第二章 函数与基本初等函数Ⅰ题库 22 函数的单调性与最值(答案解析)

2.2函数的单调性与最值一、填空题1．函数f()＝log(2－4－5)的单调增区间为________．2解析由题意知2－4x－5>0，解得<－1或>5，即函数(x)＝(x－4－25)的定义域为(－∞，1)∪(5，＋∞)，根据外层函数为单调增函数，而内层函数u＝2－4x－＝(－2)2－9在(5，＋∞)上单调递增，所以所求函数的单调增区间为(5，＋∞).答案(5，＋∞)2．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是_______．(填所有正确的编号)①y＝－x＋；②＝；③y＝2

2－4x＋；④y＝.x解析y＝－x＋在上递减；y＝在上递增；＝2－4＋5在(－∞，2]＋2上递减，在[2，＋∞)上递增，y＝在R上递减．x＋答案②3．定义在R奇函数f()单调递增，且对任意实数ab满足(a)＋(－1)＝0，则a＋＝________.解析∵f()为奇函数，∴(－x)＝－(x)∴f()＝－f(－1)＝(1－b)又∵f()单调递增∴a＝－b即＋＝1.答案14．若函数f()＝x

＋(a

－4a＋1)x＋区间(－∞，1]上是减函数，则的取值范围是________．解析因为f()是二次函数且开口向上，所以要使f()在(－∞，上是单调递减函数，a则必有－

－4a＋2

≥1，即a－4＋3≤0，解得1≤≤3.答案[1,3]5．下列函数：y＝3

；②y＝x|1③＝－x

＋1；④y＝

－||

，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数序号是________解析y＝3奇函数，y＝－x2＋1与＝2－|x在(0，＋∞)上是减函数．

1

答案②6已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数且f()在(－1,1)上是减函数不等式f(1－)＋(1－2

)＜0的解集为________．解析由f()是定义在(－1,1)上的奇函数，及f(1－)＋(1－2

)＜0得f(1－)＜－(1－2

)．所以f(1－)＜(2

－1)．又因为()在(－1,1)上是减函数，－1＜1－x＜，所以－2＜1，解得0＜x＜1.1－x＞2－1.故原不等式的解集为(0,1)．答案(0,1)7．已知函数＝(x)是定义在的偶函数，当≤0时，y＝f(x)是减函数，若|x|＜x|，则结论：(x－f(x＜0；f(x－(x)＞；f(x＋(x)12121212＜0；④f(x＋(x)＞中成立的是________(填所有正确的编号)．12解析

由题意，得f(x在[0，∞)上是增函数，且f()f(|x，(x)＝112f(|x|)，从而由0≤x|＜x|，得(|x＜f(|x|)，即f(x)＜f(x，(x)21212121－f(x＜0，只能①是正确的．2答案①8.设a=log4log3)25，b，c的大小关系是_____54解析因为0<log34b<a<c.55答案b<a<c9．如果对于函数(x)的定义域内任意两个自变量的值x当x＜时，都1212有f(x≤f(x且存在两个不相等的自变量m，m，使得f(＝f(，则称为121212定义域上的不严格的增函数．已知函数(x定义域、值域分别为A，，A＝{1,2,3}，BA且g()为定义域A上的不严格的增函数，那么这样的函数g()共有________个．解析分B元素为1个，2个，3讨论．B中只有一个元素，此时各有一个函数；B有两个元素，此时各有两个函数；有3个元素时，不合题意．因此共2

1212212212122122有3＋6＝9个函数．答案910．已知函数f)＝1－1－2，x∈[0,1]，对于满足0＜x1的任意x、121x，给出下列结论：2①(xx)[f(x)－(x)]＜；②xf(x)＜xf(x)；③(x－f(x)＞－x；④212121122121f＋fx＞f2其中正确结论的序号是________．解析函数f()＝1－1－x2，x∈[0,1]的图象如图所示，命题①可等价为－021＜f21

，即f(x)在x∈[0,1]上是单调递增函数，结合图象可知，命题①错误于命题②作差即可知其正确题③可变形为

f－f21x－x21＞1，不等式左端的几何意义是图象上任意两点连线的斜率，由图象知斜率不都大于1命题③错误对于命题④因为图象是凹函数满足

f＋x122

＞f

x＋x命题④正确．答案②④函数f()=a|-b|+2在[0增函数,实数a,b的取值范围为.解析由f()=a|-b|+2知其图象关于=b对称,且[0函数,以.答案12．设y＝()是定义在R上的偶函数，满足f(＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于函数y＝(x)的判断：①y＝(x)是周期函数＝(x)的图象关于直线x＝对称＝f()在[0,1]3

222222122121221212212222222122121221212212上是增函数；f其中正确判断的序号________(你认为正确判断的序号都填上)．解析①由f(＋1)＝－()得f(x＋2)＝－f(＋1)＝f(x)即①正确②由f(1－)＝－f(－)＝－()＝f(1＋)知②正确由偶函数在[－1,0][0,1]1上具有相反的单调性知③不正确④在f(＋1)＝－f()中令x＝－得f2－ff答案①②④2，≤0，13．已知函数f)＝－1，＞0

(a是常数且a＞0)．对于下列命题：①函数f()的最小值是－1；②函数f()在R是单调函数；③若f()＞0在，＋∞立，则a的取值范围是a＞；x④对任意的x0，x＜且x≠x，恒有ff＋f122

