2021年全国乙卷高考理数真题试卷(Word版+答案+解析)

2021年高考理数真题试卷（全国乙卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（共12题；共60分）1.设2（z+QUOTE）+3(z-QUOTE)=4+6i，则z=（

）.A.

1-2i

B.

1+2i

C.

1+i

D.

1-i2.已知集合S=｛s|s=2n+1，n∈Z｝，T=｛t|t=4n+1，n∈Z｝，则S∩T=（

）A.

QUOTE

B.

S

C.

T

D.

Z3.已知命题p：QUOTEx∈R，sinx＜1；命题q：QUOTEx∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（）A.

pQUOTEq

B.

QUOTEpQUOTEq

C.

pQUOTEq

D.

QUOTE(pVq)4.设函数f(x)=QUOTE，则下列函数中为奇函数的是（）A.

f(x-1)-1

B.

f(x-1)+1

C.

f(x+1)-1

D.

f(x+1)+15.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（）A.

QUOTE

B.

QUOTE

C.

QUOTE

D.

QUOTE6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A.

60种

B.

120种

C.

240种

D.

480种7.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的QUOTE1212倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移QUOTE个单位长度，得到函数y=sin(x-QUOTE)的图像，则f(x)=（）A.

sin(QUOTE)

B.

sin(QUOTEx2+蟺12x2+蟺12)

C.

sin(QUOTE)

D.

sin(QUOTE)8.在区间（0，1）与（1，2）中各随机取1个数，则两数之和大于QUOTE7474的概率为（）A.

QUOTE7474

B.

QUOTE23322332

C.

QUOTE932932

D.

QUOTE2929.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海盗的高。如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”。则海岛的高AB=（）.A.

QUOTE

B.

QUOTE

C.

QUOTE

D.

QUOTE10.设a≠0，若x=a为函数QUOTE的极大值点，则（）A.

a＜b

B.

a＞b

C.

ab＜a2

D.

ab＞a211.设B是椭圆C：QUOTEx2a2+y2b2=1x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足A.

QUOTE[22,1)[22,1)

B.

QUOTE[12,1)[12,1)

C.

QUOTE(0,22](0,22]

D.

QUOTE12.设QUOTEa=2ln1.01a=2ln1.01，QUOTEb=ln1.02b=ln1.02，QUOTEc=1.04-1A.

a＜b＜c

B.

b＜c＜a

C.

b＜a＜c

D.

c＜a＜b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。（共4题；共20分）13.已知双曲线C：QUOTE（m>0）的一条渐近线为QUOTE3x3x+my=0，则C的焦距为________.14.已知向量QUOTE=（1，3），b=（3，4），若（QUOTE-λQUOTE）⊥QUOTE，则λ=________。15.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为QUOTE33，B=60°，a2+c2=3ac，则b=________.16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为________（写出符合要求的一组答案即可）.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（共5题；共60分）17.某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为QUOTE和QUOTE，样本方差分别记为s12和s22（1）求QUOTE，QUOTE，s12，s22；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果QUOTE-QUOTE≥QUOTE2s12+s2222s12+s22218.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M为BC的中点，且PB⊥AM，（1）求BC；（2）求二面角A-PM-B的正弦值。19.记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项和，已知QUOTE2Sn+1bn（1）证明：数列{bn}是等差数列；（2）求{an}的通项公式.20.设函数f（x）=ln（a-x），已知x=0是函数y=xf（x）的极值点。（1）求a；（2）设函数g（x）=QUOTE，证明：g（x）＜1.21.己知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2=1上点的距离的最小值为4.（1）求p；（2）若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求QUOTEPAB的最大值.四、［选修4一4：坐标系与参数方程］（共1题；共10分）22.在直角坐标系xOy中，QUOTEC的圆心为C（2，1），半径为1.（1）写出QUOTEC的一个参数方程；（2）过点F（4，1）作QUOTEC的两条切线，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程.五、[选修4一5：不等式选讲]（共1题；共10分）23.已知函数f（x）=|x-a|+|x+3|.（1）当a=1时，求不等式f（x）≥6的解集；（2）若f（x）≥-a，求a的取值范围.

