且2

)A．(

255

,2)

23

C．(

2523,53

)

22333

)6．在ABC中，已知sinAsinBcosC，则该三角形的形状是(

)A．等边三角形C．等腰三角形

B．直角三角形D．等腰直角三角形uuuruuur7．在ABC中，若AB4，BC22，且BAgBC8，则AC等于(

)A．42

B．4

C．22

D．2108．已知ABC的三边长分别为a，b，c，面积为S，且a2b2c243S，c1，则3ba的最大值为(

)A．3

B．2

C．3

D．29．已知平面四边形ABCD中，BAD120，BCD60，ABAD2，则AC的最大值为

．10．在ABC中，若a2，cosB

22

，ABC的面积为1，则b

．11．在ABC中，2acosAbcosCccosB0，则角A的大小为

．C．(1,)D．(1，]cos(A)sin(BC)2sin(2C)，则c的取值范围为(B．(,2)DC．(1,)D．(1，]cos(A)sin(BC)2sin(2C)，则c的取值范围为(B．(,2)D．(,12．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则满足a10，b18，A30的三角形解的个数是

．13．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(ab):(ac):(bc)9:10:11，则下列结论正确的是①sinA:sinB:sinC4:5:6；②ABC是钝角三角形；③ABC的最大内角是最小内角的2倍；④若c6，则ABC外接圆半径为

87714．在下列情况中三角形解的个数唯一的有①a8，b16，A30；②b18，c20，B60；③a5，c2，A90；④a30，b25，A150．

．15．在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知c

72

，ABC的面积为

332

，又tanAtanB3(tanAtanB1)．则ab的值为

．16．ABC中C

3

，AB2，则ABC的周长的最大值为

．17．对于ABC，有如下四个命题：①若sin2Asin2B，则ABC为等腰三角形；②若sinBcosA，则ABC是直角三角形；③若sin2Asin2Bsin2C，则ABC是锐角三角形；④若

acos

A2

bcos

B2

ccos

C2

，则ABC是等边三角形．其中正确的命题个数是

．18．在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且(2ac)cosBbcosC．（1）求角B的大小；（2）若b6，a2，求ABC的面积．19．已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，cosC3sinC（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a3，求ABC周长的取值范围．

bca

．20．如图，在ABC中，AB4cm，AC3cm，角平分线AD2cm，求此三角形面积．21．在ABC中，B60，且tanAtanC23，求角A，C的度数．22．ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且1

tanAtanB

2cb

．（1）求角A；（2）若a7，且ABC的面积为

332

，求bc的值（3）若a2，求bc的取值范围．23．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2C2cos2（1）求角C的大小；（2）若b23a2c2，求tanB的大小．

AB2

10，正余弦定理练习参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知4bcosBsinC3c，则B()A．

6

或

56

B．

4

C．

3

D．

6

或

3【解答】解：由4bcosBsinC3c，得4sinBcosBsinC3sinC，sin2B

32

，2B

3

或

23

，B

6

或

3

，故选：D．2．在ABC中，已知A60，a23,b2，则B(

)A．30

B．60

C．30或150

D．60或120【解答】解：因为A60，a23,b2，

asinA

bsinB

sinB

bsinAa

2sin6023

12

；可得B30或150Qab，可得ABB150不符合题意，舍去．可得B30；故选：A．3．在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，它的面积为等于()

b2c2a24

，则角AA．30

B．45

C．60

D．90【解答】解：QABC的面积为S

b2c2a24

1bcsinA，2

2bccosA4

12QA(0,180)，A45．bcsinA，可得cosAsinA，即tanA1，bcsinA，可得cosAsinA，即tanA1，正弦定理练习题1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于(

)A.6

B.2

C.3

D．262．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于(

)A．42

B．43

C．46

32D.3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°，a＝43，b＝42，则角B为(

)A．45°或135°

B．135°

C．45°

D．以上答案都不对4．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于(

)A．1∶5∶6

B．6∶5∶1

C．6∶1∶5

D．不确定5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c＝(

)A．1

1B.

C．2

1D.cosAcosBa

)A．等腰三角形B．等边三角形

C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形7．已知△ABC中，AB＝3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积为(

)A.

32

B.

34

C.

32

D.

