中考数学高频压轴题突破-二次函数与四边形

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页中考高频压轴题突破——二次函数与四边形1．将抛物线C1：y=﹣x2+沿x轴翻折，得到抛物线C2，如图所示（1）请直接写出抛物线C2的解析式（2）现将抛物线C1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由2．已知抛物线与轴的一个交点为A(-1,0)，与y轴的正半轴交于点C．（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与轴的另一个交点B的坐标；（2）当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；（3）坐标平面内是否存在点，使得以点M和⑵中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点C，连接，D为抛物线的顶点．(1)求该抛物线的解析式；(2)点P为直线下方抛物线上的一动点，过P作于点E，过P作轴于点F，交直线于点G，求的最大值，以及此时点P的坐标；(3)将抛物线沿射线方向平移，平移后的图象经过点，点M为D的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点N，点Q为平移后的抛物线对称轴上的一点，且点Q在第一象限．在平面直角坐标系中确定点R，使得以点M，N，Q，R为顶点的四边形为菱形，请写出所有符合条件的点R的坐标，并写出求解点R的坐标的其中一种情况的过程．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且．(1)试求抛物线的解析式；(2)直线与轴交于点，与抛物线在第一象限交于点，与直线交于点，记，试求的最大值及此时点的坐标；(3)在（2）的条件下，取最大值时，点是轴上的一个动点，点是坐标平面内的一点，是否存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形？请直接写出满足条件的点的坐标．5．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且其对称轴为直线，点是抛物线上，之间的一个动点（点不与点，重合）．(1)求抛物线的解析式：(2)求四边形面积的最大值，并求出此时点P的坐标．(3)将抛物线向上平移个单位长度得到新的抛物线，新的抛物线与直线有两个交点．求的取值范围．6．如图1，抛物线与x轴交于A，B．两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，直线经过点A，C．(1)求直线的解析式；(2)点P为直线上方抛物线上的一个动点，过点P作于点D，过点P作交x轴于点E，求的最大值及此时点P的坐标；(3)在（2）问取得最大值的情况下，将该抛物线沿射线方向平移个单位后得到新抛物线，点M为新抛物线对称轴上一点，在新抛物线上确定一点N，使得以点P，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程．7．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C．(1)求这个二次函数的解析式；(2)点P是直线上方的抛物线上一动点，设三角形的面积为S，求S的最大值及S取得最大值时点P的坐标；(3)点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．8．如图①，直线l：与x，y轴分别相交于A，B两点，将绕点O逆时针旋转，得到，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线．(1)若P：，则l表示的函数解析式为_____．(2)如图②，若l：，G为中点，H为中点，连接，M为中点，连接．若，请求出l表示的函数解析式．(3)如图③，若l：，P的对称轴与相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以为一边的平行四边形时，直接写出点Q的坐标．9．已知顶点为的抛物线经过点，(1)求抛物线的解析式；(2)设C，D分别是x轴、y轴上的两个动点．①当四边形的周长最小时，在图1中作直线，保留作图痕迹并直接写出直线的解析式；②点是直线上的一个动点，Q是的中点，以为斜边按图2所示构造等腰．在①的条件下，记与的公共部分的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求S的最大值．10．已知，如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧．点的坐标为，．(1)求抛物线的解析式；(2)若点是第三象限抛物线上的动点，当四边形面积最大时，求出此时面积的最大值和点的坐标．(3)将抛物线向右平移个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，在原抛物线的对称轴上，为平移后的抛物线上一点，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标．11．如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，点，且交轴于另一点．(1)直接写出点，点，点的坐标及抛物线的解析式；(2)在直线上方的抛物线上有一点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；(3)将线段绕轴上的动点顺时针旋转得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求的取值范围．12．在平面直角坐标系中，平行四边形如图放置，点，的坐标分别是，，将此平行四边形绕点顺时针旋转，得到平行四边形．(1)若抛物线经过点，，，求此抛物线的解析式．(2)在（1）的情况下，点是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点在何处时，的面积最大？最大面积是多少？并求出此时的坐标．(3)在（1）的情况下，若为抛物线上一动点，为轴上的一动点，点坐标为，当，，，构成平行四边形时，求点的坐标；当这个平行四边形为矩形时，求点的坐标．13．如图，抛物线经过点，，点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M．设点P的横坐标为t．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P在第一象限，连接，当线段最长时，求的面积；(3)是否存在这样的点P，使以点P，M，B，O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．14．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点B，与y轴交于点C，其对称轴是直线．(1)求抛物线解析式；(2)如图2，P是直线BC下方抛物线上一动点，连接PC、PB，当四边形ACPB面积最大时，y轴上有一点Q，使得的值最大，求出的最大值与此时的Q点坐标；(3)如图3，抛物线上有一点，在（2）的条件下，将抛物线沿射线AP平移2个单位长度得到新抛物线，点D是新抛物线上一点，点F在直线CP上，是否存在以点A，D，E，F为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点D的横坐标，若不存在，请说明理由，15．如图，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为，点在轴上，且．(1)求该抛物线的表达式；(2)设该抛物线上的一个动点的横坐标为．①当时，求四边形的面积与的函数关系式，并求出的最大值；②点在直线上，若以为边，点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点的坐标．16．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中OC＝OB＝3OA．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作PQy轴交BC于点Q，求PQ的最大值及此时P点坐标；(3)如图2，将抛物线沿射线CB方向平移个单位得新抛物线，M为新抛物线的顶点，D为新抛物线与原抛物线的交点，N为平面内一点，当以M、N、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的点N的坐标，并选择一个你喜欢的N点，写出求解过程．17．如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C直线经过点B，C．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线BC上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为m．①求△PBC面积最大值和此时m的值；②Q是直线BC上一动点，是否存在点P，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点P的坐标．18．如图，已知抛物线的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A、B两点（B点在A点的右侧），与y轴交于C点．