工程有限元方法非线性有限元概述

有限元方法与应用

非线性有限元分析张有为工程力学系自由度缩减方法瑞利阻尼柯西阻尼比例阻尼非线性有限元概述静力学有限元动力学有限元非线性有限元概述非线性有限元概述非线性有限元概述非线性有限元概述结构非线性问题的来源、分类及特征线弹性分析的特点非线性问题的来源非线性分析的分类非线性问题的特征非线性方程组的基本解法

直接迭代法

Newton-Raphson法

修正Newton-Raphson法增量法线弹性分析的特点节点位移为无限小量几何方程（应变－位移关系）为线性材料为线弹性物理方程（应力－应变关系）为线性边界条件性质保持不变边界条件中接触状态为已知离散控制方程控制方程为线性代数方程

非线性问题的来源固体力学问题，从本质上讲是非线性的，线性假设只是实际问题中的一种简化。在分析线性弹性体系时，假设节点位移无限小；材料的应力与应变关系满足胡克定律；加载时边界条件的性质保持不变，如果不满足上述条件之一的，就称为非线性问题。非线性问题的来源材料非线性：体系的非线性是由于材料的应力与应变关系的非线性引起几何非线性：结构的位移使体系的受力状态发生了显著的变化，以致不能采用线性体系的分析方法接触非线性：由随时间发生变化的接触状态引起非线性问题的分类(1)材料非线性（小应变）(2)几何非线性（大位移、大转动、小应变）增压器涡轮机轮盘叶片组件弹塑性变形L型梁大变形分析如高层建筑、大跨度钢架结构的结构分析大多属于此类问题如应力集中问题(缺口、裂纹等)非线性问题的分类(2)几何非线性（大位移、大转动、大应变）(3)接触非线性轮轨接触齿轮啮合冲压导致的厚度减薄如金属的压力加工问题非线性问题的分类结构非线性有限元分析的类型、特点及描述方法分析类型特点描述方法应力和应变仅材料非线性位移和应变无限小，应力应变关系是非线性的非线性弹性弹塑性工程应力工程应变大位移大转动小应变线元的位移和转动充分大，但线元的伸长和线元之间的角度改变无限小，应力应变关系是线性的或非线性的完全Lagrangian描述Kirchhoff应力Green应变更新Lagrangian描述Cauchy应力Almansi应变大位移大转动大应变线元的伸长和线元之间的角度改变充分大，线元的位移和角度也可以充分大，应力应变关系是线性的或非线性的完全Lagrangian描述Kirchhoff应力Green应变更新Lagrangian描述Cauchy应力Almansi应变非线性问题的特征非线性问题最终可转化为求解如下方程其中

结构非线性分析最终均可转化为上述非线性方程组的求解，然而由于刚度矩阵及外力向量均为位移的函数，在求解过程中将发生变化，因此求解比线性问题复杂，计算量大得多

(1)非线性方程组求解的直接迭代法改写原始方程组为直接迭代法计算流程(1)假定初始试探解为

(3)若满足如下迭代判据其中

则停止迭代，否则转向(2)某给定的小量某误差范数

可取线弹性解为初始试探值非线性方程组求解的直接迭代法

收敛发散非线性方程组求解的直接迭代法为避免直接迭代法每一步中对系数矩阵的求逆，可以采用常系数矩阵进行迭代常系数矩阵的直接迭代法计算流程(1)假定初始试探解为

(2)求第一步迭代近似解为(3)对近似解进行修正

其中

非线性方程组求解的直接迭代法典型算例直接迭代法计算流程

其中

(1)假定初始试探解为

迭代11次收敛

非线锋性方看程组推求解话的直撇接迭煮代法常系数自矩阵直接迭代法忙计算流纵程(1)假定咳初始蛾试探且解为(2)第一怜步迭柿代近雪似解筛为迭代16次收角敛非线指性方阳程组列求解筐的直跟接迭昌代法迭代历务史比较非线顷性方线程组污求解完的N-R法非线性碗方程组戏的一阶Tay僵lor展开式N-改R方法调的计良算流俘程切线骄矩阵其中(1)计算狸近似扮解修季正量暴并更非新近话似解非线娘性方脏程组屠求解尺的N-R法N-R方法的受收敛性一般傲情况下具冰有良手好的提收敛胞性偶尔巨会出返现发土散（鸭如下少图）收敛可能的版发散非线闭性方扔程组犬求解当的mN-感R法为避免N-R方法每剧一迭代较步中对潮切线矩挺阵的求逆，常常践可以采桂用修正侧的方案鼻，即修纯正N-淹R方法(mN霉-R)，其隐中切凳线矩被阵总清是采泛用它榜的初马始值mN-泊R方法的功计算流辽程其中(1员)计算闲近似孩解修来正量胳并更克新近饥似解非线性陵方程组赵求解的mN惰-R法非线毒性方程搞组求鉴解的(m衬)N桥-R法典型算芳例N-慎R法计算蜜流程其中迭代5次收敛(1)假定初夕始试探叮解为非线性方程组劈燕求解的(m)熔N-R法mN浮-R法计算流涝程(1)假定蝴初始尿试探吸解为迭代16次收敛雨，对于贡此特例树问题，荣其与校慈正的直福接迭代闷法类似则非线臭性方程是组求茄解的(m泰)N姑-R法迭代历假史比较扩展拟牛培顿法——秩2算法——B畅FGS算法非线性瞒方程组斥求解的喘增量法用以表示载床荷变化渔的参数切线矩挂阵其中上式所提飘出的是灾一典型枕的常微课分方程窜组问题墙，可以煮利用很丝式多方法享求解如：(1宋)欧拉方喊法，(2滩)旁N-翻R方法非线峡性方遮程组局求解图的增架量法欧拉方韵法计算趁流程校正的赚欧拉方肠法流程其中(2)其中(3)非线律性方摊程组嫌求解霉的增军量法欧拉膜方法神的收番敛性采用(2)和(3)式计算建的结果堵都不能颈精确满看足原方年程，且境将导致哥解的漂待移，且歪随着增吹量的增荣加，解扭的漂移贵现象愈坑加严重考虑移平衡带校正瞧的增榆量解搞法，递即对(2)式进行纵修正，忙改写为(4)欧拉测法求拼解增扰量方迹程和派解的厕漂移考虑群平衡宗校正肝的增粪量解欢法非线宅性方钟程组梳求解烈的增关量法N-R方法亿计算压流程mN-循R方法流宴程每一个将增量步收中采用N-R方法迭而代求解衬本步结违束时的搬解其中(5)(6悉)将N-侨R方法中施每一个抛迭代步厉的切线偿矩阵用席本步初屈始值替梯代非线性执方程组嚼求解的奇增量法N-R和mN拖-R方法飞的收宋敛性两种垦方法狂较增匪量法教的收违敛性企好mN-区R方法婆求解甚非线遭性方梢程组帝时，澡可以划避免氏每次鞠迭代六重新神形成语和求糖逆切斧线矩豪阵，多但降围低了拦收敛回速度茫，尤纹其是P-a曲线龟突然魔趋于剖平坦舍时（掩如结多构分厅析中译结构邀趋于豆极限革载荷赢或突撤然变坡软）岂，收注敛速药度会评很慢张。为加速亏收敛，含可采用跨一些常耕用的方行法进行井改进，抗如Ait翠ken加速恐法，蕉这里胳不再幼详细垦列举N-R方法求客解增量衬方程mN菠-R方法盼求解羊增量尾方程非线性方程侍组求酱解的政增量钉法典型封算例欧拉推方法意计算流程其中