34

或

328．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c＝2，b＝6，B＝120°，则a等于(

)A.6

B．2

C.3

D.2π3．在10ABC中，已知a＝

433

，b＝4，A＝30°，则sinB＝________.．在11ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，则a＋c＝________.．在12ABC中，a＝2bcosC，则△ABC的形状为________．a＋b＋c＝________，c＝________.a－2b＋c．已知14中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，a＝1，则＝________.1．在15中，已知a＝32，cosC＝3，S△ABC＝43，则b＝________.3246．在△ABC中，若＝，则b是(或39．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝1，c＝3，C＝，则A＝________.．在13ABC中，3246．在△ABC中，若＝，则b是(或39．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝1，c＝3，C＝，则A＝________.．在13ABC中，A＝60°，a＝63，b＝12，SABC＝183，则sinA＋sinB＋sinCsinA－2sinB＋sinCABCABC．在16ABC中，b＝43，C＝30°，c＝2，则此三角形有________组解．17．如图所示，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后船到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？CC1224A219．(高考四川卷在)ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且35

1010

.(1)求A＋B的值；(2)若a－b＝2－1，求a，b，c的值．．20ABC中，ab＝603，sinB＝sinC，△ABC的面积为153，求边b的长．余弦定理练习题．在18ABC中，a、b、c分别为角A、B、C．在18ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a＝23，sincos＝，sinBsinC＝cos2，求A、B及b、c.cos2A＝，sinB＝13

)A．6

B．26

C．36

D．462．在△ABC中，a＝2，b＝3－1，C＝30°，则c等于(

)A.3

B.2

C.5

D．23．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋3bc，则∠A等于(

)A．60°

B．45°

C．120°

D．150°4．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，则∠B的值为(

)πA.

πB.

π5π66

π2π335．在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，则acosB＋bcosA等于(

)A．a

B．b

C．c

D．以上均不对6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为(

)A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．由增加的长度决定→→→→

)A．2

B．－2

C．4

D．－48．在△ABC中，b＝3，c＝3，B＝30°，则a为(

)A.3

B．23

C.3或23

D．29．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．．10ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．11．已知a、b、c是△ABC的三边，S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝53，则边c的值为________．．在12ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则cosA∶cosB∶cosC＝________.1．在13中，a＝32，cosC＝3，SABC＝43，则b＝________.→→．已知15ABC的三边长分别是a、b、c，且面积S＝

a2＋b2－c2416．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．．在17ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，且2cos(A＋B)＝1，1．在△ABC中，如果BC＝6，AB＝4，cosB＝，那么AC等于(63C.或D.或7．已知锐角三角形ABC中，|AB|＝4，|AC|＝，1．在△ABC中，如果BC＝6，AB＝4，cosB＝，那么AC等于(63C.或D.或7．已知锐角三角形ABC中，|AB|＝4，|AC|＝，1ABC的面积为3，则AB·AC的值为(．已知14ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，AC＝6，则AB·BC的值为________．ABC，则角C＝________.求AB的长．教师姓名

学生姓名

填写时间．已知18ABC的周长为2＋1，且sinA＋sinB＝2sinC.(1)求边AB的长；(2)若△ABC的16π4．在20ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，确定△ABC的形状．个性化教案面积为sinC，求角C的度数．．在19面积为sinC，求角C的度数．．在19ABC中，BC＝5，AC＝3，sinC＝2sinA.(1)求AB的值；(2)求sin(2A－)的值．学科

数学

年级

上课时间课题名称

正余弦定理解三角形1．正、余弦定理解三角形．

课时计划教学目标教学重点

2．正、余弦定理判断三角形的形状以及计算三角形的面积．3.正余弦定理的实际应用（灵活运用）1．掌握利用正、余弦定理解任意三角形的方法．难

点

2．正、余弦定理判断三角形的形状以及计算三角形的面积．【知识梳理】abc1．正弦定理：sinA＝sinB＝sinC＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；abc(3)sinA＝2R，sinB＝2R，sinC＝2R等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可以变形为：cosA＝

b2＋c2－a22bc

a2＋c2－b22ac

a2＋b2－c2.3．

SABC

111abc1＝2absinC＝2bcsinA＝2acsinB＝4R＝2(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.π，故有sinA>0sinA＝sin(B+C)，cosA＝－cos(B+C)5.三角形大边对大角，或者说大角对大边。即：若a>b,A>B,sinA>sinB知一推二6.正弦值(不是1)的情况下，对应角度有两个，而余弦值与角度一一对应。【常考考点】1．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法．2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状以及计算三角形的面积．3.正余弦定理的实际应用（灵活运用）【解题关键】1．三角函数及三角恒等变换的基础．，cosB＝，cosC＝2ab，cosB＝，cosC＝2ab2．正弦定理、余弦定理实现边角互化。通过正、余定理变形技巧实现三角形中的边角转换，解题过程中做到正余弦定理的正确选择）．3.能利用三角形的判定方法准确判断解三角形的情况。4.三角形的边角关系（大边对大角）、三角形内角和180度。5．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则图形

