水利工程测量测量误差及数据处理的基本知识内容丰富

水利工程测量

第6章

测量误差及数据处理的基本知识主讲教师：高飞5/26/2023

1合肥工业大学第6章测量误差及数据处理的基本知识

§6.1概述§6.2测量误差的种类§6.3偶然误差的特性及其概率密度函数§6.4衡量观测值精度的指标§6.5误差传播定律§6.6同精度直接观测平差§6.7不同精度直接观测平差§6.8最小二乘法原理及其应用

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2合肥工业大学

◆测量与观测值

◆观测与观测值的分类

●观测条件

●等精度观测和不等精度观测

●直接观测和间接观测

●独立观测和非独立观测§6.1测量误差概述5/26/2023

3合肥工业大学§6.1测量误差概述

◆测量误差及其来源●测量误差的来源（1）仪器误差：仪器精度的局限、轴系残余误差等。（2）人为误差：判断力和分辨率的限制、经验等。（3）外界条件的影响：温度变化、风、大气折光等

●

测量误差的表现形式

●

测量误差（真误差=观测值-真值）（观测值与真值之差）（观测值与观测值之差）5/26/2023

4合肥工业大学例：误差处理方法

钢尺尺长误差ld

计算改正

钢尺温度误差lt

计算改正

水准仪视准轴误差I

操作时抵消(前后视等距)

经纬仪视准轴误差C

操作时抵消(盘左盘右取平均)

…………2.系统误差

——误差出现的大小、符号相同，或按规律性变化，具有积累性。●系统误差可以消除或减弱。

(计算改正、观测方法、仪器检校)测量误差分为：粗差、系统误差和偶然误差§6.2测量误差的种类1.粗差(错误)——超限的误差5/26/2023

5合肥工业大学3.偶然误差——误差出现的大小、符号各不相同，表面看无规律性。

例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致观测值产生误差。

●准确度(测量成果与真值的差异）

●最或是值（最接近真值的估值，最可靠值）

●测量平差（求解最或是值并评定精度）4.几个概念:

●精（密）度（观测值之间的离散程度）5/26/2023

6合肥工业大学举例:

在某测区，等精度观测了358个三角形的内角之和，得到358个三角形闭合差i(偶然误差，也即真误差)，然后对三角形闭合差i

进行分析。

分析结果表明，当观测次数很多时，偶然误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而且，观测次数越多，规律性越明显。§6.3偶然误差的特性5/26/2023

7合肥工业大学5/26/2023

8合肥工业大学用频率直方图表示的偶然误差统计：频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近，对称于y轴。频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区间的频率k/n，而所有条形的总面积等于1。各条形顶边中点连线经光滑后的曲线形状，表现出偶然误差的普遍规律

图6-1误差统计直方图5/26/2023

9合肥工业大学◆从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误差的四个特性：特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性(4)具有实用意义。

3.偶然误差的特性(1)在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值(有界性)；(2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多(趋向性)；(3)绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等(对称性)；(4)当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零

(抵偿性)：5/26/2023

10合肥工业大学偶然误差具有正态分布的特性当观测次数n无限增多(n→∞)、误差区间d无限缩小(d→0)时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线，这条曲线称为“正态分布曲线”，又称为“高斯误差分布曲线”。所以偶然误差具有正态分布的特性。图6-1误差统计直方图5/26/2023

11合肥工业大学1.方差与标准差

由正态分布密度函数式中、为常数；

=2.72828…x=y正态分布曲线(a=0)令：

，上式为：§6.4衡量精度的指标5/26/2023

12合肥工业大学标准差的数学意义表示的离散程度x=y较小较大称为标准差：上式中，称为方差：5/26/2023

13合肥工业大学测量工作中，用中误差作为衡量观测值精度的标准。中误差:观测次数无限多时，用标准差表示偶然误差的离散情形：上式中，偶然误差为观测值与真值X之差：观测次数n有限时，用中误差m表示偶然误差的离散情形：i=i-

X5/26/2023

14合肥工业大学5/26/2023

15合肥工业大学

m1小于m2,说明第一组观测值的误差分布比较集中，其精度较高；相对地，第二组观测值的误差分布比较离散，其精度较低：

m1=2.7是第一组观测值的中误差；

m2=3.6是第二组观测值的中误差。5/26/2023

16合肥工业大学2.容许误差(极限误差)

根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间d内的概率为：误差出现在K倍中误差区间内的概率为：

将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：

P(||m)=0.683=68.3P(||2m)=0.954=95.4P(||3m)=0.997=99.7测量中，一般取两倍中误差(2m)作为容许误差，也称为限差：|容|=3|m|或|容|=2|m|5/26/2023

17合肥工业大学

3.相对误差(相对中误差)

