角平行线的性质-2020-2021学年八年级数学上学期高频考点专题突破（人教版）（解析版）

考点02、角平分线的性质

知识框架

角平分线的性质

角平分线的判定

基础知识点4

尺规作图

.三角形的内心和旁心

,角平分线的定义和性质的应用

三角形内心的应用

重难点题型■角平分线定理的应用（补充）

尺规作图及应用

角平分线的压轴题

基础知识点

知识点1角平分线的性质.

1）角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫作这个角的平分线。

2）角平分线的性质：角平分线上的点到两边的距离相等

1.（2020•江苏张家港初一月考）射线OC在/ZO8的内部，下列给出的条件中不能得出OC是//O8的平

分线的是（）

A.ZAOC^ZBOCB.ZAOC+ZBOC^ZAOBC.ZAOB^2ZAOCD.ABOC=—ZAOB

2

【答案】B

【分析】根据角平分线的定义分析出角之间的倍分关系进行判断.

【解析】解：当OC是/AOB的平分线时•，ZAOC=ZBOC,ZAOB=2ZAOC,ZBOC=-ZAOB,所

2

以A、C、D选项能判断OC是NAOB的平分线.

NAOB=NAOC+NBOC只能说明射线OC在/AOB内，不一定是角平分线.故选B.

【点睛】本题主要考查了角平分线的定义.正确表述角之间的倍分关系是解题的关键.

2.（2020•广东郁南初二期末）如图，口1=口2,PDDOA,PEQOB,垂足分别为D,E,下列结论错误的是

（）

A.PD=PEB.OD=OEC.ODPO=DEPOD.PD=OP

B

E

【答案】D

【解析】：1=口2,PDOA,PEOB,；.PD=PE,

VOP=OP,ARtOPOECRtOPOD(HL),.-.OD=OE,匚DPO=DEPO.

；.A、B、C正确，D错误，故选D

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质.

3.(2020•甘肃肃州初一期末)如图，OP是NAO8的平分线，PCL04于点C,PC=2,点、D是边OB

上一动点，则PO长度最小为.

【答案】2

【分析】根据垂线段最短可知，当PDJ_OB时最短，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得

PD=PC,从而得解.

【解析】•••垂线段最短，.•.当PDLOB时PD最短，

「OP是/AOB的平分线，PC±OA,；.PD=PC,

VPC=2,.*.PD=2,即PD长度最小为2.故答案为：2.

【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，垂线段最短的性质，确定出PD最小时

的位置是解题的关键.

4.（2019•黑龙江龙凤初二期末）如图所示，在AABC中，NACB=90。°,BE平分于

如果AC=3cm,那么AE+DE等于（）

A.2cmB.4cmC.3cmD.5cm

【答案】C

【分析】根据角平分线性质得出DE=CE,求出AE+DE=AC,即可得出答案.

【解析】解：•••在4ABC中，ZACB=90°,BE平分/ABC,DE_LAB于D,

.♦.CE=DE,；.AE+DE=AE+CE=AC=3cm,故选：C.

【点睛】本题考查J'角平分线性质的应用，能根据性质得出DE=CE是解此题的关键，注意：角平分线上的

点到这个角的两边的距离相等.

5.（2020•全国初二课时练习）如图，BP平分乙4BC,D为BP上一点,E,尸分别在比1,BC上,且满足

DE=DF,若28^0=140。，则/BED的度数是（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】A

【分析】作DGLAB于G,DHLBC于H,根据角平分线的性质得到DH=DG,证明RsDEG名R3DFH,

得到/DEG=NDFH,根据互为邻补角的性质得到答案.

【解析】作DGLAB于G,DHJ_BC于H,

；D是NABC平分线上一点，DG_LAB,DH±BC,，DH=DG,

（DG^DH

在RSDEG和RtADFH中，〈八八八厂Z.RtADEG^RtADFH（HL）,

[DE—DF

.♦.NDEG=NDFH,又/DEG+NBED=180°,AZBFD+ZBED=180°,

ZBFD的度数=180。-140。=40。，故选A.

【点睛】此题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，邻补角的性质，解题关键在于作辅助线

6.（2020•辽宁沈阳初一月考）如图，在RAABC中，NC=90°,以顶点A为圆心，适当长为半径画弧,

分别交AC,AB于点M，N,再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点尸，

2

作射线AP交边8c于点。，若CD=3,AB=\6,则八45。的面积是（）

A.48B.24C.16D.12

【答案】B

【分析】根据题意得到AD平分/BAC,再根据角平分线的性质作DE_LAB,得到DE=DC,即可根据面积

公式计算求出答案.

