固体物理课件第五章

固体物理课件第五章第一页，共八十五页，编辑于2023年，星期五本章是从量子角度讨论内能热容第二页，共八十五页，编辑于2023年，星期五晶体的比热实验规律下面分别用经典理论和量子理论来解释晶体比热的规律。(1)在高温时，晶体的比热为3NkB

(N为晶体中原子的个数,kB=1.3810-23JK-1为玻尔兹曼常量)；(2)在低温时，晶体的比热按T3趋于零。晶体的定容比热定义为：晶体比热的一般理论---晶体的平均内能第三页，共八十五页，编辑于2023年，星期五晶格振动比热晶体电子比热本节只讨论晶格振动比热。第四页，共八十五页，编辑于2023年，星期五晶格比热的

经典理论:杜隆--珀替定律根据能量均分定理，每一个自由度的平均能量是kBT,若晶体有N个原子，则总自由度为：3N。低温时经典理论不再适用。它是一个与温度无关的常数，这一结论称为杜隆--珀替定律。但实际上，实验表明在低温时，晶体的比热按T3趋于零。第五页，共八十五页，编辑于2023年，星期五§1.点阵热容C=dU/dT吸热—>内能增晶格振动—>可用格波描述谐振子—>声子数（反映格波的能量）。

反之，系统能量=“所有格波：对应的能量（声子数）之和”。(声子数对应于格波振幅)第六页，共八十五页，编辑于2023年，星期五任一格波对应于多个能量值(声子数)：如何确定该格波所对应的能量值平均声子数每个能量状态出现的几率不同第七页，共八十五页，编辑于2023年，星期五附：平均声子数的推导过程统计规律：声子分布满足波尔兹曼分布条件即能量出现的几率：与能量称反比。能量越高（声子数越多），出现几率越低。平均声子数第八页，共八十五页，编辑于2023年，星期五令：附：平均声子数的推导过程第九页，共八十五页，编辑于2023年，星期五根据色散关系：在动量空间（k空间中）作出色散图。将所有具相同ω的k连接起来，则形成一个平面。该平面称为等能面，显然所有在等能面上的k具有相同的（平均）声子数。对平均声子数<n>的说明式中，<n>只与ωs、T有关。(与K无关)

ωs是标量。相同的ωs，可同时对应多个不同的

k。K分布的特点:均匀分布,每k占有体积一定。第十页，共八十五页，编辑于2023年，星期五如此，晶格振动的总能量=所有谐振子对内能的贡献：可将各谐振子按照频率进行分类：将同频率(ω)的格波归为一组（即ω同，k不同，假设对应的数目为数目为Z(ω)个）。则内能表达式变为振动模式（格波）数很多，求解不方便只与ω相关。ω相同平均声子数相同相同的ω，不同的k，只是对应的格波不同，但平均声子数一样，可放在一起。第十一页，共八十五页，编辑于2023年，星期五据此可引入“模式密度”概念：原来的计算方法：对所有格波逐个累加多且杂！现在的计算方法：相同的ω放在一起,数目用因子Z(ω)来表达，然后累加相对简洁！第十二页，共八十五页，编辑于2023年，星期五1.简正模式密度D(ω)的定义

定义:在频率ω附近dω范围内共含有dZ个简正模式，则模式密度定义如下：引入简正模式密度后，则热能可表示为：（有时也用单位体积、单位频率间隔中的简正模式数）。它反应的是单位频率