2021年高考理数真题试卷（全国乙卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（共12题；共60分）1.设2（z+QUOTE）+3(z-QUOTE)=4+6i，则z=（

）.A.

1-2i

B.

1+2i

C.

1+i

D.

1-i【答案】C【考点】复数代数形式的混合运算【解析】【解答】设QUOTE所以a=b=1，所以z＝1+i。

故答案为：C

【分析】先设z的代数式，代入运算后由复数相等的条件，即可求得结果。2.已知集合S=｛s|s=2n+1，n∈Z｝，T=｛t|t=4n+1，n∈Z｝，则S∩T=（

）A.

QUOTE

B.

S

C.

T

D.

Z【答案】C【考点】交集及其运算【解析】【解答】当n=2k

QUOTE时，S={s|s=4k+1,

QUOTE},

当n=2k+1

QUOTE时,S={s|s=4k+3,

QUOTE}

所以QUOTES,所以QUOTE,

故答案为：C.

【分析】分n的奇偶讨论集合S。3.已知命题p：QUOTEx∈R，sinx＜1；命题q：QUOTEx∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（）A.

pQUOTEq

B.

QUOTE卢卢pQUOTEq

C.

pQUOTEq

D.

QUOTE卢卢(pVq)【答案】A【考点】全称量词命题，存在量词命题，命题的否定，命题的真假判断与应用【解析】【解答】因为命题P是真命题，命题q也是真命题，

故答案为：A

【分析】先判断命题p，q的真假，然后判断选项的真假。4.设函数f(x)=QUOTE，则下列函数中为奇函数的是（）A.

f(x-1)-1

B.

f(x-1)+1

C.

f(x+1)-1

D.

f(x+1)+1【答案】B【考点】函数奇偶性的判断，函数奇偶性的性质【解析】【解答】因为f(x)=QUOTE，所以函数的对称中心是(-1,-1)，所以函数f(x)向右平移1个单位，再向上平移1个单位后关于（0，0）中心对称，而四个选项中只有B满足条件，

故答案为：B。

【分析】将函数变形为f(x)=

QUOTE=-1+2x+1=-1+2x+1后，判断。5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（）A.

QUOTE蟺2蟺2

B.

QUOTE

C.

QUOTE

D.

QUOTE【答案】D【考点】直线与平面所成的角【解析】【解答】如图，连接AC，设AC与BD交于O，连接OD1,AD1,BP,设正方体的棱长为x，

因为D1P||OB||BD,且D1P=BO=QUOTE1212BD,所以四边形OD1PB是平行四边形，所以BP||OD1,所以QUOTE

即为所求的角，易证QUOTE平面BDD1B1,故QUOTEOD1,又QUOTEAO=12AC=12AD1AO=12AC=12AD1,所以QUOTE＝QUOTE蟺6蟺6.

故答案为：D

【分析】在正方体中，作辅助线，通过平移线，作出所要求的角。6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A.

60种

B.

120种

C.

240种

D.

480种【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】由题意知，必须有2个人一组，其他各组只有1个人，所以分配方法是：QUOTEC52C41A33=240C52C47.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的QUOTE1212倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移QUOTE蟺3蟺3个单位长度，得到函数y=sin(x-QUOTE蟺4蟺4)的图像，则f(x)=（）A.

sin(QUOTE)

B.

sin(QUOTEx2+蟺12x2+蟺12)

C.

sin(QUOTE)

D.

sin(QUOTE)【答案】B【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】【解答】根据图象平移的规律可知，将y=y=sin(x-QUOTE蟺4蟺4)的图像上所有的点向左平移平移QUOTE蟺3蟺3个单位，纵坐标不变，得到QUOTEy=sin(x+蟺12),y=sin(x+蟺12),再把所得到的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，即函数的周期变原来的2倍，就得到函数y=QUOTEsin(x2+蟺12a)sin8.在区间（0，1）与（1，2）中各随机取1个数，则两数之和大于QUOTE7474的概率为（）A.