(1)A点的坐标是_____________；B点坐标是________________；(2)求直线BC的解析式；(3)点P是直线BC上方的抛物线上的一动点（不与B、C重合），是否存在点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积，若不存在，试说明理由；(4)若点M在x轴上，点N在抛物线上，以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M点坐标．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．（1）（2）①或；②是矩形，【分析】（1）根据翻折的性质确定计算即可；（2）①令，确定出与x轴的两个交点坐标，确定出A，B，C，D的坐标，即可得解；②根据点M和点N关于原点对称可得，点A与点E关于原点对称得到，再根据矩形的性质计算即可；②利用，得到M点与N点关于原点对称，利用点A与点E关于原点对称，则可判断四边形AMEN是平行四边形，根据矩形的判定方法，当时，四边形AMEN为矩形，即，然后解方程即可；【解析】（1）∵C1：y=﹣x2+沿x轴翻折，∴，∴C2的解析式为；（2）①当时，，解得，，则抛物线C1与x轴的交点坐标为和t，∴，，同理可得：，当时，，解得；当时，，解得；∴m的值为或；②存在；如图所示，，，∴M点与N点关于原点对称，∴，∵，，∴点A与点E关于原点对称，∴，∴四边形AMEN是平行四边形，当时，四边形AMEN为矩形，即，解得，∴当时，以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形；【点评】本题主要考查了二次函数的图像与性质，矩形的判定与性质，点的平移特征，准确分析计算是解题的关键．2．见解析【解析】（1）根据对称轴公式，对称轴x=﹣=1；点B的坐标是（3，0）．（2分）（2）点C在以AB为直径的⊙P上，∴∠ACB=90°由∠ACB=∠AOC=∠COB=90°得△AOC∽△COB，∴，∴CO=，∴b=当x=﹣1，y=0时，﹣a﹣2a+=0，∴a=，∴y=﹣；(6分)（3）点M的坐标有三种情况，如果以AB为平行四边形的对角线，那么P（1，0）就是平行四边开的对称中心，即C点与M点关于P点位对称，设M点坐标为（x,y）.那么,x=2.，y=.∴M点坐标为（2，）同理以AC、BC为对称轴得出M点的坐标为（-4，）、（4，）分别是：（2，），（-4，）或（4，）.（10分）3．(1)(2)的最大值为，此时点的坐标为(3)或或，见解析【分析】（1）根据抛物线与x轴交于点两点，即知抛物线的表达式为，即；（2）证明，根据相似三角形的性质得出，设出P点的坐标，利用二次函数的性质求最值即可；（3）先根据平移规律求出平移后的抛物线的解析式，以及点M，N的坐标，然后设出点Q的坐标，根据菱形的性质求出Q的坐标，即可得点R的坐标．【解析】（1）∵抛物线与x轴交于，，∴抛物线的解析式为，即；（2），令，则，设直线的解析式为：，把，代入，得：，解得，，∴直线的解析式为：；轴，轴，，，，，，设，则，，∴当时，的最大值为2，的最大值为，此时点的坐标为；（3）∵将抛物线沿射线方向平移，，，设抛物线向上平移个单位，向右平移个单位，∴新抛物线的解析式为，∵平移后的图象经过点，，解得，或（不符合题意，舍去）∴新抛物线的解析式为,∴点，点的坐标为，设，，，，①当时，，解得，或（舍去）此时，、为对角线，，；②当时，，解得，，此时，、为对角线，，，③当时，，解得，或（舍去）此时，、为对角线，，，综上所述，点的坐标为或或【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定与性质三角形面积，平移的性质，菱形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的性质，分类讨论是解题的关键4．(1)(2)取得最大值，此时点的坐标为(3)存在，满足条件的的坐标为或【分析】（1）根据已知条件求得点的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）过点作轴交直线于，连接，先求得直线的解析式，设，则，可得，再由，根据相似三角形的性质及等高三角形的面积比等于底的比可得，利用二次函数的性质解决问题即可；（3）存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形，分是矩形的边和是矩形的对角线两种情况求点的坐标．【解析】（1）解：，，，，，抛物线经过点，，，，解得：，该抛物线的解析式为；（2）解：如图1，过点作轴交直线于，连接，设直线的解析式为，，，，解得：，直线的解析式为，设，则，，直线与轴交于点，，，轴，即，，，，，，当时，取得最大值，此时点的坐标为；（3）解：存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形．