【解析】由题意得：AD平分/BAC,过点D作DE_LAB交AB于E,

VZC=9O°./.DC±AC,，DE=DC=3,

的面积•力E='xl6x3=24,故选：B.

22

【点睛】此题考查角平分线的画法，角平分线的性质，正确理解题中的画法得到角平分线是解题的关键.

7.（2020•甘肃玉门初一期末）如图，是△NBC中Nb4c的平分线，DELAB于点E,于点E若

SAXBC=28,DE=4,4B=8,则/C长是（）

【分析】首先由角平分线的性质可知DF=DE=4,然后由SAABC=SMBD+SAACD及三角形的面积公式得出结果.

【解析】解：•.,/£＞是△NBC中/A4c的平分线，DEL4B于点E,。尸，/C交NC于点尸，.二。尸=。£=4.

,又■:SAABC=SAABD-S4ACD,AB—8,28=-x8x4d—xACx4,；./C=6.故选C.

22

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质；利用三角形的面积求线段的大小是一种很好的方法，要注意掌

握应用.

8.（2020•辽宁沈河初二期末）如图，点尸是/力。8的角平分线0c上一点，PNLOB于点、N,点、M是线段

ON上一点.已知OM=3,ON=5,点。为。/上一点，若满足尸。=尸加，则。。的长度为.

【答案】3或7.

【分析】过点P作PE_LOA于点E,分点D在线段OE上，点D在射线EA上两种情况讨论，利用角平分线

的性质可得PN=PE,即可求OE=ON=5,由题意可证△PMN丝APDE,可求OD的长.

【解析】解：如图：过点P作于点E,

；OC平分/408,PELOA,PN1OB,:.PE=PN,

*：PE=PN,OP=OP,：.△OPE^△OPN{HL）,：.OE=ON=5,

CW=5,:.MN=2,

A

若点。在线段OE上，-：PM=PD,PE=PN,:./XPMNm/XPDE(HL),

：.DE=MN=2,：.OD=OE-DE=3,

若点D在射线及4上，；PM=PD,PE=PN,：./\PMN^/\PDE(HL),

：.DE=MN=2,：.OD=OE+DE=1.故答案为：3或7.

【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定和性质解决

问题是本题的关键.

知识点2角平分线的判定

1)角平分线的判定：①NAOB=NBOC；②角的内部到两边距离相等的点在角平分线上

1.(2019•江西广丰?南屏中学初二月考)在数学活动课上，小明提出这样一个问题：NB=/C=90。,E是

8c的中点，DE平分N4DC,/CDE=55°.如图，则/及18的度数为

【答案】35。

【分析】过点E作力力于尸，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CE=E尸，再根据到角的

两边距离相等的点在角的平分线上可得/£是NR4D的平分线，然后求出//E8,再根据直角三角形两锐角

互余求解即可.

(解析］过点E作EF±AD于F.,：DE平分ZADC,：.CE=EF.

是8c的中点，：.CE=BE,：.BE=EF,.•./£1是NA4。的平分线，:.NEAB=NE4E.

'：ZS=ZC=90°,：.ZCDA+ZDAB=\^O°,：.2ZCDE+2ZEAB=\?,0°,

AZCDE+ZEAB=90°,/.ZEAB=90°-NCDE=90°-55°=35°.故答案为：35°.

D

【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，角平分线的判定，熟记性质并作辅助

线是解题的关键.

2.（2020•河北新华石家庄新世纪外国语学校初三二模）已知A/8C,两个完全一样的三角板如图摆放，它们

的一组对应直角边分别在N8/C上，且这组对应边所对的顶点重合于点M,点”一定在（）.

A.//的平分线上B./C边的高上C.8c边的垂直平分线上D.边的中线上

【答案】A

【分析】根据角平分线的判定推出M在/BAC的角平分线上，即可得到答案.

【解析】如图，

VME1AB,MF1AC,ME=MF,；.M在/BAC的角平分线上，故选：C.

【点睛】本题主要考查对角平分线的判定定理的理解和掌握，能熟练地利用角平分线的判定定理进行推理

是解此题的关键.

