理论力学课件八

第十六章虚位移原理在第一篇静力学中，我们从静力学公理出发，通过力系的简化，得出刚体的平衡条件，用来研究刚体及刚体系统的平衡问题。在这一章里，我们将介绍普遍适用于研究任意质点系的平衡问题的一个原理，它从位移和功的概念出发，得出任意质点系的平衡条件。该原理叫做虚位移原理。它是研究平衡问题的最一般的原理，不仅如此，将它与达朗伯原理相结合，就可得到一个解答动力学问题的动力学普遍方程。动力学2§16–1约束及其分类§16–2自由度广义坐标§16–3虚位移和虚功§16–4理想约束§16–5虚位移原理第十六章虚位移原理3

§16-1约束及其分类动力学

一、约束及约束方程

限制质点或质点系运动的各种条件称为约束。将约束的限制条件以数学方程来表示，则称为约束方程。

平面单摆例如：曲柄连杆机构4动力学根据约束的形式和性质，可将约束划分为不同的类型，通常按如下分类：二、约束的分类1、几何约束和运动约束限制质点或质点系在空间几何位置的条件称为几何约束。如前述的平面单摆和曲柄连杆机构例子中的限制条件都是几何约束。当约束对质点或质点系的运动情况进行限制时，这种约束条件称为运动约束。例如：车轮沿直线轨道作纯滚动时。5动力学几何约束：运动约束：当约束条件与时间有关，并随时间变化时称为非定常约束。约束条件不随时间改变的约束为定常约束。前面的例子中约束条件皆不随时间变化，它们都是定常约束。2、定常约束和非定常约束例如：重物M由一条穿过固定圆环的细绳系住。初始时摆长l0,匀速v拉动绳子。x2+y2=(l0-vt)2

约束方程中显含时间t6动力学如果在约束方程中含有坐标对时间的导数（例如运动约束）而且方程中的这些导数不能经过积分运算消除，即约束方程中含有的坐标导数项不是某一函数全微分，从而不能将约束方程积分为有限形式，这类约束称为非完整约束。一般地，非完整约束方程只能以微分形式表达。3、完整约束和非完整约束如果约束方程中不含有坐标对时间的导数，或者约束方程中虽有坐标对时间的导数，但这些导数可以经过积分运算化为有限形式，则这类约束称为完整约束。7在两个相对的方向上同时对质点或质点系进行运动限制的约束称为双面约束。只能限制质点或质点系单一方向运动的约束称为单面约束。动力学例如：车轮沿直线轨道作纯滚动，是微分方程，但经过积分可得到（常数），该约束仍为完整约束。

4、单面约束和双面约束几何约束必定是完整约束，但完整约束未必是几何约束。非完整约束一定是运动约束，但运动约束未必是非完整约束。刚杆x2+y2=l2绳x2+y2l28动力学双面约束的约束方程为等式，单面约束的约束方程为不等式。我们只讨论质点或质点系受定常、双面、完整约束的情况，其约束方程的一般形式为（s为质点系所受的约束数目，n为质点系的质点个数）9动力学

§16-2自由度广义坐标一个自由质点在空间的位置：（x,y,z)3个一个自由质点系在空间的位置：(xi

,yi

,

zi)(i=1,2……n)3n个对一个非自由质点系，受s个完整约束，（3n-s)个独立坐标。其自由度为k=3n-s。

确定一个受完整约束的质点系的位置所需的独立坐标的数目，称为该质点系的自由度的数目，简称为自由度。

例如,前述曲柄连杆机构例子中,确定曲柄连杆机构位置的四个坐标xA、yA、xB、yB须满足三个约束方程,因此有一个自由度。10动力学一般地，受到s个约束的、由n个质点组成的质点系，其自由度为通常，n与s很大而k很小。为了确定质点系的位置，用适当选择的k个参数（相互独立），要比用3n个直角坐标和s个约束方程方便得多。用来确定质点系位置的独立参数，称为广义坐标。广义坐标的选择不是唯一的。广义坐标可以取线位移（x,y,z,s等）也可以取角位移（如,,,等）。在完整约束情况下，广义坐标的数目就等于自由度数目。11动力学例如：曲柄连杆机构中，可取曲柄OA的转角为广义坐标，则：广义坐标选定后，质点系中每一质点的直角坐标都可表示为广义坐标的函数。12动力学

例如：双锤摆。设只在铅直平面内摆动。两个自由度取广义坐标，13动力学

一般地，设有由n个质点组成的质点系，具有k个自由度，取q1、q2、……、qk为其广义坐标，质点系内各质点的坐标及矢径可表为广义坐标的函数。14动力学§16-3虚位移和虚功在质点系运动过程的某瞬时，质点系中的质点发生的为约束允许的任意的无限小位移，称为质点系（在该瞬时）的虚位移。虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符号表示虚位移。M15动力学

虚位移与真正运动时发生的实位移不同。实位移是在一定的力作用下和给定的初条件下运动而实际发生的；虚位移是在约束容许的条件下可能发生的。实位移具有确定的方向，可能是微小值，也可能是有限值；虚位移则是微小位移，视约束情况可能有几种不同的方向。实位移是在一定的时间内发生的；虚位移只是纯几何的概念，完全与时间无关。在定常约束下，微小的实位移必然是虚位移之一。而在非定常约束下，微小实位移不再是虚位移之一。16动力学质点系中各质点的虚位移之间存在着一定的关系,确定这些关系通常有两种方法：(一)几何法。由运动学知，质点的位移与速度成正比，即因此可以用分析速度的方法分析各点虚位移之间的关系。17动力学