①当是矩形的边时，有两种情形，a、如图2﹣1中，四边形是矩形时，由（2）可知，代入中，得到，直线的解析式为，可得，，由可得，,，，．根据矩形的性质，将点向右平移个单位，向下平移1个单位得到点，，即，b、如图2﹣2中，四边形是矩形时，直线的解析式为，，直线的解析式为，，根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，，即．②当是对角线时，设，则，，，是直角顶点，，，整理得，方程无解，此种情形不存在，综上所述，满足条件的的坐标为或．【点评】本题为二次函数压轴题，综合考查了二次函数、待定系数法、最大值问题、相似三角形、矩形等知识点．第（3）问涉及存在型问题，有一定的难度．在解题过程中，注意数形结合思想、分类讨论思想及方程思想等的应用．5．(1)；(2)当点的坐标为，时，四边形的面积最大，最大值为；(3)．【分析】（1）由对称轴可求得点坐标，结合、两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）设出点坐标，则可表示出四边形的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）利用待定系数法求得直线的解析式，由平移规律得到新抛物线解析式，然后联立新抛物线解析式与直线解析式，消去得到，由二次函数的性质求得的取值范围．【解析】（1），对称轴为，，，解得，抛物线的解析式为（2）如图，过点作轴于点，可设点的坐标为，，则，点，．点是抛物线与轴的交点，令，得．即点．．由图可知．将代入可得．，，当时，有最大值．此时，．当点的坐标为，时，四边形的面积最大，最大值为；（3）由已知得，，设直线的解析式为：，则，解得，直线的解析式为：．①抛物线向上平移个单位长度得到新的抛物线，新抛物线解析式为．②新的抛物线与直线有两个交点，联立①②，消去，，即，．的取值范围是：．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定和性质、二次函数的性质、三角形的面积、方程思想等知识．在（1）中注意利用抛物线的对称性，在（2）中用点坐标表示出四边形的面积是解题的关键，在（3）中求得关于的不等式是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．6．(1)(2)的最大值为；此时点(3)或或【分析】（1）先求出点A，C的坐标，再利用待定系数法解答，即可求解；（2）过点P作轴于点F交于点G，设点，则点，可得，，，再证明，可得，从而得到，再证得，可得，从而得到的值关于m的函数关系式，即可求解；（3）根据题意可得原抛物线沿x轴向右平移个单位，再沿y轴向上平移个单位后得到新抛物线，从而得到新抛物线的解析式，进而得到新抛物线的对称轴为直线，设点，，然后分三种情况：若以对角线为对角线；若以对角线为对角线；若以对角线为对角线，结合平行四边形的性质，即可求解．【解析】（1）解：当时，，∴点，当时，，解得：，∴点，设直线的解析式为，把点，代入得：，解得：，∴直线的解析式为；（2）解：如图，过点P作轴于点F交于点G，∵，，∴，∴，设点，则点，∴，，，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得：，∴，∵，∴，∴，∵，∴，

∴，∴，即，解得：，

∴，∴当时，有最大值，最大值为；此时点；（3）解：∵，∴原抛物线的顶点坐标为，∵将该抛物线沿射线方向平移个单位后得到新抛物线，∴相当于原抛物线沿x轴向右平移个单位，再沿y轴向上平移个单位后得到新抛物线，∴新抛物线的解析式为，∴新抛物线的对称轴为直线，设点，，若以对角线为对角线，有，解得：，

此时点M的坐标为；若以对角线为对角线，有，解得：，此时点M的坐标为；若以对角线为对角线，有，解得：，此时点M的坐标为；综上所述，点M的坐标为或或．【点评】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键．7．(1)(2)，(3)存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或或【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出，进而求得的解析式，过作轴交于点，进而求得的长，根据求得的表达式，进而根据二次函数的性质求得取得最大值时的值，进而求得点的坐标；（3）分当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时，三种情况由平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解即可．