3.（2020•江苏秦淮初三月考）如图，N/CO是△/BC的外角，ZBAC=SO°,和/AC。的平分线相

交于点E,连接NE,则/。E的度数是（）

A.35°B.40°C.50°D.55°

【答案】C

【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义列式并整理得到

ZBAC=2ZBEC,过点E作EF_LBA交延长线于F,作EGLAC丁G,作EHLBD于H,根据角平分线上

的点到角的两边的距离相等可得EF=FH,EG=EH,然后求出EF=EG,再根据到角的两边距离相等的点在角

的平分线上判断出AE是NCAF的平分线，再根据角平分线的定义解答即可.

【解析】：NABC与NACD的角平分线相交于点E,：.ZCBE=—ZABC,ZECD=-ZACD,

22

由三角形的外角性质得，ZACD=ZABC+ZBAC,ZECD=ZBEC+ZCBE,

—ZACD=ZBEC+—ZABC,—（ZABC+ZBAC）=ZBEC+—ZABC,整理得，/BAC=2NBEC,

2222

VZBAC=80°,/.ZBEC=40°,过点E作EF_LBA交延长线于F,作EG_LAC于G,作EH_LBD于H,

TBE平分NABC,；.EF=EH,：CE平分NACD,/.EG=EH,；.EF=EG,AE是NCAF的平分线,

AZCAE=—（180°-ZBAC）=—（180°-80°）=50°.故选C.

22

C.D

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的性质定理与角平分线的判定定

理，难点在于作辅助线并判断出AE是口48。外角的平分线.

4.（2020•山东曹县初二期末）如图，A4OB的外角NC4B,NOBA的平分线AR8尸相交于点P,PELOC

于E,，PE，。。于F，下列结论：（1）PE=PR;（2）点尸在ZCOD的平分线上；（3）NAP8=9（）°—NO,

其中正确的有（）

FD

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】C

【分析】过点P作PGLAB,由角平分线的性质定理，得到PE=PG=PF,可判断（1）（2）正确；由

ZAPB=-ZEPF,ZEPF+ZO=180°,得到NAPB=90。—工/0,可判断（3）错误；即可得到答案.

22

【解析】解：过点P作PG_LAB,如图：

：AP平分NCAB,BP平分NDBA,PE上OC，PF1OD.PG1AB,

:.PE=PG=PF；故（1）正确；...点P在NCW的平分线上；故（2）正确；

ZAPB=ZAPG+NBPG=-ZEPF,

2

乂NEPE+NO=180。，ZAP8=；x（180°-/。）=90°-;N。；故（3）错误；

,正确的选项有2个；故选：C

【点睛】本题考查了角平分线的判定定理和性质定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定和性质进行

解题.

5.（2020•河南海池初二期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方

形直尺就可以作出一个角的平分线.如图：一把直尺压住射线OB,另一把直尺压住射线OA并且与第一把

直尺交于点P,小明说：“射线OP就是/BOA的角平分线.”他这样做的依据是（）

A.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等

C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D.以上均不正确

【答案】A

【分析】过两把宜尺的交点C作CFBO与点F,,由题意得CEAO因为是两把完全相同的长方形直尺,

可得CE=CF,再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得0P平分NAOB

【解析】如图所示：过两把直尺的交点C作CFB0与点F由题意得CEA0

••,两把完全相同的长方形直尺，CE=CF

匚OP平分NAOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选AD

【点睛】本题主要考查/基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上

这一判定定理口

6.（2020•辽宁和平初二期末）如图，点P是^ABC内一点，PD_LAB于D,PE_LBC于E,PF_LAC于F,

且PD=PE=PF,则点P是AABC（）

A.三边垂直平分线的交点B.三条角平分线的交点

C.三条高的交点D.三条中线交点

【答案】B

【分析】根据角平分线性质的逆定理即可得出答案.

【解析】解：P到三条距离相等，即PD=PE=PF,连接PA、PB、PC,

：PD=PE,；.PB是NABC的角平分线，同理PA、PC分别是/BAC,/ACB的角平分线，

故P是aABC角平分线交点，故选：B.

【点睛】本题主要考查三角形角平分线的交点，•掌握角平分线的性质的逆定理是解题的关键.

7.（2020•全国初二课时练习）如图，△/8C是等边三角形，AQ=PQ,PRL4B于点、R,PSL力C于点S,PR=PS.