A为锐角

A为钝角或直角关系式解的个数

a＜bsinA无解

a＝bsinA一解

bsinA＜a＜b两解

a≥b一解

a＞b一解

a≤b无解【一条规律】在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB.【两类问题】在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角．【两种途径】根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．双基自测1．(人教A版教材习题改编在)ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于(

)．A．52

B．102（（106C.3

D．56解析

由A＋B＋C＝180°，知C＝45°，ac由正弦定理得：sinA＝sinC，即

103

＝

c2

106.∴c＝3.2答案

2CsinAcosB．在2ABC中，若a＝b，则B的值为(

)．A．30°

B．45°

C．60°

D．90°解析

由正弦定理知：sinAcosBsinA＝sinB，∴sinB＝cosB，∴B＝45°.答案

B3．(2011·郑州联考在)ABC中，a＝3，b＝1，c＝2，则A等于(

)．A．30°

B．45°

C．60°

D．75°解析

由余弦定理得：cosA＝

b2＋c2－a21＋4－31＝∵0＜A＜π，∴A＝60°.答案

C．在4ABC中，a＝32，b＝23，cosC＝3，则1ABC的面积为(

)．A．33

B．23

C．43

D.3解析

1∵cosC＝3，0＜C＜π，22∴sinC＝3，∴S

△ABC

1＝2absinC122＝2×32×23×3＝43.答案

C＝2，2bc2×1×2＝2，2bc2×1×2．已知5ABC三边满足a2＋b2＝c2－3ab，则此三角形的最大内角为________．解析

∵a2＋b2－c2＝－3ab，a2＋b2－c232ab故C＝150°为三角形的最大内角．答案考点一

150°利用正弦定理解三角形【例1】在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°.求角A，C和边c.[审题视点]已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的判断．解

ab32由正弦定理得sinA＝sinB，sinA＝sin45°，3∴sinA＝2.∵a＞b，∴A＝60°或A＝120°.当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，bsinCc＝sinB＝

6＋22

；当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，bsinCc＝sinB＝

6－22

.(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．π【训练1】(2011·北京)在△ABC中，若b＝5，∠B＝4，tanA＝2，则sinA＝________；a＝________.解析

因为△ABC中，tanA＝2，所以A是锐角，sinA且cosA＝2，sin2A＋cos2A＝1，＝－2，∴cosC＝＝－2，∴cosC＝25联立解得sinA＝5，ab再由正弦定理得sinA＝sinB，代入数据解得a＝210.答案

255

210考点二

利用余弦定理解三角形cosB【例2】在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cosC＝－

b

.(1)求角B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝，求4ABC的面积．cosB[审题视点]由cosC＝－

b

，利用余弦定理转化为边的关系求解．解

a2＋c2－b22accosC＝

a2＋b2－c2.cosB将上式代入cosC＝－

b

得：a2＋c2－b22ab

＝－

b

，整理得：a2＋c2－b2＝－ac.a2＋c2－b2－ac12ac2∵B为三角形的内角，∴B＝3π.(2)将b＝13，a＋c＝4，2得b2＝(a＋c)2－2ac－2accosB，2a＋c2a＋c(1)由余弦定理知：cosB＝，2ab2a＋c·22aca＋b2－c22a＋c＝2a＋c2a＋c(1)由余弦定理知：cosB＝，2ab2a＋c·22aca＋b2－c22a＋c＝2ac＝－2.∴cosB＝B＝3π代入b2＝a2＋c2－2accosB，1∴

SABC

133＝2acsinB＝4.(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．【训练2】已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，A且2cos22＋cosA＝0.(1)求角A的值；(2)若a＝23，b＋c＝，求4ABC的面积．解

A(1)由2cos22＋cosA＝0，得1＋cosA＋cosA＝0，1即cosA＝－2，∵0＜A＜π，∴A＝

2π.2π(2)由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA，A＝3，则a2＝(b＋c)2－bc，又a＝23，b＋c＝4，有12＝42－bc，则bc＝4，故