【解析】（1）解：∵二次函数的图像与轴交于两点，∴，解得，∴抛物线解析式为；（2）解：如图所示，过作轴交于点，在中，令，则，∴，设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为；设，则，∴，∴，∵，∴当时，取得最大值，最大值为，此时∴；（3）解：存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：设，，当为平行四边形的对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同得：，解得（舍）或，∴；②当为平行四边形的对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同得：，解得（舍）或，∴；③当为平行四边形的对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同得：，解得或，∴或；综上所述，存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或或．【点评】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，平行四边形的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．8．(1)(2)(3)Q点坐标为或【分析】(1)求出A、B点坐标，再由待定系数法求函数的解析式即可；(2)分别求出，，，再由，可求m的值，进而可求函数的解析式；(3)分别求出直线l与抛物线的解析式，再求出点，设，，分两种情况讨论：①当为平行四边形的对角线时；②当为平行四边形的对角线时，分别计算，即可分别求得．【解析】（1）解：在中，令，则，，令，则，解得或，，，设直线的解析式为，，解得，，故答案为：；（2）解：在中，令，则，，令，则，，为中点，，，，，，为中点，，为中点，，，，解得，，，；（3）解：由，可得，，，，设，，解得，，，∴抛物线的对称轴为直线，设直线的解析式为，，解得，，，设，，①当为平行四边形的对角线时，，解得，；②当为平行四边形的对角线时，，解得，；综上所述：Q点坐标为或．【点评】本题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，平行四边形的性质，用待定系数法求函数的解析式，采用分类讨论是解题的关键．9．(1)(2)①；②当时，；当时，；当时，；S的最大值为：【分析】（1）可设顶点式，将顶点为，点代入求出抛物线的解析式；（2）①分别做A，B关于y，x轴的对称点，，连接分别交x轴、y轴于点C、D两点，，，此时四边形的周长最小，最小值就是，再求出CD的解析式即可；②分三种情况利用三角形的面积公式写出S与x之间的函数关系式，利用二次函数的性质求得最大值．【解析】（1）解：∵抛物线的顶点为，∴设抛物线的解析式为，将点代入，得，解得，∴；（2）①如图1，分别做A，B关于y，x轴的对称点，，∴，，连接分别交x轴、y轴于点C、D两点，∵，，∴此时四边形的周长最小，最小值就是，设直线的解析式是：，则．解得．∴的解析式为：；②记直线与直线的交点为，由，解得：，∴两直线的交点坐标为：，而由可得：当，则，即，当，则，则，∴，，都为直角三角形；∵Q是的中点，点是直线上的一个动点，∴，且，∴，，当时，．当时，．如图2，记与直线的交点为，则为等腰直角三角形，当时，，得：，当时，∵，则，∴，∴，∴，，当时，．如图3，记与的交点为，同理可得：由可得，∴，∴当时，，当时，．综上：故S的最大值为：．【点评】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，同时考查了利用轴对称的性质求解周长的最小值，利用二次函数的性质求解面积的最值，清晰的分类讨论是解本题的关键．10．(1)(2)最大值，点(3)或或【分析】（1）根据点的坐标及可得出点的坐标，再根据点、的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）利用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，可得，进而得出：，再利用二次函数的性质即可求得答案；（3）先求得平移后的抛物线解析式为，设，，分三种情况讨论即可．【解析】（1）∵点的坐标为，，点的坐标为，将点、代入，得，解得：，抛物线的解析式为．（2）由，解得：，，，，，设直线的解析式为，把、代入，得，解得：，直线的解析式为，设，则，，，，当时，取得最大值，此时，点，．（3），对称轴为直线，将抛物线向右平移个单位后的抛物线解析式为，联立，解得：，，设，，又，，以、为对角线，则、的中点重合，，解得：，；以、为对角线，则、的中点重合，，解得：，；以、为对角线，则、的中点重合，，解得：，；综上所述，点的坐标为或或．