第04讲-奇数与偶数w

nnnn第4讲

奇数与偶数能被2除的整数叫做偶数，不能被2除的整数叫做奇。要注意运用奇数与偶数的下列性质解题：1．两个整的和与差有相同的奇偶性；2．奇数个数的和还是奇数，偶数个奇数的和是偶数；3．当为n偶数时，=1;当为奇数时，=4．两个整相加，若加数的奇偶性相同，那么它们的和是偶数；加数的奇偶性不同，那么它们的和是奇数。5．两个整相乘，若乘数中有一个是偶数，那么乘积是偶数；如果乘数都是奇数，那么乘积是奇数。6．奇数≠数。例1（年天津中华少杯”初中数邀请赛题）扑克牌中的A，，，K分别表示，11，。甲取张红桃，乙取13张黑桃，分别洗和后甲、乙依次各取个各一张牌，使红、黑牌配成对。证明这13数的差的积必为一个偶数。证法：由于13张牌中的点数有7个奇数，个偶数，所以当红、黑牌配成对后，至少有一对数的奇偶性相同，这对数的差是偶数，于是这13对数的差的积必为一个偶数。证法2由于13数的和是0所以不可能每对数得差都是奇数否则它们的和为一个奇数。于是至少有一对数的差为偶数，即这13对数的差的积必为一个偶数。例2（1985年北京市初中数竞赛试）某电影院共有1985个座位。某天，这家电影院上下午各演一场电影，看电影的是甲乙两所中学的各1985名学生（同一个学校的学生有的看上午场，有的看下午场试证明：电影院一定有这样的座位，这天看电影时上，下午在这个座位上坐的是两个不同学校的学生。证明：甲，乙两校看电影的学生都是1985人，电影院的座位也恰是1985.作如下统计：上午场下午场甲校n座位(1985-n)个座位乙校(1985-n)个座位n座位假设每个座位上下午坐的都是同一学校的学生对每个学生上午场与下午场人数应相等，则n=1985-n.即2n=1985.等式的左边是偶数，而右边是奇数，这个等式不可能成立。所以，至少存在这样一个座位，上，下午坐的是甲，乙不同学校的学生。

例3（年福州中数学赛试题）设沿江有A，A，A，A，A．A六个码头，相邻两码头间的距离相等．早晨1有甲、乙两船从A出发，各自在这些码头间多次往返运货．傍晚，甲船停泊在1A码头，乙船停泊A码头．求证：无论如何，两船的航程总不相假定船在6相邻两码头航行时，中途不改变航向)．证明六个码头把A到A这段水路分成5个小段，设每段水路的长为a，由于1船在任意一个码头出发，又返回码头时，往返每小段的水路总是相同的，因此，乙船的航程是a的偶倍甲船的航程是从A到A再加上各码头之间的往返路16程，偶数倍=a的奇数倍的偶数倍≠a的奇数倍，故甲、乙船的航程总不相等．例4（第届希望杯”数学请赛试）你能找到三个整数bc使得关系式(成立吗？如果能找到，请举一例，如果找不到，请说明理由．解：找不到满足条件的三个整数理由如下：如果存在整数，b，c，使(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)=3388成立．因为3388是偶数，则左边四个因子中至少有一个是偶数．不妨设a+b+c为偶数，则为偶数，同理为偶数．为偶数．因此(能被整除而3不能被整除得矛盾．故不存在三个整数，，c满足关系式例5（第10届全俄中学生数学赛试题在3×3的表格（）和（2）中，每格填有“+”号或“-号，然后每次将表格中的任意一行或任意一列的各格全部变号试问重复若干次这样的“变号”程序后能否从一张表变为另一张表？++--

++--

----+

--+--

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+--+表（1）表（）解考察两张表中位于左上角的的小正方形，如下图中的黑框所示：++--