下列结论：①点尸在NN的角平分线上；②AS=AR；③QP〃AR；®/\BRP^^QSP.其中，正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【解析】•••△N8C是等边三角形，PR±AB,PS±AC,且PR=PS,在/Z的平分线上，故①正确；

由①可知，PB=PC,NB=NC,PS=PR,:.△BPRQACPS,：.AS=AR,故②正确；

'：AQ=PQ,：.ZPQC=2ZPAC=60°=ZBAC,：.PQ//AR,故③正确；

由③得，APOC是等边三角形，二△尸QS丝△PCS,又由②可知，④）XBRP沿4QSP,故④也正确，•.•①②③④

都正确，D.

点睛：本题考查了角平分线的性质与全等三角形的判定与性质，准确识图并熟练掌握全等三角形的判定方

法与性质是解题的关键.

8.（2020•全国初二课时练习）已知：如图，DE_LAB于E,DF_LAC于F,若BD=CD,BE=CF；求证：

AD平分/BAC.

【答案】见解析

【分析】根据已知条件证明aBDE丝ACDF,得到DE=DF,再根据角平分线的判定定理即可得到结论.

【解析】证明：VDE1AB,DF1AC,AZDEB=ZDFC=90°,

BD=CD

RtABDERtACDF,RtBDERtCDF,；.DE=DF,

BE=CF

XVDE1AB,DF1AC,；.AD平分NBAC.

【点睛】此题考查三角形全等的判定及性质，角平分线的判定定理，正确理解题意证明...RtABDE丝R3CDF

是解题的关键.

知识点3.尺规作图

五种基本作图：

①作一条线段等于已知线段（已学）；②作一个角等于已知角；③作已知角的角平分线：

④作已知线段的垂直平分线（见第十三章）；⑤过一点作已知直线的垂线（见第十三章）

1.（2020•北京垂杨柳中学初一期末）下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程.

已知：ZO,

求作：一个角，使它等于NO.

作法：如图：

①在NO的两边上分别任取一点A,B；②以点A为圆心，OA为半径画弧；以点B为圆心，OB为半径画

弧；两弧交于点C；③连结AC,BC,所以NC即为所求作的角.

请根据小明设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下列证明.

证明：连结AB,

VOA=AC,OB=,,

丝△C43（）（填推理依据）.

二zc=zo.

【答案】（1）见解析；（2）BC,AB=AB,边边边

【分析】（1）根据描述利用尺规作出图形；

（2）根据作图可得AO=AC,BO=BC,AB=AB,再利用SSS判定△AOB四4ACB即可得出/O=/C.

【解析】解：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

A

C

B

（2）BC,AB=AB,边边边

【点睛】此题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握作一个角等于已知角的方法，掌握三角形全等

的判定方法.

-2.（2020•辽宁丹东初一期末）校园的一角如图所示，其中线段AB，BC,8表示围墙，围墙内是学生

的一个活动区域，小明想在图中的活动区域中找到一点P，使得点P到三面围墙的距离都相等.请在图中

找出点P.（用尺规作图，，不用写作法，保留作图痕迹）

【答案】图见解析.

【分析】由点P到三面围墙的距离都相等，所以P是NABC,/BC。的角平分线的交点，作出两个角的角

平分线的交点即可.

【解析】解：分别作/ABC,NBC。的角平分线，如图，

:.交点P即为所求.

【点睛】本题主要考查作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握角平分线的性质与尺规作图.

3.（2020•广东省深圳市龙岗区南芳学校初一期中）如图，已知直线AB和点P,用尺规作直线CD,使CD//AB,

且CD过点P;

•P

AB

【答案】见解析

【分析】利用P点作NEPF=LPMB,进而得出答案;

【解析】解：如图，作"EPF=PMB

【点睛】此题主要考查了作一角等于已知角以及过一点作一直线的平行线，正确作一角等于已知角是解题

关键.

4.（2020•浙江西湖初二期中）如图，已知Na,Zp,线段a,完成下面的尺规作图：

（1）Za+ZP；（2）A4BC,使//=/a,BC=a.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（D根据尺规作图过程即可作出Na+/|3；

（2）先根据尺规作图作出NC=180。-Na-Np,再进行其它作图即可作出三角形.

【解析】解：（D如图NZOC即为所求作的图形.

B

（2）如图即为所求作的△48C.作8C=a,作/8=N（3,ZC=180°-Za-Zp,ZB,NC的两条边相

交于点4则NZ=/a.

答：△N8C即为所求作的图形.

【点睛】本题考查了尺规作图，解决本题的关键是规范作图，注意画NC时，先作出180。-/a-NB.

5.（2020•上海市静安区实验中学单元测试）已知Ua、Op,用尺规画出UAOB=2a-口仇（不写作法，标明

字母）

【答案】见解析

【分析】根据用尺规作图作角等于已知角作图即可.