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数、二次函数图象上上点坐标的特征，三角形面积，二次函数的图象和性质，平行四边形性质等知识，解题的关键是利用平行四边形对角线互相平分列方程组解决问题．11．(1)；；；(2)最大值为，此时的坐标为(3)或【分析】（1）先求出点A和点C的坐标，再代入抛物线解析式求出抛物线解析式，进而求出点B的坐标；（2）方法一：过点作轴，与交于点，设出点的坐标，得到点的坐标，利用三角形面积公式求出四边形的面积即可求出点的坐标；方法二：连接，设，利用来求解；（3）将线段绕轴上的动点顺时针旋转得到线段，得到，，分两种情况：当在抛物线上时，当点在抛物线上时，来求解.【解析】（1）解：令，得，，令，得，解得，，把、两点代入得，，解得，抛物线的解析式为，令，得，解得，，或，；（2）解：方法一：过点作轴，与交于点，如图，设，则，．，，当时，四边形面积最大，其最大值为，此时的坐标为；方法二：连接，如图，设，，当时，四边形面积最大，其最大值为，此时的坐标为；（3）解：将线段绕轴上的动点顺时针旋转得到线段，如图：，，，，当在抛物线上时，，解得，当点在抛物线上时，有，解得或，当或时，线段与抛物线只有一个公共点．【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，二次函数解析式的求法，旋转的性质，三角形面积公式，数形结合解题是关键．12．(1)(2)当的坐标为时，的面积最大，最大面积为(3)的坐标为或或或；的坐标为或【分析】（1）由点A的坐标可得出点的坐标，由点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）连接，设点M的坐标为，由三角形的面积公式结合，可得出，利用二次函数的最值问题即可解决；（3）由点的坐标可得出点的坐标，结合点Q的坐标可得出轴，分为边及为对角线两种情况找出点P的坐标，再结合矩形的性质找出点N的坐标，此题得解．【解析】（1）解：∵平行四边形绕点顺时针旋转，得到平行四边形，且点的坐标是，∴点的坐标为．∵点，的坐标分别是，，抛物线经过点，，，设抛物线的解析式为，由题意得，解得∴此抛物线的解析式为．（2）解：连接，连接，由题意得，设点的坐标为，则，∴当时，的面积最大，最大值为，此时的坐标为．（3）解：设点的坐标为，当，，，构成平行四边形时，平行四边形中，点，的坐标分别是，，点的坐标为．点坐标为，为抛物线上一动点，为轴上的一动点．∴轴，①当为边时，，，，∴，当时，解得，，∴，；当时，解得，，∴，；②当为对角线时，，，此时与，重合．综上可得，点的坐标为或或或；如图，当这个平行四边形为矩形时，点的坐标为或．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形的面积、二次函数的最值、平行四边形的性质，解题的关键是利用三角形的面积公式找出以及分为边及为对角线两种情况考虑．13．(1)(2)(3)存在，点P的横坐标是或【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）设直线AB的表达式为，进而求得直线AB的解析式，设点P的坐标为，则，用M点的纵坐标减去P的纵坐标得到的长，然后根据二次函数的最值得到PM最大值，再利用三角形的面积公式利用计算即可；（3）由，根据平行四边形的判定得到当时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第一象限：，最长时只有，所以不可能为3；当P在第二象限：；当P在第三象限：，，分别解一元二次方程即可即可解答．【解析】（1）解：把点，代入，得，解得．∴．（2）解：设直线的表达式为，把点，代入，得，解得．∴.．设点P的坐标为，则．∵点P在第一象限，∴．∴时，二次函数有最大值，即PM的最大值为．则．（3）解：存在．∵，∴当时，以点P，M，B，O为顶点的四边形为平行四边形．①当点P在第一象限时，，最大时只有，所以不可能有．②当点P在第二象限时，，．解得（舍去），．∴点P的横坐标是．③当点P在第四象限时，，．解得，（舍去）．∴点P的横坐标是．综上所述，点P的横坐标是或．【点评】本题主要考查了运用待定系数法求解析式、二次函数的图像及性质、平行四边形性质等知识点，掌握二次函数图像及性质是解题的关键．14．(1)(2)的最大值为，(3)0或或或【分析】（1）用待定系数法可得抛物解析式为；（2）过P作轴交于K，作A关于y轴的对称点，连接交y轴于Q，由可得：，，即知四边形面积最大即是最大，由，知直线解析式为，设，则，可得，故当时，最大为，此时，由，A与关于y轴对称得，知，为的最大值，由可得，直线解析式是，即可得到答案；（3）由得，由得直线解析式为，即可得，由得直线解析式为，设，分三种情况：①以为对角线，，得或，②以为对角线，，方程组无实数解；③以为对角线，，解得或．