——误差绝对值与观测量之比。

用于表示距离的精度。用分子为1的分数表示。分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。

K2<K1，所以距离S2精度较高。例2：用钢尺丈量两段距离分别得S1=100米,m1=0.02m；S2=200米,m2=0.02m。计算S1、S2的相对误差。

0.0210.021

K1=——=——；K2=——=——

100500020010000解：5/26/2023

18合肥工业大学一.一般函数的中误差令的系数为，(c)式为：由于和是一个很小的量，可代替上式中的和：

(c)代入(b)得对(a)全微分：(b)设有函数：为独立观测值设有真误差，函数也产生真误差(a)§6.5误差传播定律5/26/2023

19合肥工业大学对Z观测了k次，有k个式(d)对(d)式中的一个式子取平方：（i，j=1~n且i≠j）(e)对K个(e)式取总和：(f)5/26/2023

20合肥工业大学(f)(f)式两边除以K，得(g)式：(g)由偶然困误差的槽抵偿性钢知：(g恭)式最后肆一项极深小于前狮面各项菌，可忽颈略不摔计，则：<<前面各项即(h蛇)5/炒5/勺20诱2321合肥辆工业香大学(h)考虑呀，代无入上式旗，得中饿误差关织系式：(6-锅10)上式绍为一般函泛数的中纵误差公怖式，也碗称为误差传淋播定律。5/5胃/20阵2322合肥工延业大学通过以音上误差故传播定抚律的推霜导，我加们可以械总结辱出求观诸测值社函数升中误脊差的租步骤：1.列出函尊数式；2.对函义数式岂求全房诚微分距；3.套用误没差传播煎定律，雁写出中拨误差公结式。5/牺5/贼20裕2323合肥工谨业大学1.倍数函数的中误差

设有函数式(x为观测值，K为x的系数)全微分得中误差式例：量得地形图上两点间长度=168.5mm0.2mm,计算该两点实地距离S及其中误差ms解：列函数式求全微分中误差式二.几种常屠用函数掘的中误得差5/恒5/镜20牵2324合肥贷工业搅大学2.线性落函数妥的中篮误差设有函数式

全微分

中误差式例：设有某线性函数其中、、分别为独立观测值，它们的中误差分别为求Z的中误差。解：对上式全微分：由中误差式得：5/5晶/20填2325合肥工蹄业大学

函数式全微分中误差式3.算术技平均良值的凯中误帖差式由于等精度观测时，，代入上式：得由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中误差缩小了倍。

●对某观既测量进瓜行多次车观测(多余盗观测)取平均题，是提高领观测成晕果精度下最有效争的方法盆。5/5争/20锤2326合肥睬工业采大学4.和或钟差函的数的悔中误顶差

函数式：

全微分：

中误差式：当等精度观测时：上式可写成：例：测定A、B间的高差，共连续测了9站。设测量每站高差的中误差，求总高差的中误差。

解：

5/5鉴/20凉2327合肥工饥业大学观测盐值函钥数中甘误差指公式赚汇总

观测值函数中误差公式汇总

函数式函数的中误差一般函数倍数函数

和差函数

线性函数

算术平均值

5/砖5/殿20谊2328合肥工堤业大学误差传首播定律仍的应用用DJ教6经纬仪酷观测三笑角形内裤角时，赛每个内患角观测4个测吓回取伐平均南，可郊使得阿三角览形闭烛合差m15。例1：要求三角形最大闭合差m15，问用DJ6经纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？ƒ=(1+2+3)-180解：由题意：2m=15,则m=7.5每个角的测角中误差：由于DJ6一测回角度中误差为：由角度测量n测回取平均值的中误差公式：5/淋5/饮20哄2329合肥工网业大学误差传顶播定律嫩的应用例2：试用倒中误差诊传播定族律分析畏视距测胡量的精敲度。解:(1摊)测量水升平距离呜的精度基本公职式：求全画微分盼：水平距樱离中误遍差：其中：5/恢5/渔20管2330合肥工芽业大学误差首传播朋定律刺的应灾用例2：试用挖中误差染传播定半律分析窑视距测龄量的精金度。解:(勤2)测量蛙高差荡的精挠度基本公么式：求全压微分驻：高差雄中误村差：其中：5/5完/20处2331合肥工商业大学误差斯传播荡定律恳的应度用例3:(1袭)用钢耳尺丈递量某愈正方乏形一戒条边肠长为求该魔正方凭形的周长S和面积A的中误亚差.解:(也1)周长,(2)用钢婚尺丈爆量某卡正方兵形四司条边蒙的边藏长为其中:求该正摸方形的周长S和面积A的中禾误差.面积,周长的贴中误差叼为全微分:面积的往中误差磨为全微仁分:5/爆5/乱20讯2332合肥工货业大学解:(1上)周长绑和面尘积的准中误查差分升别为例3:(2僵)用钢尺希丈量某棕正方形温四条边剪的边长酱为其中:求该正扶方形的周长S和面积A的中误陕差.(2构)周长;周长问的中局误差声为面积得周唇长的零中误经差为全微允分:但由岗于5/5碍/20哭2333合肥工蛋业大学▓观测跨值的盗算术革平均扔值(最或历是值)▓用观随测值环的改尤正数v计算肚观测猾值的霞中访误差(即:白塞召尔公参式)§6望.6同（等榴）精度初直接观残测平差5/掘5/商20善2334合肥工朴业大学一.观测值督的算术平视均值(最或是聋值、最肥可靠值)证明算术平均值为该量的最或是值：

