北理848电子版4理论力学课件9vi碰撞

§9.7动量原理在碰撞问题中的应用碰撞：物体突然受到冲击或遇到障碍（突加约束）时，运动状态发生急剧改变的一种力学现象。问题：宏观角度研究碰撞前后物体角速度和质心速度的改变情况。理论基础：不用力及能量来研究度量基本假设：1.碰撞过程中，常力及普通力的作用忽略不计。2.碰撞过程中，物体的位移忽略不计动量原理11.碰撞时的动量定理——冲量定理。设质量为m的质点，碰撞前后的速度分别为v、u，碰撞发生的时间段为[0，t]，力为F，则由动量定理，得碰撞冲量表明：质点在碰撞过程中的动量改变等于作用于质点上的碰撞冲量。对n个质点组成的质点系，将质点mi的冲量分为外碰撞冲量Ii(e)和内碰撞冲量Ii(i)，则2由于内碰撞冲量总是成对出现，即——冲量定理利用系统动量关系表明：质点系动量的改变等于作用于质点系外碰撞冲量的矢量和。式中，uC和vC分别为碰撞结束和开始时质点系质心的速度。3即得n个方程的矢量和为2.碰撞时的动量矩定理——冲量矩定理。考虑一个质点：设碰撞过程中质点对固定点O的矢径r保持不变（基本假设2）对质点系，将质点mi上的冲量分为质点系外碰撞冲量Ii(e)和内碰撞冲量Ii(i)，则由4记则表明：碰撞过程中，质点系对于某定点动量矩的改变，等于作用于质点系的外碰撞冲量对同一点之矩的矢量和。若点O取为质心C，则同理可得式中质点系相对定点的冲量矩定理质点系相对质心的冲量矩定理5式中质点系相对质心的冲量矩定理表明：碰撞过程中，质点系对于质心动量矩的改变，等于作用于质点系的外碰撞冲量对质心之矩的矢量和。注意:b.质点系对动点的动量矩可由相对动量矩与牵连动量矩公式计算，也可由两点动量矩关系计算。6a.将质心C改为任意一确定点，冲量矩定理形式保持不变。3.碰撞冲量对定轴转动刚体的作用与撞击中心设刚体绕定轴Oz转动，受到外碰撞冲量的作用由冲量矩定理在z轴上的投影式，得设1、2为刚体在碰撞前后两个瞬时的角速度，Jz为刚体绕定轴Oz的转动惯量，则外碰撞冲量对z轴之矩的代数和外碰撞冲量：主动力的碰撞冲量轴承的碰撞冲量对变化无影响对构件寿命有害如何减小或消除？7OxyIOxy碰撞冲量I也作用在此质量对称面内，与x轴交于O,与y轴夹角为，且OO=loI得设1、2为刚体在碰撞前后两个瞬时的角速度(逆时针），JO为刚体绕定轴Oz的转动惯量，则由设轴承O对刚体的碰撞冲量IO沿x、y的正交分量为Iox、Ioy，设刚体绕定轴Oz转动（Oxy为其质量对称面），质量为m，质心为C，取OC为x轴正向,且OC=rCCOIOxIOylo由冲量定理在x、y轴上的投影式，得8OxyI要使刚体在轴承处不受碰撞冲量的作用，即Iox=0、Ioy=0，COIOxIOylo则可得满足此条件时，I与O、C两点连线的交点O称为碰撞中心若rC=0，则碰撞中心不存在。94.碰撞冲量对平面运动刚体的作用设刚体具有质量对称面，且刚体的运动也在其内。若碰撞冲量I也作用在此质量对称面内，则碰撞后，刚体仍在此面内运动。联立冲量定理与相对质心的冲量矩定理，可得10例1图示一静止位于光滑水平面内的均质细杆AB，质量为m,长为L,今有一冲量I沿水平面垂直作用于杆上，欲使此杆的端点A碰撞结束瞬时的速度为零，试问冲量I应作用于杆的什么位置？ABIb

对杆进行运动分析：解:

碰撞后：绕A点的定轴转动碰撞前:静止

冲量定理：设此时角速度为

冲量矩定理：11

另：考虑动量矩守恒例2图示一静止位于铅垂面内的链杆机构，三杆均为均质细杆，质量均为m,长度均为l,今有一冲量I水平作用于杆O1A上，若碰撞后使铰链O1处的约束冲量为零，则h=?AO1O2BIh解:

冲量I作用下，约束O1、O2处会产生相应的约束冲量

由题意得IO2xIO2yIO1xIO1yIO1x=IO1y=0

设碰撞后杆O1A的角速度为

整体冲量矩定理：

AB平动12AO1O2BIhIO2yCvC

以杆O1A为对象

冲量矩定理：C1

联立(1)(2),得13IAxIAyIO2x5.材料对碰撞的影响与恢复因数在碰撞时若碰撞冲量I未知，则仅利用冲量定理与冲量矩定理方程数不够，需根据碰撞物体间的恢复因数列写补充方程，才能求解。（1）碰撞过程的两个阶段v()I1v=0a.压缩阶段由冲量定理，得光滑水平面I2u()b.恢复阶段仍由冲量定理，得14（2）材料的恢复因数牛顿在大量实验的基础上发现：当碰撞的材料一定时，碰撞结束与开始时的速度比近似为常数，即——常数e称为恢复因数h1h2恢复因数表示碰撞后物体速度恢复的程度碰撞后物体变形恢复的程度碰撞后物体变形机械能损失的程度15对各种材料，均有表明：碰撞后变形不能完全恢复——非完全弹性碰撞e=1为理想情形，即碰撞后变形完全恢复，动能无损失。e=0为极限情况，即碰撞后变形丝毫没有恢复。——非弹性碰撞或塑性碰撞——完全弹性碰撞C1C2对心碰撞偏心碰撞接触点公法线若碰撞前后接触点处的相对速度沿接触点的公法线方向——正碰撞斜碰撞16设碰撞前两物体接触点处的绝对速度分别为v1、v2，碰撞后两物体接触点处的绝对速度分别为u1、u2，则恢复因数可定义为碰撞后两物体接触点处公法线方向的相对速度碰撞前两物体接触点处公法线方向的相对速度即恢复因数等于两物体接触点处沿公法线方向的分离速度与接近速度之比1718集体答疑准备安排

1月22日（周四）

1月24日（周六）

1月25日（周日）三天考试时间

:第18周周一（1月26日）

上午9:30-----11:30CABvo例3图示质量为m,长为l的均质细杆AB,与铅垂线成角平行下落到光滑的水平面上，设杆到达水平面时的速度为vo，A端与水平面的恢复因数为e,试求碰撞结束时杆的角速度和杆质心C的速度。

对杆进行运动分析：解:碰前:平动

水平面光滑杆关于A点动量矩守恒A处冲量IAx=0,IAy未知，可由e给出补充方程。IAy19

碰后：平面运动设此时杆的角速度为，质心C的速度为uCCABuCIAx=0uCx=0设碰后A点的速度为uA沿铅垂方向投影，得联立(1)(2)，得20

碰后：平面运动CABuC由A点动量矩守恒21例4图示一质量为M、半径为r的均质圆盘以角速度O绕它边缘一点A在其平面内转动，设想A钉突然脱开，圆盘边缘另一点B突然被固定，设AB弧所对的圆心角为，求圆盘绕点B转动的角速度及在B点所受到的冲量Ix、Iy。AOB解:B突然被固定IxIy碰撞冲量对该点之矩为零对B点动量矩守恒vOr22AOBIxIyvOr

冲量定理：2324ABOD例5图示摆锤由无重杆AB和铰于B端的均质圆柱B构成圆柱质量为m

，AB长为l。初始时，AB与铅垂线夹角为O=60o,且无初速释放；当摆锤运动到最低点时与静止在水平地面上质量为2m的梯形物体D相撞；梯形体斜面倾角=30o。设碰撞是完全弹性的，所有接触处光滑，求碰撞后梯形体D沿水平面滑动的速度和杆AB的能回升的最大角度max。解:摆锤下落时作什么运动？设碰撞前摆锤质心速度为vB：动能定理vB平动