间隔中所含有的简正模式数。指K空间中，ω附近相距dω两等能面所包围体积中含有的模式数第十三页，共八十五页，编辑于2023年，星期五2.模式密度的计算方法1).求波矢K的分布密度：k均匀分布2).a、求间距为dω的等能面内所包含的体积b、或ω等能面内拥有的总共模式数，再求导第十四页，共八十五页，编辑于2023年，星期五波矢密度两个等频率面间的体积每一支格波的振动模式数每一支格波的模式密度晶格总的模式密度两个等频率面间的波矢数1、ω表面积S∙dk知道ω~k关系（规则表达式—电子）2、VdV～dk关系隐藏，无必要第十五页，共八十五页，编辑于2023年，星期五分布密度OR波矢密度简单解决！不要弄很复杂一维三维隐藏，无必要第十六页，共八十五页，编辑于2023年，星期五色散关系与模式密度qyqx体积元：dq：两等频面间的垂直距离,ds：面积元。体积元包含的波矢数目：隐藏，无必要第十七页，共八十五页，编辑于2023年，星期五由梯度定义知:代入上式得三维一维隐藏，无必要第十八页，共八十五页，编辑于2023年，星期五若在某些点（或某些频率上）出现vg=0的情况，可能不会是发散的，但它的一阶导数是发散的，此时D(ω)将出现奇点，称为VanHove奇点。上面的计算只考虑了色散关系的一支，求出了模式密度，若有多支色散关系，则：隐藏，无必要第十九页，共八十五页，编辑于2023年，星期五利用上式只要知道色散关系及声子等能面的形状就可求出模式密度，但是在一般情况下利用上式计算模式密度是非常困难的，上式只不过是一个理论公式而已。隐藏，无必要第二十页，共八十五页，编辑于2023年，星期五例1：一维模式密度的计算分布密度×体积(长度)其中，dZ是指K空间中相隔dω(对应dk)厚度的(等能面)空间中所包含的体积。Vg为群速度，当Vg=0，则模式密度发散，出现一个奇点，这个奇点叫做一维模式密度的VanHove奇点，在奇点，晶体的热学性质要出现反常。第二十一页，共八十五页，编辑于2023年，星期五例2：三维模式密度的计算分布密度×体积其中，dV是指K空间中相隔dω厚度等能面中所包含的体积。

显然，dV与色散关系函数(相当于等能面)息息相关！第二十二页，共八十五页，编辑于2023年，星期五假设ω~k关系是线性的，即：ω＝ck

例：等能面是球面形状。

第二十三页，共八十五页，编辑于2023年，星期五可见，色散关系对模式密度有直接性的影响。根据对色散关系的不同预测情况，两种常见模型第二十四页，共八十五页，编辑于2023年，星期五(1)、德拜模型(晶体低温时的模型)模式密度球体分布德拜对色散关系的假设(假设1)：这实际上是（低温）长声学支模式将Vg带入上页D(ω)公式即得对应的第二十五页，共八十五页，编辑于2023年，星期五附：若考虑同一振动模式(k、ω相同)的不同振动方向(纵波、横波)的影响，则：对于纵波：对于横波：可将三种模式合并:第二十六页，共八十五页，编辑于2023年，星期五函数图形如下，是一个抛物线性函数：可见，随ω增加，总模式数：→∞发散。第二十七页，共八十五页，编辑于2023年，星期五这个结果表明，总的模式数有无限多，而与晶体中的模式数与总自由度相同的结果相矛盾。第二十八页，共八十五页，编辑于2023年，星期五为了解决这个矛盾，德拜认为不是所有的频率的模式都存在，而存在着一个频率上限ωD，称为德拜截止频率。超过ωD的振动模式是不存在的，而频率小于ωD的模式可用连续介质中的弹性波处理,ωD由总的3N个声子模式自由度决定：（为初基晶胞数）则附：德拜假设2第二十九页，共八十五页，编辑于2023年，星期五