QUOTE7474

B.

QUOTE23322332

C.

QUOTE932932

D.

QUOTE292【答案】B【考点】几何概型【解析】【解答】不妨设这两个数为a,b且0<a<1,1<b<2,在平面直角坐标系内，a,b的取值，

表示为一个正方四个顶点：(0,1),(1,0),(1,2),(0,2),且包括边界在内的正方形区域。作直线a+b=

QUOTE7474，

满足a+b>QUOTE7474的a,b取值的可行域如图中阴影部分表示，

直线a+b＝QUOTE7474与正方形的两个交点分别为QUOTE(34,1),(0,74)(34,1),(0,74),则可计算事件(a+bQUOTE>74>74R人svyf概率为P＝QUOTE,

故选B。

9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海盗的高。如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”。则海岛的高AB=（）.A.

QUOTE

B.

QUOTE

C.

QUOTE

D.

QUOTE【答案】A【考点】解三角形的实际应用【解析】【解答】如图，连接DF,直线DF交AB于M，

则AB＝AM+BM,设QUOTE则

QUOTE因为QUOTE,所以QUOTE所以QUOTE

故答案为：A.

【分析】通过作辅助线，(如图)，然后利用解直角形的知识来解答。10.设a≠0，若x=a为函数QUOTE的极大值点，则（）A.

a＜b

B.

a＞b

C.

ab＜a2

D.

ab＞a2【答案】D【考点】二次函数的图象，二次函数的性质【解析】【解答】当a>0时，若a为极大值点，则(如图1)，必有a<b,ab<a2.故B,C项错；

当a<0时，若a为极大值点，则(如图2)，必有a>b>a2,故A错。

故答案为：D.

【分析】对a的正负进行讨论，根据极值点的意义，作图分析，得到正确选项。11.设B是椭圆C：QUOTEx2a2+y2b2=1x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足A.

QUOTE[22,1)[22,1)

B.

QUOTE[12,1)[12,1)

C.

QUOTE(0,22](0,22]

D.

QUOTE【答案】C【考点】椭圆的定义，椭圆的简单性质【解析】【解答】依题意，点B(0,b),设P(x0,y0),则有QUOTE

QUOTE移项并用十字相乘法得到：QUOTE

因为QUOTE恒成立，即QUOTE恒成立，

据此解得QUOTE，

故答案为：C。

【分析】由两点间的距离公式，表示出|PB|2，再根据椭圆上任意点的纵坐标y0的取值范围，解相关不等式得到结果。12.设QUOTEa=2ln1.01a=2ln1.01，QUOTEb=ln1.02b=ln1.02，QUOTEc=1.04-1A.

a＜b＜c

B.

b＜c＜a

C.

b＜a＜c

D.

c＜a＜b【答案】B【考点】指数函数的图象与性质，对数函数的图象与性质【解析】【解答】构造函数f(x)=ln(1+x)-QUOTE1+2x+11+2x+1，则b-c=f(0.02)，则QUOTE当x>0时，QUOTE1+x=(1+x)2=(1+2x+x2>(1+2x1+x=(1+x)2=(1+2x+x2>(1+2x,

所以f/(x)<0,所以f(x)在QUOTE单调递减，所以f(0.02)<f(0),即b-c<0,所以b<c;