SABC

1＝2bcsinA＝3.考点三

利用正、余弦定理判断三角形形状【例3】在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC，试判断△ABC的形状．[审题视点]首先边化角或角化边，再整理化简即可判断．解

由已知(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC，得b2[sin(A－B)＋sinC]＝a2[sinC－sin(A－B)]，即b2sinAcosB＝a2cosAsinB，即sin2BsinAcosB＝sin2AcosBsinB，所以sin2B＝sin2A，∴13＝16－2ac1－2，∴ac＝∴13＝16－2ac1－2，∴ac＝3.3由于A，B是三角形的内角．故0＜2A＜2π，0＜2B＜2π.故只可能2A＝2B或2A＝π－2B，π即A＝B或A＋B＝2.故△ABC为等腰三角形或直角三角形．判断三角形的形状的基本思想是；利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．abc【训练3】在△ABC中，若cosA＝cosB＝cosC；则△ABC是(

)．A．直角三角形C．钝角三角形

B．等边三角形D．等腰直角三角形解析

由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(R为△ABC外接圆半径)．sinAsinBsinC∴cosA＝cosB＝cosC.即tanA＝tanB＝tanC，∴A＝B＝C.答案考点四

B

正、余弦定理的综合应用π【例3】在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝3.(1)若△ABC的面积等于3，求a，b；(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2，求AABC的面积．[审题视点]第(1)问根据三角形的面积公式和余弦定理列出关于a，b的方程，通过方程组求解；第(2)问根据sinC＋sin(B－A)＝2sin2A进行三角恒等变换，将角的关系转换为边的关系，求出边a，b的值即可解决问题．解

(1)由余弦定理及已知条件，得a2＋b2－ab＝4.1a2＋b2－ab＝4，又因为△ABC的面积等于3，所以2absinC＝3，得ab＝4，联立方程组ab＝4，a＝2，解得b＝2.(2)由题意，得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，即sinBcosA＝2sinAcosA.ππ当cosA＝0，即A＝2时，B＝6，4323a＝3，b＝3；当cosA≠0时，得sinB＝2sinA，由正弦定理，得b＝2a.a2＋b2－ab＝4，联立方程组b＝2a，解得

33123所以△ABC的面积S＝2absinC＝3.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式对任意三角形都成立，通过这些等式就可以把有限的条件纳入到方程中，通过解方程组获得更多的元素，再通过这些新的条件解决问题．【训练3】(2011·北京西城一模设)ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cos4B＝5，b＝2.(1)当A＝30°时，求a的值；(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．解

43(1)因为cosB＝5，所以sinB＝5.a＝23，b＝43.a＝23，b＝43.aba10由正弦定理sinA＝sinB，可得sin30°＝3，5所以a＝3.13253所以10ac＝3，ac＝10.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，8得4＝a2＋c2－5ac＝a2＋c2－16，即a2＋c2＝20.所以(a＋c)2－2ac＝20，(a＋c)2＝40.所以a＋c＝210.阅卷报告4——忽视三角形中的边角条件致错【问题诊断】考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件.,【防范措施】解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件.【示例】(2011·安徽)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝3，b＝2，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高．错因实录

忽视三角形中“大边对大角”的定理，产生了增根．由1＋2cos(B＋C)＝0，1π知cosA＝2，∴A＝3，ab根据正弦定理sinA＝sinB得：bsinA2π3πa以下解答过程略．正解

∵在△ABC中，cos(B＋C)＝－cosA，π∴1＋2cos(B＋C)＝1－2cosA＝0，∴A＝3.(2)因为△ABC的面积S＝ac·sinB，sinB＝，＝2，∴B＝4或4.sin(2)因为△ABC的面积S＝ac·sinB，sinB＝，＝2，∴B＝4或4.sinB＝ab在△ABC中，根据正弦定理sinA＝sinB，bsinA2aπ5∵a＞b，∴B＝4，∴C＝π－(A＋B)＝12π.∴sinC＝sin(B＋A)＝sinBcosA＋cosBsinA2123＝2×2＋2×2＝

6＋24

.∴BC边上的高为bsinC＝2×

6＋24

＝

3＋12

.【试一试】△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a.b(1)求a；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.[尝试解答]

(1)由正弦定理得，sin2AsinB＋sinBcos2A＝2sinA，即sinB(sin2A＋cos2A)＝2sinA.b故sinB＝2sinA，所以a＝2.(2)由余弦定理和c2＝b2＋3a2，得cosB＝

1＋3a2c

.由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋3)a2.可得

cos2B＝

122，