kD是晶体中格波的最大波矢，以KD为半径在波矢空间画一个球，称为德拜球，球内应包含所有的简正模式，即3N个模式，球外的短波振动在晶体中是不存在的，而球内的所有模式可用连续介质中的弹性波来处理，球内的模式数应为晶体中所有的模式数，即3N个。与德拜截止频率相对应的波矢定义为德拜截止波矢:第三十页，共八十五页，编辑于2023年，星期五对一个三维点阵常数为a的立方点阵，第1BZ为一边长为2π/a的立方体，第1BZ中有N个K（N为晶体中的初基晶胞数），按德拜模型（即对晶体使用连续介质中的弹性波的色散关系），K值只能在德拜球中取值，但第1BZ中的声子模式数也是3N个，因此德拜模型实际上用一个球代替了第1BZ，也就是说本应在第1BZ中取的K值，而现在是在德拜球内取值，显然，德拜球的体积应等于第1BZ的体积，根据此模型，模式密度D(ω)～ω关系应为：第三十一页，共八十五页，编辑于2023年，星期五爱因斯坦对色散关系的假设：所有的简正模式都具有相同的频率，即ω=ωE，频率不是波矢的函数。这实际上对应于长光学支模式。(2)、爱因斯坦模型若三个分支都用爱因斯坦模型，则：第三十二页，共八十五页，编辑于2023年，星期五点阵热容先求晶格总能（不是晶体，不包括电子的贡献），再对T求导第三十三页，共八十五页，编辑于2023年，星期五若获得U，则由热能对温度在体积一定时求偏微商，可得定容热容2．点阵热容第三十四页，共八十五页，编辑于2023年，星期五<1>爱因斯坦模型的热容则爱因斯坦固体的热能为：ω=ωE，即所有的模式有相同的振动频率课本中为1维，则3NN第三十五页，共八十五页，编辑于2023年，星期五<n>代表温度T时一个振动模式上的平均声子数：第三十六页，共八十五页，编辑于2023年，星期五1)、爱因斯坦模型的高温极限(kBT»ћωE或T»hωE/kB）：

爱因斯坦热容Cv～3NKB，与实验结果符合(杜隆——珀替定律)Cv按指数规律急剧下降，但实际上固体的热容是按T3规律下降，而不是指数下降，这个模型与实验结果出入较大，主要是模型过于简化，即认为所有简正模式具有相同的频率，低温下一起冻结，温度升高时同时激发，因此导致热容在低温时急剧下降。2)、爱因斯坦模型的低温极限

：，与实验结果不符。第三十七页，共八十五页，编辑于2023年，星期五<2>德拜模型的热容模式密度：则点阵热能为:直接导出结论即可，下页ppt及课本（27-29）式无甚必要第三十八页，共八十五页，编辑于2023年，星期五由于ћω、kBT均具有能量的量纲，可令ћω=kBTω可见，在效果上每个不同的ω均对应于某一温度的大小当ω=ωD时，所对应的Tω=θ，θ即所谓的德拜温度德拜温度是一重要参数，实际上对应于固体中所允许的最大KD或ωD的值（即限制条件）.补充：德拜温度的定义第三十九页，共八十五页，编辑于2023年，星期五德拜温度表示固体热学性质主要参数。

一般在实验上不是通过θ求Cv，而是通过测出Cv求θ，因此若此模型正确的话,θ不应是温度的函数，但实际上由于德拜模型是近似模型，θ就是温度的函数。Na

θ=158KSiθ=625KPbθ=88K金刚石θ=2230Kθ是由ωD定义，一般为102数量级。附：德拜温度的意义第四十页，共八十五页，编辑于2023年，星期五回到之前的内能表达式第四十一页，共八十五页，编辑于2023年，星期五把上式ћν

用德拜温度代替，得：第四十二页，共八十五页，编辑于2023年，星期五1)、德拜模型的高温极限(T»θ，则x«1），此时德拜热容：这时声子的量子统计可用经典统计去代替。积分第四十三页，共八十五页，编辑于2023年，星期五若温度降低，当T<<θ时，ω高的模式要冻结，而ω低的模式还处于激发状态，因此德拜温度ωD也可看做是所有模式都处于激发状态转到某些模式被冻结的温度。根据前面所得热能和热容表达式：2)、德拜模型的低温极限第四十四页，共八十五页，编辑于2023年，星期五低温下的热容：则低温下的热能为：多次采用分部积分法：上式中，利用了公式：积分：在低温情况下，即T«θ时，则x»1，第四十五页，共八十五页，编辑于2023年，星期五低温下热容与温度的三次方成正比，这与实验结果相当一致，主要原因是它的基本假设是长声学波模型，在低温下只有频率较低的长波模式才是受热激发的，而频率高的短波模式都已冻结，在这些模式上布居的声子数很少，用线性色散关系去处理问题，恰好与实验结果吻合的好，任何晶体在低温下都可用德拜模型处理。