再构造函数QUOTE则QUOTEa-c=g(0.01),a-c=g(0.01),而QUOTE,当QUOTE

所以QUOTE所以g(x)在（0，2）上单调递增，所以QUOTE所以b<c<a,

故答案为：B

【分析】本题就在于构造恰当的函数，利用导数研究函数的单调性，从而解题。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。（共4题；共20分）13.已知双曲线C：QUOTE（m>0）的一条渐近线为QUOTE3x3x+my=0，则C的焦距为________.【答案】4【考点】双曲线的定义，双曲线的简单性质【解析】【解答】因为又曲线方程C：QUOTE,一条渐近线是QUOTE，

所以双曲线方程是QUOTE,

故答案为：4

【分析】由双曲线渐近线的斜率可得到m的值，再进一步求得焦距的值。14.已知向量QUOTE=（1，3），b=（3，4），若（QUOTE-λQUOTE）⊥QUOTE，则λ=________。【答案】QUOTE3535【考点】平面向量的坐标运算，平面向量数量积的运算，数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】【解答】因为QUOTE，所以QUOTE，

所以QUOTE，

故答案为：QUOTE35.35.

【分析】先计算出QUOTE的坐标式，再根据两向量垂直，列式求解。15.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为QUOTE33，B=60°，a2+c2=3ac，则b=________.【答案】QUOTE2222【考点】余弦定理，三角形中的几何计算【解析】【解答】QUOTE

于是QUOTE

【分析】根据面积的值，计算出ac，再由余弦定理求解。16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为________（写出符合要求的一组答案即可）.【答案】②⑤或③④【考点】由三视图还原实物图【解析】【解答】当俯视图为④时，右侧棱在左侧，不可观测到，所以为虚线，故选择③为侧视图；

当俯视图为⑤时，左侧棱在左侧可观测到，所以为实线，故选择②为侧视图，

故答案为：②⑤或③④

【分析】分情况讨论各种视图的位置关系。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（共5题；共60分）17.某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为QUOTE和QUOTE，样本方差分别记为s12和s22（1）求QUOTE，QUOTE，s12，s22；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果QUOTE-QUOTE≥QUOTE2s12+s2222s12+s222【答案】（1）解：各项所求值如下所示QUOTE=QUOTE110110(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0QUOTE=QUOTE110110(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3QUOTEs12s12=QUOTE110110x[(9.7-10.0)2+2x(9.8-10.0)2+(9.9-10.0)2+2X(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+2x(10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2]=0.36，QUOTEs22s22=QUOTE110110x[(10.0-10.3)2+3x(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+2x(10.4-10.3)2+2x(10.5-10.3)2+(10.6-10.3)2]=0.4.

（2）由(1)中数据得QUOTE-QUOTE=0.3，2QUOTEs12+s2210s12+s2210显然QUOTE-QUOTE＜2QUOTEs12+s2210s12+s2210【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差【解析】【分析】（1）先计算新旧样本平均数QUOTEx,yx,y，再直接用公式计算s12，s22；

(2)由(1)中的数据，计算得：QUOTE-QUOTE=0.3，2QUOTEs12+s2210s12+s2210≈0.34，显然QUOTE-QUOTE＜2QUOTEs12+s2210s12+s2218.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M为BC的中点，且PB⊥AM，（1）求BC；（2）求二面角A-PM-B的正弦值。【答案】（1）解：因为PD⊥平面ABCD，且矩形ABCD中，AD⊥DC，所以以QUOTE，QUOTE，QUOTE分别为x，y，z轴正方向，D为原点建立空间直角坐标系D-xyz。设BC=t，A（t，0，0），B（t，1，0），M（QUOTEt2t2，1，0），P(0，0，1)，所以QUOTE=（t，1，-1），QUOTE=（QUOTE，1，0），因为PB⊥AM，所以QUOTE•QUOTE=-QUOTEt22t22+1=0，所以t=QUOTE22，所以BC=QUOTE22。