(二)解析法。质点系中各质点的坐标可表示为广义坐标的函数（q1,q2,……,qk），广义坐标分别有变分，各质点的虚位移在直角坐标上的投影可以表示为18动力学[例1]分析图示机构在图示位置时，点C、A与B的虚位移。(已知OC=BC=a，OA=l)解：此为一个自由度系统，取OA杆与x轴夹角为广义坐标。1、几何法19动力学将C、A、B点的坐标表示成广义坐标的函数，得2、解析法对广义坐标求变分，得各点虚位移在相应坐标轴上的投影：20动力鲁学力在质点丘发生的北虚位移多上所大作的功凯称为虚功，记为曾。21动力学§1狂6-鞋4理想港约束如果在米质点系扔的任何叉虚位移弊上，质直点系的脑所有约胃束反力资的虚功虏之和等今于零，络则称这防种约束昨为理想溪约束潮。质点羽系受到有理扒想约震束的博条件嘱：22动力学理想摔约束免的典辨型例制子如已下：1、光当滑支梦承面2、光均滑铰厚链3、无果重刚尖杆4、不昏可伸译长的想柔索5、刚体洗在粗糙集面上的称纯滚动23动力症学§1蚊6-格5虚位堆移原蛛理一、钓虚位榆移原活理具有森定常册、理助想约浸束的采质点乒系，基平衡输的必湖要与薪充分贫条件碌是：顺作用题于质练点系许的所速有主宣动力腹在任蜻何虚僚位移棉上所忠作的割虚功址之和个等于真零。袋即解析炼式：24动力无学证明：(1)必要性：即质点系处于平衡时，必有∵质爸点系据处于磁平衡眼∴血选取述任一怪质点Mi也平衡豪。对质点Mi的任一虚位移，有由于是晨理想约荣束所以对整倒个质圾点系榜：25动力慎学(2膊)充分性犁：即当喝质点系丑满足仓，技质点系稍一定平弓衡。若子，而盾质点系浸不平衡云，则至渗少有第i个质点饰不平衡艺。在方向上产生实位移，取，则对质点系：(理想约束下，)与前题则条件矛币盾故时质点系必处于平衡。26动力娱学二、虚闭位移原匪理的应门用1、系统炒在给腥定位丹置平辽衡时纱，求砖主动磁力之爆间的摸关系别；2、求系使统在算已知申主动游力作略用下夸的平铅衡位轿置；3、求系漠统在帅已知嗓主动夏力作络用下鞭平衡跟时的想约束报反力叮；4、求平疫衡构踏架内阶二力率杆的喘内力沉。27动力学例1图示励椭圆支规机器构，哥连杆AB长l，杆重雀和滑挠道摩维擦不蒜计，缠铰链驳为光饼滑的饼，求烤在图投示位战置平屈衡时跳，主拳动力仰大小P和Q之间的年关系。解：研夹究整拉个机错构。举系统臣的所莫有约雀束都抬是完厉整、霜定常荐、理索想的拥。28动力学1、几何法：使A发生虚位移，B的虚位移，则由虚位移原理，得虚功方程：由的任意性，得29动力柱学2、解析亮法由于雅系统企为单照自由阻度，可取为广派义坐虹标。由于任意，故30动力芬学解：这是胶一个具超有两个蜡自由度怕的系统闸，取角及为广义参坐标，怨现用两旱种方法佛求解。例2均质而杆OA及AB在A点用邻铰连雪接，缴并在O点用洪铰支智承，赖如图去所示香。两摊杆各平长2a和2b，各重P1及P2，设在B点加蹲水平培力F以维玩持平腐衡，揪求两女杆与疑铅直原线所演成的昌角及。y31动力迎学应用颗虚位个移原火理，代入(a)式，末得：解法榜一：32动力学由于是彼此独立的，所以：由此牧解得尼：33动力学而代入上暖式，得解法二费：先使保持不变，而使获得变分，得到系统的一组虚位移，如图所示。34动力涝学再使保持眯不变胜，而轧使获得变坝分鞭，得横到系统乘的另一可组虚位牢移，如奴图所示兰。而代入畜上式辨后，扶得：图示庙中：35动力排学例3多跨济静定吹梁，舟求支朗座B处反力种。解：将支座B除去，代入相应的约束反力。36动力吸学37动力学例4滑套D套在面光滑食直杆AB上，索并带冰动杆CD在铅击直滑歉道上狂滑动日。已努知=0o时，弹盯簧等于筑原长，歇弹簧刚婆度系数距为5(k葵N/银m)，求在任俘意位置暮（角）奏平衡绞时，粱加在AB杆上的鸦力偶矩M？解：这是昼一个已泊知系统毁平衡，博求作用昏于系统摊上主动滚力之间援关系的剖问题。爬将弹簧象力计入漆主动力挠，系统浑简化为柜理想约馋束系统牲，故可催以用虚犁位移原办理求解活。38动力学选择AB杆、CD杆和民滑套D的系冶统为哥研究俊对象疑。由虚位弓移原理昏，得：39动力摊学以不渔解除弦约束吸的理将想约酷束系碗统为温研究爹对象