.其中正确命题的序号是__________(写出所有正确命题的序号)．解析(数形结合法)根据题意可画出草图，由图象可知，①显然正确；函数f()在R不是单调函数，故②错误；若f()＞0在，＋∞1上恒成立，则2a×－＞0，a＞，故③正确；2由图象可知在(－∞，0)上对任意的x＜0，x＜012xx＋x且xx，恒有成立，2故④正确．答案①③④4

22【点评】采用数形结合法.注意本题中的③和④的理解此题充分体现了数形结合法的直观性与便捷性.二、解答题14.已知t为常数,函数y=|xx在区[上的最大值为2，求t的值解析显然函数yx|的最大值只能在x=1=3时取到,若在x=1时取到则|1-2-t|=2,得t=1或t=-3.t=1,x=3时y=2;t=-3,=3时,y=6(舍去);若在x=3时取到则|9-6-t|=2,得t=1或t=5.t=1,x=1时y=2;t=5,=1时,y=6(舍去),所以t=1.15.设函数f()＝ax2＋bx＋1(、b∈R)．(1)若f(－1)＝，且对任意实数x均有f()≥0成立，求实数a、的值；(2)在(1)的条件下，当x∈－2,2]时，g()＝()－kx是单调函数，求实数的取值范围．解析(1)∵f(－1)＝，∴－b＋＝0，即b＋1.又对任意实数x均有(x≥0成立，∴a>0Δ＝2－4≤0恒成立，即>0且(a－2≤0恒成立，∴a＝，b＝2.(2)由(1)可知f)＝2＋2x＋，∴g()＝x＋(2－k)x＋1.∵g()在x∈－2,2]时是单调函数，k－∴[－2,2]⊆2,2]⊆

k－2

，＋∞k－k－∴2≤或≤－2，解得k≥6或k≤－2，22即实数k取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞)．16．已知函数f)对于任意x，∈R，总有f()＋f(y)＝(＋)，且当x＞2时，f()＜0，(1)＝－.3(1)求证：f()在R是减函数．(2)求f()在[－3,3]上的最大值和最小值．解析(1)证明

法一∵函()对于任R总()＋f(y)＝f(＋y)，∴令x＝＝0，得(0)＝0.再令y＝－x，得(－)＝－f(x)．在R任取xx则x－0，1212f(x)－(x)(x)＋(－x＝f(xx)121212又∵x＞时，()＜0，5

而xx＞0，∴(x－)0，即f(x)＜(x)121212因此f()在R是减函数．法二设xx，12则f(x－f(x＝(xxx)－(x)121222＝f(xx)(x)－(x)＝(x－x．122212又∵x＞时，()＜0，而x－0，12∴f(xx)0，即(x)f(x)，1212∴f()在R为减函数．(2)∵f()在R是减函数，∴f()在[－3,3]上也是减函数，∴f()在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f－3)与f(3)．而f(3)＝f(1)＝－2，(－3)＝－(3)＝2.∴f()在[－3,3]上的最大值为，最小值为－2.17．函数f()的定义域为D＝x|x≠0}且满足对于任意xxD，有f(x)1212＝f(x＋f(x．12(1)求f(1)的值；(2)判断f()的奇偶性并证明；(3)如果f(4)＝，(3＋1)＋f(2－6)≤3，且f()在(0，＋∞)上是增函数，求x取值范围．解析(1)令xx＝，有f(1×1)＝(1)＋f(1)解得f(1)＝0.12(2)f()为偶函数，令x＝＝－，有f[(－1)×(－1)]＝(－1)＋f(－1)，解12得f(－1)＝令x－1，x＝x(－)＝f(－1)＋(x)即f(－)＝f(x)．12所以f()为偶函数．(3)f＝(4)＋(4)＝2，f(16×4)＝(16)＋(4)＝3.所以f(3x＋1)＋(2－6)≤3即f[(3＋1)(2x－6)](64)①因为f()在(0，＋∞)上是增函数，所以①等价于不等式组：＋12－6＞0，＋12－6≤64，

＋12－6＜0，或＋12x－≤64.6

1713xxxxx121713xxxxx12x＞或x＜－，3≤≤5，3

或

－＜x＜，x∈，711所以3＜x≤5或－≤＜－或－＜x＜3.333711故x取值范围为{|－≤x＜－或－＜x3或3＜x≤5}．333118区间D果函数(x)为增函数函数f()为减函数称函数()x为“弱增函数”，已知函数f()＝1－

1.1＋x(1)判断函数f)在区间(上是否为“弱增函数”；1(2)设xx∈[0，＋∞)，且x≠证明：|f(－(x)|＜|xx|；1212122121(3)当x∈[0,1]时，不等式1－≤≤1－bx成立，求实数，b取值1＋x范围．11解析(1)显然(x)区(0,1)上为增函数，因为(x)＝·1＋x－1x1·＝·1＋x1＋x1＋＋1

1－

11＋11＝，所以(x为减函数，因此f()是“弱增”函数．1＋x＋1＋x(2)证明|f(x)－(x＝

11－＝1＋x1＋x

|1＋x1＋x21|1＋x1＋x|12

＝|x－x|121＋x