（2）设平面APM的一个法向量为QUOTE=（x，y，z），由于QUOTE=（-QUOTE22，0，1），则令x=QUOTE22，得QUOTE=（QUOTE22，1，2）。设平面PMB的一个法向量为QUOTE=（xt，yt，zt），则令QUOTEytyt=1，得QUOTE=(0，1，1).所以cos（QUOTE，QUOTE）=QUOTE=QUOTE=QUOTE3141431414，所以二面角A-PM-B的正弦值为QUOTE70147014.【考点】向量方法证明线、面的位置关系定理，用空间向量求直线与平面的夹角【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，定义相关点的坐标，通过计算求解；（2）呈上，分别求二面角的两个平面的法向量，用法向量的夹角计算。19.记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项和，已知QUOTE2Sn+1bn（1）证明：数列{bn}是等差数列；（2）求{an}的通项公式.【答案】（1）由已知QUOTE2Sn2Sn+QUOTE1bn1bn=2，则QUOTEbnbn+1bnQUOTE+QUOTE1bn1bn=2QUOTE2bn-1+2=2bnQUOTEbn-bn-1=QUOTE1212(n≥2)，b1=QUOTE3232故｛bn｝是以QUOTE3232为首项，QUOTE1212为公差的等差数列。

（2）由（1）知bn=QUOTE3232+（n-1）QUOTE1212=QUOTEn+22n+22，则QUOTE2Sn2Sn+QUOTE2n+22n+2=2QUOTESn=QUOTEn+2n+1n+2n+1n=1时，a1=S1=QUOTE3232n≥2时，an=Sn-Sn-1=QUOTEn+2n+1n+2n+1-QUOTEn+1nn+1n=QUOTE故an=QUOTE【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和，数列递推式【解析】【分析】（1）根据等差数列及前n项和的定义，由递推关系，求证。（2）呈上，先写出bn,再求{bn}前n磺的和Sn，再由an与Sn的关系，进一步求得结果。20.设函数f（x）=ln（a-x），已知x=0是函数y=xf（x）的极值点。（1）求a；（2）设函数g（x）=QUOTE，证明：g（x）＜1.【答案】（1）[xf(x)]′=x′f(x)+xf′(x)当x=0时，[xf(x)]′=f(0)=lna=0，所以a=1

（2）由f(x)=ln(1-x)，得x＜1当0＜x＜1时，f(x)=ln(1-x)＜0，xf(x)＜0；当x＜0时，f(x)=ln(1-x)＞0，xf(x)＜0故即证x+f(x)＞xf(x)，x+ln(1-x)-xln(1-x)＞0令1-x=t(t＞0且t≠1)，x=1-t，即证1-t+lnt-(1-t)lnt＞0令f(t)=1-t+lnt-(1-t)lnt，则f′(t)=-1-QUOTE1t1t-[(-1)lnt+QUOTE]=-1+QUOTE1t1t+lnt-QUOTE=lnt所以f(t)在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故f(t)＞f（1）=0，得证。【考点】利用导数研究函数的极值，导数在最大值、最小值问题中的应用【解析】【分析】（1）先对函数y=xf（x）求导：[xf(x)]′=x′f(x)+xf′(x)，因为x=0是方程的根，代入求得a值。

（2）首先由（1）写出函数f(x),并求其定义域，将问题转化为证明x+f(x)＞xf(x)，即证：x+ln(1-x)-xln(1-x)＞0，然后通过换元，构造函数，用导数研究相关函数的单调性，从而证明命题成立。21.己知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2=1上点的距离的最小值为4.（1）求p；（2）若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求QUOTEPAB的最大值.【答案】（1）解：焦点QUOTEF(0,P2)F(0,P2)到QUOTEx2+(y+4)2=1x2+(y+4)2=1的最短距离为QUOTEP2+3=4P2+3=4，所以p=2.

（2）抛物线QUOTEy=14x2y=14x2，设QUOTE，QUOTE，且QUOTE.QUOTElPAlPA，QUOTElPBlPB都过点P(x0，y0），则QUOTE故QUOTE，即QUOTE.联立QUOTE{y=12x0x-y0x2=4