第四十六页，共八十五页，编辑于2023年，星期五

下面用一个简单的物理模型说明规律的由来：

在波矢空间中以德拜波矢为半径画一个球德拜低温结果(Cv与T3成正比)的物理“解释模型”第四十七页，共八十五页，编辑于2023年，星期五

当T«θ时,在德拜球内受激发的模式有ћω≤KBT,即声子能量小于KBT的才受激发，若当热能与声子能量相等时的声子波矢为KT(=KBT/ћv),

在波矢空间以KT为半径画一个球，此球内的模式是受激发的模式，在温度T下能受激发的模式份数等于两球体积之比（KT/KD）3这个比值实际上就是（T/θ)3。∵∴第四十八页，共八十五页，编辑于2023年，星期五那么低温下热容：在低温T下，能受激发的模式数为每个模式对热能的贡献都是KBT（属于经典激发）总的热能为第四十九页，共八十五页，编辑于2023年，星期五从以上讲述中我们不难看到，固体物理中处理的是有大量粒子存在且粒子之间有强相互作用的体系，不可能精确求解，通常用一些简单的物理模型处理问题，简单模型包含了复杂问题的关键所在。因此在处理物理问题时要注意物理模型的选取，从这个意义上来说，固体物理的发展史也可以说是物理模型的演变史。

第五十页，共八十五页，编辑于2023年，星期五§2.非简谐晶体相互作用第五十一页，共八十五页，编辑于2023年，星期五在这个近似下，格波都是独立的，简正模式间无互作用。只取到平方项，则

简谐近似是把原子之间的互作用势在平衡位置附近按泰勒级数展开：第五十二页，共八十五页，编辑于2023年，星期五若考虑展开式的高次项，得到的模式不再是相互独立的，此时也不能再定义独立的声子了，如果非简谐项相对于简谐项是一些比较小的量，此时可近似认为格波是独立的，但还要考虑格波间的相互作用，即可把高次项作为微扰来考虑，此时的声子气体就不再是理想气体.第五十三页，共八十五页，编辑于2023年，星期五若原子间的相互作用势是严格的简谐势，则声子间无相互作用，没有能量交换，若果真如此的话，那么一个晶体就不可能进入热平衡状态，由外界干扰而激发产生的声子数不会变化。但实际上声子很快要进入热平衡分布，因此外界干扰而激发的声子很快要消失掉，正是由于有非简谐作用的存在才可能有热膨胀和热传导。

第五十四页，共八十五页，编辑于2023年，星期五1.热膨胀第五十五页，共八十五页，编辑于2023年，星期五若两个原子之间的互作用势是简谐势，则其图形应为严格的抛物线，随振幅的增大，两原子之间的平均距离不会增大(平均位移为0)，就不可能有热膨胀，热膨胀是由于原子之间互作用势是不对称（其图形不是严格的抛物线）而引起的，由于原子间平均距离增大引起了热膨胀。1.热膨胀第五十六页，共八十五页，编辑于2023年，星期五势能曲线简谐势非简谐势（实际情况）第五十七页，共八十五页，编辑于2023年，星期五在非简谐情况下:第一项为简谐项，第二项引起势能函数的不对称性（即三次方项），本身是负值，因此势能曲线一边平缓，一边陡峭。其中c’相当于力常数这样一个量，c’是δ的函数，随δ的增大c’减小，fδ4表示大振幅下势能的减小。再看第一项与第三项的和:第五十八页，共八十五页，编辑于2023年，星期五第五十九页，共八十五页，编辑于2023年，星期五只考虑势能函数的前三项时式中按玻尔兹曼统计，在温度T下的平均位移为：（其中，x是相对于平衡位置的位移）第六十页，共八十五页，编辑于2023年，星期五忽略高次项后得：考虑到位移是小位移，则：分子项:第六十一页，共八十五页，编辑于2023年，星期五分母项分子分母分别代入可得原子间平均位移为：可见，<x>与g/c2值有关，正是由于势能函数曲线的不对称性，才导致了的变化。线膨胀系数：第六十二页，共八十五页，编辑于2023年，星期五2.点阵热导率第六十三页，共八十五页，编辑于2023年，星期五热平衡1、声子数达到平衡2、动量平衡：各“微小区域”内总动量量为0第六十四页，共八十五页，编辑于2023年，星期五2.点阵热导率单位时间、单位面积上流过的热能称为热能流密度：（负号表示J与dT/dx反向，即J与温度梯度反向）