【解析】解：分别以□叫口。的顶点为圆心，任意长度为半径作弧，分别交口心口»的边于P、Q、M、N；

作射线0B,以O为圆心，以相同长度为半径作一个优弧，交射线OB于点C,以C为圆心，PQ的长度为

半径作弧，交优弧于点D,作射线0D,再以D为圆心，PQ的长为半径作弧，交优弧（ZDOB外部）于点

E,作射线OE,然后以E为圆心，MN的长为半径作弧，交优弧（NEOB内部）于点A,作射线OA,如图

所示：UAOB=2Ua-NAOB即为所求.

【点睛】此题考查的是用尺规作图作角等于已知角，掌握用尺规作图作角等于已知角是解决此题的关键.

6.（2019•全国初二课时练习）如图，已知用尺规将一个任意角三等分是不可能的，但对于一些特殊角则可

以利用作等边三角形的方法三等分，请用直尺和圆规把平角CDE和4408=45。这两个角三等分（尺规作

图，要求保留作图痕迹，不必写出作法）

【答案】详见解析

【分析】根据平角的三分之一等于60。，所以以点D为顶点，分别以CD、DE为边在同一侧作等边三角形

7CDM和UDEN,则射线DM、DN即为所求作的平角CDE的三等分线；

根据45。角的三分之一等于15。，以点。为圆心，以任意长为半径画弧与0B相交于点F,再作FH=OF,然

后以点F、H为圆心，以FH长为半径画弧相交于点P,连接OP,根据一边上的中线等于这边的一半的三角

形是直角三角形可判定△（）/>〃是直角三角形，再根据30。角所对的直角边等于斜边的一半可得NPOH=30。,

从而得到NAOP=15。，再作出NPOH的角平分线即可把NAOB=45。三等分.

【解析】解：如图所示，射线DM、ON为平角CDE的三等分线；

如图所示，射线OP、。。为N4OB=45°的三等分线.

【点睛】本题考查了复杂作图，根据角度的三分之一的度数，利用等边三角形作出60。的角，利用直角三角

形30。角所对的直角边等于斜边的一半的性质作出30。的角是解题的关键.

知识点4.三角形的内心和旁心

1）三角形内心：三条角平分线的交点（三角形内切圆）

内心特点：两条角平分线交于一点，第三条角平分线一定交于这一点

内心性质：内心到三边距离相等（利用角平分线性质证明）

2）三角形旁心（了解）：三角形两外角平分线及一个内角平分线的交点

旁心特点：两条角平分线交于一点，第三条角平分线一定交于这一点

旁心性质：旁心到三边距离相等（与内心证明方法相同）

I.（2020•全国初二课时练习）某镇要在三条公路围成的一块平地上修建一个砂石场，如图，要使这个砂石

场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（）

A.仅有一处B.有四处C.有三处D.有无数处

【答案】A

【分析】利用角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等，所以是三个内角平分线的交

点有1个，外角平分线的交点有3个，又要求砂石场要在三条公路围成的一块平地上修建，所以只有三个内

角平分线的交点符合要求.

【解析】解：..•砂石场到三条公路的距离相等，，该点应该是三个角的角平分线的交点，满足条件的点有:

三角形内部：三个内角平分线交点1个（内心）；三角形外部：三个外角角平分线3个（旁心），

•.•要求砂石场要在三条公路围成的一块平地上修建，-

...满足条件的只有F个，即为三个内角的角平分线的交点.故选A.

【点睛】本题考查学生对角平分线的性质的理解和掌握.解答此题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理.

2.（2019・齐齐哈尔市第五十三中学校初二期中）如图，是三条两两相交的笔直公路，某物流公司现要修建

一个货物中转站，使它到三条公路的距离相等，这个货物中转站可选的位置有（）

A.1个B.3个C.4个D.5个

【答案】C

【分析】根据角平分线性质，同时货物中转站的位置到三条公路的距离相等，从而得到三角形内心一个位

置，旁心三个位置.

•••内心和旁心都是角平分线的交点，，由角平分线性质知内心和旁心心到角两边的距离相等.

如图所示，符合条件的有4个点.故选：C.

【点睛】本题考查角平分线性质的应用，熟练掌握性质是关键.