设该量的真值为X，则各观测值的真误差为1=1-

X2=2-

X

······

n=n-

X对某未知量进行了n次观测，得n个观测值1,2,···,n,则该量的算术平均值为：x==1+2+···+nnn上式等号两边分别相加得和：L=5/吨5/像20棋2335合肥送工业吗大学当观测无限多次时：得两边除以n：由当观测稼次数机无限业多时况，观达测值技的算等术平延均值沃就是欲该量的真膊值；当观测次达数有限漆时，观护测值的算术平坑均值最碗接近鸣真值。所嫩以，绞算术螺平均轻值是最或是砍值。L≈X5/5辫/20木2336合肥工败业大学观测值兵改正数匀特点二.观测渣值的羽改正味数v：以算术樱平均值船为最或巩是值，释并据此斧计算各叔观测值柳的改正券数v，符合[vv销]=m淘in的“最小二润乘原则”。Vi=L姑-i(i浪=1阔,2菌,·碍··洪,n汤)特点1——改正数总和为零：对上式取和：以代入：通常用于计算检核L=nv=nL-

nv

=n-=0v

=0特点2——[vv]符合“最小二乘原则”：则即vv=(x-)2=min=2(x-)=0dvvdx∵(x-)=0nx-=0x=n5/豆5/目20糖2337合肥牲工业终大学精度评芬定

比较前面的公式，可以证明，两式根号内的部分是相等的，即在与中：精度评致定——用观非测值搬的改练正数v计算中掩误差一.计算公式(即白塞尔公式)：5/5鞭/20塌2338合肥破工业绸大学证明如下：真误差：改正数：证明忘两式便根号毁内相闪等对上匙式取n项的平杀方和由上两餐式得其中:5/5孟/20弃2339合肥工渔业大学证明悄两式雄根号丧内相访等中误巧差定义:白塞尔公式:5/御5/愁20幕2340合肥免工业恩大学解：该水心平角真值未该知，可用算术乓平均非值的案改正哗数V计算其爱中误霜差：例：对某水肚平角等混精度观惧测了5次，稻观测纳数据垒如下丙表，求其优算术刊平均盗值及乒观测犁值的沫中误蛾差。算例1:次数观测值VVV备注1764249-4162764240+5253764242+394764246-115764248-39平均764245[V]=0[VV]=60764245±1笛.7晃45/5嫌/20懒2341合肥工榴业大学距离窄丈量礼精度我计算涨例算例2：对某距垃离用精疾密量距管方法丈陶量六次晒，求①该恨距离立的算恼术平均秧值击；某②观尝测值撒的中健误差糊；按③荒算术暴平均如值的泛中误差郑；遇④走算术慎平均纸值的按相对矿中误捏差涂：凡是相充对中误丈差，都焦必须用保分子为1的分埋数表堵示。5/致5/挂20谎2342合肥工币业大学§6沸.7不同精辩度直接类观测平涨差一、权沃的概念权是筑权衡割利弊枪、权限衡轻行重的介意思针。在秧测量辜工作李中权晒是一聚个表团示观往测结星果可锣靠程受度的饥相对巧性指遇标。1权的定梁义：设一组攀不同精镰度的观窜测值为li,其中脖误差报为mi(I萍=1蚕,2乒…n犹)，选定任妇一大于螺零的常逃数λ，则定义气权为：称Pi为观测娇值li的权兔。5/巧5/擦20涨2343合肥拨工业华大学1权的两定义胃：对于熄一组墓已知裕中误仿差mi的观沃测值去而言案，选糕定一抖个大齿于零唤的常贼数λ值，株就有吨一组成对应遍的权废；由相此可族得各况观测勇值权甩之间刊的比垂例关袖系：2权的性止质（1）权赖表示灶观测展值的谅相对城精度秤；（2）权教与中油误差挤的平抽方成时反比瓣，权妙始终询大于尽零，套权大节则精和度高合；（3）权的把大小由托