++--

----+

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+--+表（1）

表（2）

kkkkkk表（1）中小正方形中有个“+号，实施变号步骤后，“+”号的个数仍然是偶数；表（2中的小正方形中有1个“+号，实施变号步骤后，“+”号的个数仍然是奇数。故它们不能从一个变到另外一个。显然的小正方形互变无法实现，所以3×3的大正方形的互变也无法实现。例6（2007年第18届希望杯”全数学邀赛初一试题小明在平面上标出了2007个点并画了一条直线l,他发现：这2007个点中的每一个关于直线l对称点仍然在这2007个点中请你说明这个点中至少有一个点在直线l上。解假设这2007点都不在直线l上。由于其中每个点A(i=1,2„关于直线l称点A’仍在这点ii中，所以也都不在直线l上。i也就是说，不在直线l上的A(i,„与A关于直线l对称点’成iii对出现，即平面上标出的点的总数应是偶数个，与点的总数相矛盾。因此这2007个点都不在直线l上”的假设不能成立，即这个点中至少有一个点在直线l上。例7年安徽省初中数学竞赛试题)设有n实数：x,x,…,x，其中每一个不是+，就是-，1xx且n，求证：是的倍数。xx23n证明首先证n偶数：因n实数：x,x,…,x，其中每一个不是+，就是-，1xx所以n分数：，2，…，n，中的每一个不是+，就是-。xx23n而这n分数和为0，所以n为偶数，设(k为整数)，则个分数中有k个+，k个-。其次证k为偶数：xxx因n分数的积为••…••=1即(+1)(-1)=1,所以k为xxx231偶数，从而为4的倍数。例8（2000世界城间数学赛初中组试）在5×15棋盘上放置着15个“车彼此互不攻击，它们像“马”一样，各行一步。求证：现在有两个互相攻击。证明：记下每个车的行号和列号因为彼此互不攻击行号像列号那样都是各不相同的，所以，在这30个号中，有16个奇数个偶数，当车移动一马步时它的行号改变1列号改变2或行号改变列号改变1这样各行一步后，30个号中的15个保持奇偶性，而剩余的15改变它们的奇偶性．因此移动后，它们之中有16个奇号个偶号是不可能的．这就意味着一定有两个车互相攻

232232击一选择题1．(2001年国初数学联试题)ab如果是三个任意的整数，那么22

（）(A)都不是整数

(B)至少有两个整数至少有一个整数(D)都是整数1．2（1994澳洲中数学赛AMC试题）如果n整数，那么下列各数中一定为奇数的一个是（）（A）5n（B）n+5（）n（D）（E）+52．E3（年16届江苏中数竞赛试）已知三个数中有两个奇数，一个偶数n整数。如(b+2n+2)(c+3n+3)，那么（）（A）S是偶数（B奇数（C）S的奇偶性与奇偶性相同（D）奇偶性不能确定3.A因中有两个奇数，一偶，故为数，于(a+n+1)+(b+2n+2)+(c+3n+3)=为偶数，从(、(b+2n+2)、(c+3n+3)三数中至少有一个偶数（否则其和为奇数）所以偶数。4（1994-1995学年度武汉等五初一数联赛试题）如果都是正整数，且a,b是奇数，b2（（A）只当为奇数时，其值为奇数（B只当为偶数时，其值为奇数（C）只为3倍数时，其值为奇数（D）无为任意整数，其值为奇数4．D5（年京市初中数竞赛）四个学生进行计算比赛，程序是：19，2021，„，这76个自数相邻两个数之间任意添加“+”„”号，然后，求其代数和，四个人得到的结果分别是，1534106，老师检查后指出，只有一个结果是正确的，则这个结果是（）（A）1（B）153（）4（D）2605．„

229(2557共，每对之和为1494可见这76个自然数相邻两数之间都添“号时其和为294偶数，由于这76个自然数相邻两数之间任意添加“+”号，其代数和的奇偶性不变，均应是偶数，所以不能得1也不能得最接近4294“和数”是1920间填入“－”号，其余均填+号，其代数和为4294－＝4254因此，可能是这个自然数经过添加+”号后所取到的“和数因此，正确结果只能是4事实上，只有，之间添加“－”号，其余均添加“+”号，有„－94＝4即4106可以取到的“和数故选C。二填空6．(1987年国部省市初数学讯赛题若7连续偶数之和为，则此个数中最大的一个是_6.2907（年尔滨第26届中数学赛试题）已知均为小于1000质数是奇数x的最大值是。7.a,b中必然有一个是偶质数2另外一个应是小于1000的最大质数，x=2×99×7+9=2003.8（年5届新杯学邀请初一试题）47不同的自然数的和是，这个自然数中三最多有个奇数。8.44设有a个奇数，47-a偶数，显然必为偶数。下面讨论最多有多少个奇数：若a=46，则…+91=46不合题意；若a=44，则…+87=44