3.（2020•南通市八一中学初一月考）如图，a、b、c三条公路的位置相交成三角形，现决定在三条公路之

间建一购物超市，使超市到三条公路的距离相等，则超市应建在（）

A.三角形两边高线的交点处B.三角形两边中线的交点处

C.Na的平分线上D.Na和N0的平分线的交点处

【答案】D

【分析】根据题意知，超市应该是AABC的内心，即该三角形的内角平分线的交点.

【解析】•••如图，要建一超市到a、b、c三条公路的距离相等，，该超市是AABC的内心，

超市应该建在/a和的平分线的交点处.故选：D.

【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

4.（2020•山东莱州初一期末）如图，直线表示三条相互交叉的公路，现在要建设一个货物中转站，要求它

到三条公路的距离相等，请确定中转站p的位置.要求：尺规作图，保留痕迹，标注字母，不写作法.

【答案】作图见解析部分.到三条公路的距离相等的点有四个.

【分析】利用角平分线的性质定理解决问题即可，注意到三条公路的距离相等的点有四个.

【解析】解：如图，满足条件的点P有四个，如图所示：

»7

出3

II

【点睛】本题考查作图-应用与设计，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学

知识解决问题.

重难点题型

题型1角平分线的性质和定义的应用

性质：角平分线上的点到两边的距离相等

解题技巧：过角平分线上的点向两边作垂线

1.（2019•湖北武汉初二期中）如图，/C=90°,4D平分NB4C交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,则

点。到的距离为（）cm.

【答案】C

【分析】过点。作。E4B于E,通过角平分线的性质进行求解即可得到点。到"8的距离.

【解析】作OEABTE,如下图，49平分口切。，DCOAC,DE3AB,EDC=DE,

BC=5cm,BD=3cm,CD=2cm,DE=2cm,即点。到的距离为2si,故选：C.

【点睛】本题主要考查/角平分线的性质，熟练掌握角平分线性质的应用并利用性质进行辅助线作图是解

决本题的关键.

2.（2020•全国初二课时练习）如图，NB=NC=90ODM是BC的中点，DM平分NADC,且/ADC=110。，

则/MAB=D

A.30°B.35°C.45°D.60°

【答案】B

【分析】作MN_LAD于N,根据平行线的性质求出/DAB,根据角平分线的判定定理得到/MAB=，/DAB,

2

计算即可.

［解析】作MN_LAD于NZIVZB=ZC=90°□，AB〃CDZ1ZDAB=180°IJZADC=70°i

：DM平分/ADCMN±ADMC±CDD/.MN=MC

：M是BC的中点，；.MC=MB，MN=MB,又MNJ_ADMB±AB

/.ZMAB=-ZDAB=35°故选B

2

【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质与判定，熟练掌握相关内容、正确添加辅助线是解题

的关键.

3.（2020•四川巴州初一期末）如图，AB//CD,F为NBAC,NAC。的平分线的交点，于点E,

且EF=6,则AB与CD之间的距离是（）

【答案】D

【分析】过点尸作于点M，交CDF点N,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得

MF=EF=FN,再根据平行线间的距离的定义解答.

【解析】如图，过点/作MNLAB于点M，交CD于苴N,•.•AB//CD,；.MNLCD.

•；F为NBAC、NACD的平分线的交点，EF=6,

;.MF=EF=FN=6,,AB与CO之间的距离=MF+ZW=12.故选：D.

【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，平行线间的距离的求解，熟记性质并作

出辅助线是解题的关键.

4.（2020・西安市铁一中学初一期末）如图，已知口43。的周长是16,A/5和分别平分乙43。和//C5,

过点A/作8c的垂线交8c于点。，且又。=4,则口相。的面积是（）

【答案】C

【分析】连接4W,过/作MEL48于£,于尸，利用角平分线的性质可得：ME=MF=MD,

再利用三角形的面枳公式可得答案.

【解析】解：连接4W,过例作A/E_L/8于E,例尸_L/C于尸，

和A/C分别平分N4BC和NZCB,MD1BC,MD=4,：.ME^=MD=4,MF=MD=4,

二口钠。的周长是16,.../8+8C+/C=16,.;□ABC的面枳S=SAMC+SBCM+SABM

^-ACxMF+-BCxDM+-ABxME^-ACx4+-BCx4+-ABx4=2（ZC+8C+Z8）=32,

222222

故选：C.

【点睛】本题考查的是三角形的角平分线的性质，同时考查了三角形的高，•三角形的面积的计算，掌握以

上知识是解题的关键.