这就是热传导方程。宏观角度：第六十五页，共八十五页，编辑于2023年，星期五微观角度等效行为的说明：声子气波传播能量传播碰撞能量传递（声子吸收）波速(群速)能量传播速度(群速)波到能量达到声子产生声子气体通过（声子通过速度）重新组织不同温度<n>不同，等效于气体浓度不一样第六十六页，共八十五页，编辑于2023年，星期五我们引入声子平均自由程的概念，即连续碰撞之间的平均距离，用气体分子运动讨论声子对热能的输送。第六十七页，共八十五页，编辑于2023年，星期五若lx代表平均自由程，则ΔT为在x方向走过范围的温度差，用c代表声子热容（一个声子对热容的贡献）。则C=nc（n为声子浓度）。用v代表x方向声子的群速度。则单位时间内通过单位面积的热流应当为：（能量传播）（nvx:单位时间、单位面积上流过的声子数，cΔT--声子在一次碰撞中放出的热能）在晶体中相距lx的两点的温度差应为：第六十八页，共八十五页，编辑于2023年，星期五上式中利用了：τ称为弛豫时间，即两次碰撞之间的时间间隔）由于不同的声子有不同的群速度值，并且在x、y、z三个方向V是均分的，考虑到这一点，Vx2则应由<Vx2>代表。根据能量均分：能量均分，简言之三方向情况相同第六十九页，共八十五页，编辑于2023年，星期五因此对于长声学声子:将上式与相比较可得这就是点阵热导率的表达式。第七十页，共八十五页，编辑于2023年，星期五这是最主要的机制，也就是说格波与格波之间的散射，一般有两种情况：声子的平均自由程决定于声子的碰撞，其主要机制有：<1>声子与声子的碰撞第七十一页，共八十五页，编辑于2023年，星期五<2>声子与样品中杂质、缺陷的碰撞即格波遇到晶体中杂质缺陷时的散射，此时一般力常数要发生变化，对于纯单晶体，这种机制是很少的。<3>声子与样品边界的碰撞即格波在样品边界处的散射（势能发生改变）。若同时考虑上述三种机制，则声子总的自由程为：碰撞几率：第七十二页，共八十五页，编辑于2023年，星期五若温度T高，则声子浓度n大，据玻色分布，在高温情况下：频率为ω的声子数增大，则la减小，所以高温下在低温下：n随温度T降低按指数规律急剧下降，则la增大很快，当温度T下降到接近0K时，la→∞温度的影响第七十三页，共八十五页，编辑于2023年，星期五

（D为常数）la→∞，此时声子的平均自由程由决定，倘若试样非常纯净，lb也很大，则声子的平均自由程就由样品的边界决定，这种情况称为尺寸效应，此时点阵的热导率：第七十四页，共八十五页，编辑于2023年，星期五声子之所以进入热平衡分布，使得某一个区域的平均声子数为<n>，要依靠声子之间的碰撞，靠非简谐效应.前面我们已经得到点阵的热导率温度为T时一个模式上的平均声子数为：3.倒逆过程声子与声子在碰撞中交换能量，而声子与样品边界或杂质缺陷之间的碰撞是没有能量交换的，是属于弹性碰撞，这种碰撞对实现热平衡是没有贡献的。第七十五页，共八十五页，编辑于2023年，星期五两声子发生碰撞的波矢选择条件：G的选择要使得K3在第1BZ之内两声子湮没，一声子产生，能量守恒：G＝0正规过程G≠0倒逆过程。第七十六页，共八十五页，编辑于2023年，星期五正规过程对热平衡是没有贡献的。这就意味着当由于外界干扰使声子获得了某一方向的定向运动的动量，在由非平衡态向平衡态过渡时，定向运动的动量应当逐渐减到零，这样才能使系统进入热平衡状态，为了能进入热平衡状态，显然应当存在这样一种机制，它能衰减声子定向运动的动量，如果没有这种机制，声子就不可能进入热平衡状态碰撞前后的总动量保持不变。正规过程：G=0第七十七页，共八十五页，编辑于2023年，星期五正规过程不会使声子团定向运动的动量衰减，因为尽管在碰撞过程中有的声子湮灭，有的声子