【解析】（1）∵抛物线与x轴交于点，对称轴是直，∴解得，∴抛物解析式为；（2）过P作轴交于K，作A关于y轴的对称点，连接交y轴于Q，如图：由可得：∴为定值，四边形面积最大，即是最大，由知直线BC解析式为，设，则，∴∴，∵，∴当时，最大为，此时，由，A与关于y轴对称得，此时为|的最大值，由可得，直线解析式是，∴的最大值为，在中，令得，∴，答：的最大值为，；（3）存在以点A，D，E，F为顶点的平行四边形，理由如下：在中，令得，∴，由得直线解析式为，∴将抛物线沿射线移2个单位长度相当于把抛物线向右平移个单位，再向下平移1个单位，∴，由得直线解析式为，设，又，①以为对角线，则中点重合，∴，解得或，②以为对角线，同理得，方程组无实数解；③以为对角线，∴，解得或，综上所述，点D的横坐标为0或或或．【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，平行四边形的性质及应用，抛物线的平移变换等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度，本题综合性较强，计算量较大．15．(1)(2)①，有最大值；②或或或【分析】（1）由题意得，点A、点C的坐标满足抛物线解析式，运用待定系数法，将两点坐标代入抛物线解析中，得到关于b和c的二元一次方程组，解方程组即可得到b和c的值，最后将b和c的值代入抛物线表达式中，即可求得抛物线表达式；（2）①连接，过作轴交于点，则，先通过抛物线的解析式及已知条件，求得，，，再运用铅锤法，求得，最后求得，并运用二次函数图象性质求得的最大值；②由点在直线上，直线：，可设，再以为平行四边形的对角线，为平行四边形的对角线两种情况分别进行讨论求解．【解析】（1）解：∵抛物线经过、两点，∴将、两点代入抛物线解析式中，有：，解得，，∴抛物线的表达式为：．（2）解：①∵抛物线与轴的另一个交点为，∴令，可得，，解得，，，∵，∴，∴，∵，∴，∵点在轴上，∴．如图1，连接，过作轴交于点，∵，，∴，∵，∴．∵动点在抛物线上，的横坐标为，，∴点坐标，∵，，∴直线：，∵轴交于点，，∴，∴，∴．∵，，，∴，，即，，∵，∴当时，有最大值．②∵点在直线上，直线：，∴可设，∵，，，又∵以为边，点、、、为顶点的四边形是平行四边形，∴分以下两种情况进行讨论：如图2，如图3，当为平行四边形的对角线时，，即，解得，或，故或如图4，如图5，当为平行四边形的对角线时，，即，解得，或，故或综上，符合题意的P点有或或或．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数相关面积问题以及二次函数为背景的平行四边形存在性问题，综合运用二次函数相关知识是解题的关键．16．(1)y＝﹣x2+2x+3(2)PQ长度的最大值为，此时，点P的坐标为（，）(3)点N的坐标为（，）或（，）或（﹣，），求解过程见解析【分析】（1）先求出点C的坐标，进而根据OC＝OB＝3OA，求出A、B的坐标，然后利用交点式求出函数解析式即可；（2）先求出直线BC的解析式，然后点P（t，），则Q（t，﹣t+3）．推出，由此求解即可；（3）分CD是平行四边形边和对角线两种情况，根据平行线对角线中点坐标相同进行求解即可；（1）解：∵抛物线解析式为，令x＝0得y＝3，∴点C坐标为（0，3），∴OC=3，∵OC＝OB＝3OA，∴OA=1，OB=3，∴点B坐标为（3，0），点A坐标为（﹣1，0），∴设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），代入（0，3）得3＝a（0+1）（0﹣3），解得a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3），＝＝，∴抛物线解析式为：；（2）解：设直线BC的解析式为，将点B、C的坐标代入一次函数表达式：得：，解得：，∴直线BC的解析式为，设点P（t，），则Q（t，﹣t+3）．∴，∵，当时，PQ长度的最大值为，此时，点P的坐标为（，），∴PQ长度的最大值为，此时，点P的坐标为（，）；（3）解：∵OC＝OB＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵将抛物线沿射线CB方向平移个单位得新抛物线，∴抛物线向右2个单位，向下2个单位得新抛物线，∴，∴点M（3，2），联立得，解得，∴点D（，），设点N（m，n），①当CD是平行四边形的边时，如图3-1所示：由平行四边形对角线中点坐标相同可知，或，解得或，∴点N的坐标为（，）或（，）；②当CD是平行四边形的对角线时，同理可得点N的坐标为（，）；综上所述，点N的坐标为（，）或（，）或（，）．【点评】本