2

因2006-1936=，故另外三个偶数的和为70（如2，4，符合题意。所以奇数最多为44。9.北京市初数学竞）在一次象棋比赛中，每个选手恰好比赛一局，每局赢者记分，输者记分，平局每个选手各记1分有4人统计了这次比赛中全部得分总数由于有的人粗心，其数据各不相同，分别为，1980，，1985，经核实，其中有一人统计无误，则这次比赛共有_名选手参加．9.45

223每局比赛不管胜负如何，双方得分的和2，从而全部得分总数应偶数，于是只有1980，中的一个正确，设有人参加比赛，则共比赛了

x2

场，总得分为x分xx是整数合题意1980,得，符合题意．102007上海市中学业余数学校预备年招生试）从13，„2006，至少要取出个奇数才能保证存在两个数，它们的和为200810将1，2，3，，2006中所有的奇数按和为的两个一组配成503组1，2007（10031005是至少要取出504个奇数才一定有两个数同组，它们的和为。三解答11第36届美国学生数竞赛试题）将奇正数135，…排成五列，按下表的格式排下去，所在的那列，从左数起是第几列？135151117192123312725…………11由表格可知，每行有四个正奇数，而1985=4×496+1，因此是第行的第一个数奇数行的第一个数位于第二列数行的第一个数位于第四列，所以从左数起，1985第二列.121984全苏数学奥匹克试）若n正整数（1）有n个整数它们的积等于n和等0求证：n4倍数（2）设n是4倍数，求证：可以找到n个整数，它们的积等于和等于0。121证明：设n个整数x,x,x,„根据题意得1xx

①②如果为正奇数，由方程①可知x,x,x„都只能是奇数，而奇数个奇数1的和必是奇数，这不适合方程②右边的0，所以一定是偶数；当为正偶数时，方程①左边的x,x,x„中，至少有一个是偶数，而要1满足方程②右边的0左边的奇数必须是偶数个，偶数至少有2个。所以n的倍数。（2）当n=4k时，若k为奇数，xx=2k,=x=„x=x„=-112343k3k+14k其中有一个为2，一个为2k,个为，k个为1

积等于2（-2k3k-2

×(-1)

k

=4k=n等于2+(-2k)+(3k-2)×1+k×(-1)=若k为偶数,xxx=x=„=1,x=x„12343k+33k+k4k其中有一个为-2，一个为-k个为，3k-2个为-，积等于(-2)k

×(-1)

3k-2

=4k=n于2+(-2k)+(3k-2)×1+k×(-1)=0131981斯拉夫数学林匹克一只老鼠偷吃梭长为3并切成27块单位立方体的立方体奶酪．当老鼠吃完了某一小立方块后，就再吃相邻的（有公共侧面）另一个小立方块．问，这只老鼠能吃遍除正中央那个立方块之外的全部小立方块吗？13除中央那个小立方体外的26个小立方体接国际象棋棋盘方式用白色两色染色使得恰有2个侧面在大立方体表面的l2小立方体为白色而余下14个小立方体为黑色，注意，在任意两个具有公共表面的小立方体中必有一个为白色，另一个为黑色，如果老鼠能吃完所说的26个小立方体，则这些小立方体可以分为13对，每一对有一个白色小立方体，一个黑色小立方体，于是白色与黑色小立方体一样多，不可能，因此老鼠不能吃完所给的小立方体．142005河南省初二学竞赛题)环行跑道的一周插了若干红两种颜色的彩旗已知一共变色了（一个红旗与一个黄旗相邻或一个黄旗与一个红旗相邻，称为一次变色现可将相邻的旗子对调，如果若干次对调后，变色次数减少为次。试说明：在对调过程中，必有一个时刻，彩旗的变色次数恰好为次。14．们首先说明，将相邻的旗子对调一次，