高中数学人教B版1-2学案：第二单元 2.2.1　综合法与分析法 含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2.2.1综合法与分析法明目标、知重点1。了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2。理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题.1。综合法从已知条件出发，经过逐步的推理,最后达到待证结论.2.分析法从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.[情境导学]证明对我们来说并不陌生，我们在之前学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识。探究点一综合法思考1请同学们证明下面的问题，总结证明方法有什么特点？已知a,b>0,求证：a（b2＋c2)＋b（c2＋a2)≥4abc。证明因为b2＋c2≥2bc，a〉0，所以a（b2＋c2）≥2abc.又因为c2＋a2≥2ac,b〉0，所以b（c2＋a2)≥2abc。因此a(b2＋c2）＋b（c2＋a2）≥4abc.总结:此证明过程运用了综合法.一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立。思考2综合法又叫由因导果法，其推理过程是合情推理还是演绎推理？答因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理,因此所得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”，所以综合法是演绎推理。例1在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形.证明由A，B,C成等差数列，有2B＝A＋C，①由于A，B，C为△ABC的三个内角，所以A＋B＋C＝π.②由①②，得B＝eq\f（π,3)，③由a,b,c成等比数列，有b2＝ac，④由余弦定理及③,可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac,再由④,得a2＋c2－ac＝ac，即（a－c）2＝0,从而a＝c，所以A＝C。⑤由②③⑤，得A＝B＝C＝eq\f（π，3），所以△ABC为等边三角形。反思与感悟综合法的证明步骤如下:(1）分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；(2)转化条件，组织过程:将条件合理转化，书写出严密的证明过程。跟踪训练1在△ABC中，eq\f（AC,AB)＝eq\f(cosB，cosC),证明:B＝C。证明在△ABC中，由正弦定理及已知得eq\f(sinB,sinC）＝eq\f(cosB，cosC).于是sinBcosC－cosBsinC＝0，即sin(B－C）＝0，因为－π<B－C<π,从而B－C＝0，所以B＝C。探究点二分析法思考1回顾一下：基本不等式eq\f(a＋b，2)≥eq\r(ab)（a〉0，b〉0)是怎样证明的？答要证eq\f（a＋b，2)≥eq\r(ab),只需证a＋b≥2eq\r（ab)，只需证a＋b－2eq\r（ab）≥0,只需证（eq\r(a)－eq\r(b))2≥0，因为（eq\r(a)－eq\r（b））2≥0显然成立,所以原不等式成立.思考2证明过程有何特点？答从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件。小结一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理）为止,这种证明方法叫做分析法.思考3综合法和分析法的区别是什么?答综合法是从已知条件出发，逐步推向未知,每步寻找的是必要条件;分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件。例2求证:eq\r(a)－eq\r(a－1）<eq\r(a－2)－eq\r（a－3）(a≥3)。证明方法一要证eq\r（a)－eq\r(a－1）〈eq\r(a－2)－eq\r(a－3)，只需证eq\r（a）＋eq\r(a－3)〈eq\r(a－2)＋eq\r(a－1），只需证（eq\r（a)＋eq\r（a－3））2〈（eq\r(a－2)＋eq\r（a－1）)2，只需证2a－3＋2eq\r（a2－3a)<2a－3＋2eq\r(a2－3a＋2），只需证eq\r(a2－3a）<eq\r（a2－3a＋2）,只需证0<2，而0〈2显然成立，所以eq\r（a）－eq\r(a－1)<eq\r（a－2)－eq\r（a－3）（a≥3）.