5.（2020•广东惠来初二期末）如图，在RtA/8C中，/C=90。，/历1C的平分线交BC于点。，C£>=2,Q

为48上一动点，则。。的最小值为（）

I:

0

C

Lf5

A.2B.2J2C.J3D.一

【答案】A

【分析】作DHLAB于H,根据点到直线的距离垂线段最短可得DQ的最小值为力〃的长，利用角平分线的

性质可得即可求解.

【解析】解：作。于H,如图，平分NB4C,DHLAB,DCLAC,：.DH=DC^2,

为Z8上一动点，六。。的最小值为。，的长，即O0的最小值为2.故选：A.

【点睛】本题考查角平分线的性质、垂线段最短等知识点，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解

题的关键.

6.（2019•云南楚雄初一期末）如图，在口相。中，C0L4B于点。，BE平分NABC，交.CD于点E，

若S"C£=10，BC=5,则OE等于（）

A.10B.7C.5D.4

【答案】D

【分析】作EFLBC于F,根据三角形的面积公式求出EF,根据角平分线的性质定理解答即可.

【解析】作EFLBC于F,

VSABCE=10,A—XBCXEF=10,BP—X5XEF=10,解得，EF=4,

22

..•BE平分/ABC,CD±AB,EFXBC,，DE=EF=4,故选：D.

【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.

7.（2020•江苏江阴初二期中）如图，AD是1ABe的角平分线，DFDAB,垂足为F,DE=DG,OADG^OAED

的面积分别为50和39,则LJEDF的面积为（）

A.11B.5.5C.7D.3.5

【解析】作DM=DE交AC于M,作DNAC,DE=DG,DM=DE,

AD是DABC的角平分线，DFAB,ODE=DN,nDDEFLDNM,

匚匚ADG和IEJAED的面积分别为50和39,

SAMDG=SAADG-SAAMG=590-39=11,SADNM=SADEF=/SAMDG=1X11=5.5

2

8.（2020•山东东平初一期末）如图所示，□ABC的外角NACD的平分线CP与NABC的平分线相交于点

P,若NBPC=36°,则NC4P=.

【答案】540

【分析】如图（见解析），设NCBP=x,从而可得NABC=2x,先根据三角形的外角性质可求出

NB4C=72。，再根据角平分线的性质可得尸"=PN,PM=PE,从而可得=然后根据直角三

角形全等的判定定理与性质可得ZPAN=ZPAE,最后根据平角的定义即可得.

【解析】如图，过点P分别作于点M,PNLBA丁点N,PEJ_AC于点E,

设NCBP=x，则ZABC=2x,•;/BPC=36。,ZDCP=NCBP+/BPC=x+36°,

-CP是ZACD的平分线，ZACD=2ZDCP=2x+72°,

二NB4C=NACO-ZABC=2x+72。-2x=72。，

•.•BP是NABC的平分线，PMLBD，PNIBA,PM=PN,

同理可得：PM=PE，:.PN=PE,

\PN=PE

在及Q4VP和中，《，:.RtUANP=RtDAEP(HL),

PA=PA

：.ZPAN=ZPAE,即NRW=NC4P,

又APAN+ZCAP+ABAC=180°,2NC4P+72°=180°,

解得NC4尸=54°,故答案为：54°.

【点睛】本题考查了角平分线的定义与性质、三角形的外角性质、直角三角形全等的判定定理与性质等知

识点，通过作辅助线，利用角平分线的性质是解题关键.

题型2三角形内心的应用

性质：三角形内心到三边距离相等

解题技巧：过内心这个点，向三边分别作垂线，利用角平分线性质解题

1.（2020•江苏无锡初三二模）如图，点I为AABC的内心，AB=4,AC=3,BC=2,将/ACB平移使其顶

点与I重合，则图中阴影部分的周长为.

【答案】4

【分析】连接AI、BI,因为三角形的内心是角平分线的交点，所以AI是NCAB的平分线，由平行的性质

和等角对等边可得：AD=DL同理BE=EI,所以图中阴影部分的周长就是边AB的长.

【解析】连接AI、BL

•点I为AABC的内心，，AI平分NCAB,AZCAI=ZBAI,

由平移得：AC//DI,/.ZCAI=ZAID,ZBAI=ZAID,，AD=D［，同理可得：BE=EI,

.♦.△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4,即图中阴影部分的周长为4,故答案为：4.

【点睛】此题考查平行线的性质，角平分线的性质，解题关键在于作辅助线.