方法二∵eq\r(a）＋eq\r（a－1）>eq\r(a－2）＋eq\r(a－3）〉0，∴eq\f(1，\r(a）＋\r(a－1））<eq\f（1,\r(a－2)＋\r（a－3)），∴eq\r(a）－eq\r(a－1)〈eq\r（a－2）－eq\r(a－3）.反思与感悟当已知条件和结论联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合已知条件,用结论反推的方法。跟踪训练2求证：eq\r（3)＋eq\r(7)<2eq\r(5).证明因为eq\r（3）＋eq\r(7）和2eq\r（5)都是正数,所以要证eq\r（3)＋eq\r（7）〈2eq\r（5）,只需证(eq\r(3）＋eq\r（7))2〈(2eq\r（5））2,展开得10＋2eq\r（21)<20,只需证eq\r（21）〈5，只需证21<25，因为21〈25成立，所以eq\r(3)＋eq\r（7）〈2eq\r（5）成立。探究点三综合法和分析法的综合应用思考在实际证题中，怎样选用综合法或分析法？答对思路清楚,方向明确的题目,可直接使用综合法；对于复杂的题目，常把分析法和综合法结合起来，先用分析法去转化结论，得到中间结论Q;再根据结构的特点去转化条件，得到中间结论P。若P⇒Q，则结论得证。例3已知α，β≠kπ＋eq\f(π,2)（k∈Z），且sinθ＋cosθ＝2sinα，①sinθcosθ＝sin2β。②求证:eq\f（1－tan2α，1＋tan2α）＝eq\f(1－tan2β,21＋tan2β）.证明因为（sinθ＋cosθ)2－2sinθcosθ＝1，所以将①②代入,可得4sin2α－2sin2β＝1.③另一方面,要证eq\f(1－tan2α，1＋tan2α）＝eq\f(1－tan2β,21＋tan2β),即证eq\f（1－\f(sin2α,cos2α),1＋\f（sin2α,cos2α)）＝eq\f（1－\f(sin2β,cos2β），21＋\f（sin2β,cos2β））,即证cos2α－sin2α＝eq\f(1，2）（cos2β－sin2β)，即证1－2sin2α＝eq\f（1,2）（1－2sin2β)，即证4sin2α－2sin2β＝1。由于上式与③相同，于是问题得证。反思与感悟用P表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q表示要证明的结论,则综合法和分析法的综合应用可用框图表示为：跟踪训练3若tan（α＋β)＝2tanα，求证：3sinβ＝sin（2α＋β）。证明由tan(α＋β）＝2tanα，得eq\f（sinα＋β，cosα＋β)＝eq\f（2sinα,cosα），即sin(α＋β）cosα＝2cos(α＋β）sinα。①要证3sinβ＝sin(2α＋β），即证3sin[(α＋β）－α］＝sin[(α＋β）＋α]，即证3[sin(α＋β）cosα－cos（α＋β)sinα]＝sin（α＋β）cosα＋cos（α＋β)sinα,化简得sin(α＋β）cosα＝2cos（α＋β)sinα.这就是①式.所以，命题成立.1.已知y〉x〉0,且x＋y＝1，那么(）A.x<eq\f（x＋y,2)<y〈2xy B。2xy〈x<eq\f(x＋y,2)〈yC.x〈eq\f（x＋y，2)〈2xy〈y D。x<2xy<eq\f(x＋y，2）〈y答案D解析∵y>x〉0,且x＋y＝1，∴设y＝eq\f（3,4)，x＝eq\f（1,4）,则eq\f(x＋y,2）＝eq\f(1,2)，2xy＝eq\f（3，8），∴x〈2xy<eq\f（x＋y，2）〈y,故选D.2.欲证eq\r（2)－eq\r（3）<eq\r（6)－eq\r（7)成立，只需证（)A。（eq\r(2)－eq\r（3))2<（eq\r(6）－eq\r（7））2B。（eq\r(2)－eq\r（6))2<（eq\r（3)－eq\r(7))2C。（eq\r(2)＋eq\r（7）)2<(eq\r（3）＋eq\r(6))2D。（eq\r(2）－eq\r（3)－eq\r(6））2<(－eq\r(7））2答案C解析根据不等式性质，a>b〉0时，才有a2〉b2，即证:eq\r（2)＋eq\r（7)〈eq\r（6）＋eq\r(3)，只需证：(eq\r(2)＋eq\r（7))2〈(eq\r（3)＋eq\r(6）)2。3.要证明eq\r（3）＋eq\r（7)〈2eq\r（5），可选择的方法有很多,最合理的应为________。答案分析法4。已知eq\f(1－tanα，2＋tanα）＝1，求证:cosα－sinα＝3(cosα＋sinα）.证明要证cosα－sinα＝3(cosα＋sinα)，只需证eq\f（cosα－sinα,cosα＋sinα）＝3，只需证eq\f（1－tanα，1＋tanα)＝3，只需证1－tanα＝3（1＋tanα），只需证tanα＝－eq\f(1,2)，∵eq\f(1－tanα，2＋tanα）＝1,∴1－tanα＝2＋tanα，即2tanα＝－