2.（2020•四川成都正兴中学初二二模）已知，如图，［JABC中，NC=90°,点。为口抽。的三条角平

分线的交点，垂直BC,OEJ_AC,OFJ_A3,点。、E、尸分别是垂足,且AB=10cm,=8cm,

CA-6cm,则。尸=.

【答案】2cm

【分析】连接04、08、OC,如图，利用角平分线的性质8=OE=O尸，设。尸=%，则OD=QE=x,

根据三角形面积公式，利用SMOC+IMC+得到丸6+（况8+g%U0=g*6*8,然后解方程.

【解析】解：连接。4、OB、OC，如图，

•••点O为八钻。的三条角平分线的交点，8垂直BC,OE1AC，OF上AB,:.OD=OE=OF,

设OE=x,则OD=OE=x,

+

SM0C+S^OC+SM0B=SMCB''''+^LIO=1X6X8,解得X=2,

即的长为2cm.故答案为：20n.

【点睛】本题考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.也考查了三角形面积公式.

4.（2019・偃师市实验中学初二月考）如图，直线a,h,c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它

到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有处.（填数字）

【答案】4

【分析】由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；

然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个,

可得可供选择的地址有4个.

【解析】VAABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，

...△ABC内角平分线的交点满足条件：如图：点P是AABC两条外角平分线的交点，

过点P作PE_LAB,PDXBC,PF±AC,APE=PF,PF=PD,/.PE=PF=PD,

...点P到AABC的三边的距离相等，

/.△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；

综上，到三条公路的距离相等的点有4个，.•.可供选择的地址有4个.故答案是：4.

【点睛】考查了角平分线的性质.注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，注意数形结合思想的应

用，小心别漏解.

5.（2020•武汉市光谷实验中学初二月考）在直角AABC中，已知/ACB=90。，AB=13,AC=12,BC=5.在

△ABC的内部找一点P,使得P到4ACB的三边的距离相等，则这个距离是.

【答案】2

【分析】连接PC、PB、PA,作PDJ_AB于D,PELAC于E,PF_LBC于F,根据三角形的面积公式计算

即可.

【解析】连接PC、PB、PA,作PD_LAB于D,PE_LAC于E,PF_LBC于F,由题意得，PE=PD=PF,

11II

SAAPC+SAAPB+SABPLSAACB,••一AC,PEH—AB,PDH—BC,PF=—AC,BC,

2222

即LX12•PD+』X13・PD+1X5・PD=1X5X12,解得，PD=2,故答案为：2.

2222

【点睛】本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的面积公式是解题的关键.

6.（2019•安徽马鞍山初二期末）如图，口ABC的三条角平分线交于点。。到Z8的距离为3,且口/3。的

周长为18,则CA3C的面积为□

【答案】27

【分析】作OD_LABOEACJOFBC,垂足分别为DE、F,将AABC的面积分为：SAABC=SAOBC+SAOAC+SA°AB,

而三个小三角形的高0D=0E=0F,它们的底边和就是aABC的周长，可计算aABC的面积.

【解析】如图□作0D_LABOEACHOFBC,垂足分别为DDEF

VOB,0C分别平分NABC和/ACB,匚OD=OE=OF=3口

1111I

SAABC=SAOBC+SAOAC+SAOAB=—AB*ODH—AC,OEH—BC*OF=—ODAB+BC+AC=—X3X18=27

22222

DB

【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积；利用三角形的三条角平分线交于一点，将三角形面

积分为三个小三角形面积求和，发现并利用三个小三角形等高是正确解答本题的关键.

题型3.角平分线定理的应用（补充）

三角形的角平分线定理：如图所示，在AA3C中，AO是它的角平分线.则：SMBD:SMCD=AB:AC

证明：作DE_LAB,DF1AC,垂足为E、F,：AD平分NBAC,；.DE=DF,

SAABD：SAACD=(—xABxDE)：(—xACXDF)=AB：AC.

22

1.（2020•全国初二课时练习）如图，在口43。中，4。是NS4C的平分线，AB=6cm,AC=8cm,则

BD:CD=.

【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点D到AB、AC的距离相等，再根据等高的三角形

的面积的比等于底边的比求解.

【解析】•.♦AD是N84C的平分线，，点。到4C的距离相等，・•.SAB。：SACO=6：8=3:4.

过点A作AE_LBC于点E,SABD=—BD-AE，SACD=\cD-AE,

/\DLf2/iCix2

.•.8。：CO=S"C:SA。=3：4.故答案为：3:4.

A

【点睛】本题考查角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，

熟记性质与等高的三角形的面积的关