湖南省湘潭市重点达标名校2023年初三下学期第三次强化考试数学试题含解析

湖南省湘潭市重点达标名校2023年初三下学期第三次强化考试数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=18，则△ABD的面积是（）A．18 B．36 C．54 D．722．一元二次方程x2﹣5x﹣6=0的根是（）A．x1=1，x2=6 B．x1=2，x2=3 C．x1=1，x2=﹣6 D．x1=﹣1，x2=63．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（）A．3cm，4cm，8cmB．8cm，7cm，15cmC．13cm，12cm，20cmD．5cm，5cm，11cm4．如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为（）A．24 B．18 C．12 D．95．估计的运算结果应在哪个两个连续自然数之间（）A．﹣2和﹣1 B．﹣3和﹣2 C．﹣4和﹣3 D．﹣5和﹣46．民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）

A． B． C． D．7．如图，在正方形ABCD中，AB＝，P为对角线AC上的动点，PQ⊥AC交折线A﹣D﹣C于点Q，设AP＝x，△APQ的面积为y，则y与x的函数图象正确的是（）A． B．C． D．8．关于x的一元一次不等式≤﹣2的解集为x≥4，则m的值为（）A．14 B．7 C．﹣2 D．29．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．下列事件是必然事件的是()A．任意作一个平行四边形其对角线互相垂直B．任意作一个矩形其对角线相等C．任意作一个三角形其内角和为D．任意作一个菱形其对角线相等且互相垂直平分二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．如图，半径为3的⊙O与Rt△AOB的斜边AB切于点D，交OB于点C，连接CD交直线OA于点E，若∠B=30°，则线段AE的长为．12．如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C1：y＝x2（x≥0）和抛物线C2：y＝（x≥0）交于A，B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C、D，过点B作EF∥x轴分别与y轴和抛物线C1交于点E、F，则的值为_____．13．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在圆O上，BD＝CD，AB＝10，AC＝6，连接OD交BC于点E，DE＝______．14．分解因式______．15．甲乙两人8次射击的成绩如图所示(单位：环)根据图中的信息判断，这8次射击中成绩比较稳定的是______(填“甲”或“乙”)16．已知代数式2x﹣y的值是，则代数式﹣6x+3y﹣1的值是_____．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）已知一个二次函数的图象经过A（0，﹣3），B（1，0），C（m，2m+3），D（﹣1，﹣2）四点，求这个函数解析式以及点C的坐标．18．（8分）山地自行车越来越受中学生的喜爱．一网店经营的一个型号山地自行车，今年一月份销售额为30000元，二月份每辆车售价比一月份每辆车售价降价100元，若销售的数量与上一月销售的数量相同，则销售额是27000元．求二月份每辆车售价是多少元？为了促销，三月份每辆车售价比二月份每辆车售价降低了10%销售，网店仍可获利35%，求每辆山地自行车的进价是多少元？19．（8分）在东营市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元.求每台电脑、每台电子白板各多少万元?根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低.20．（8分）如图，已知AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB．求证：OC=OD．21．（8分）如图，△ABC中AB=AC，请你利用尺规在BC边上求一点P，使△ABC～△PAC不写画法，（保留作图痕迹）.22．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=72°．（1）用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）中作出∠ABC的平分线BD后，求∠BDC的度数．23．（12分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是BC边的中点，点P在线段AD上，过P作PF⊥AE于F，设PA＝x．（1）求证：△PFA∽△ABE；（2）当点P在线段AD上运动时，设PA＝x，是否存在实数x，使得以点P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由；（3）探究：当以D为圆心，DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点时，请直接写出x满足的条件：．24．试探究：小张在数学实践活动中，画了一个△ABC，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，再以点B为圆心，BC为半径画弧交AB于点D，然后以A为圆心，AD长为半径画弧交AC于点E，如图1，则AE＝；此时小张发现AE2＝AC•EC，请同学们验证小张的发现是否正确．拓展延伸：小张利用图1中的线段AC及点E，构造AE＝EF＝FC，连接AF，得到图2，试完成以下问题：（1）求证：△ACF∽△FCE；（2）求∠A的度数；（3）求cos∠A的值；应用迁移：利用上面的结论，求半径为2的圆内接正十边形的边长．

参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、B【解析】

根据题意可知AP为∠CAB的平分线，由角平分线的性质得出CD=DH，再由三角形的面积公式可得出结论．【详解】由题意可知AP为∠CAB的平分线，过点D作DH⊥AB于点H，∵∠C=90°，CD=1，∴CD=DH=1．∵AB=18，∴S△ABD=AB•DH=×18×1=36故选B．【点睛】本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．2、D【解析】

本题应对原方程进行因式分解，得出（x-6）（x+1）=1，然后根据“两式相乘值为1，这两式中至少有一式值为1．”来解题．【详解】x2-5x-6=1（x-6）（x+1）=1x1=-1，x2=6故选D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．3、C【解析】

根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【详解】A、3+4＜8，不能组成三角形；B、8+7＝15，不能组成三角形；C、13+12＞20，能够组成三角形；D、5+5＜11，不能组成三角形．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，关键是灵活运用三角形三边关系.4、A【解析】【分析】易得BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长=4BC问题得解．【详解】∵E是AC中点，∵EF∥BC，交AB于点F，∴EF是△ABC的中位线，∴BC=2EF=2×3=6，∴菱形ABCD的周长是4×6=24，故选A．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质及菱形的周长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键.5、C【解析】根据二次根式的性质，可化简得=﹣3=﹣2，然后根据二次根式的估算，由3＜2＜4可知﹣2在﹣4和﹣3之间．故选C．点睛：此题主要考查了二次根式的化简和估算，关键是根据二次根式的性质化简计算，再二次根式的估算方法求解.6、C【解析】分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．因此，A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项正确；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．故选C．7、B【解析】∵在正方形ABCD中,AB=，∴AC＝4，AD＝DC＝，∠DAP＝∠DCA＝45o，当点Q在AD上时，PA＝PQ，∴DP=AP=x,∴S＝；当点Q在DC上时，PC＝PQCP＝4－x,∴S＝；所以该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下,故选B.【点睛】本题考查动点问题的函数图象，有一定难度，解题关键是注意点Q在AP、DC上这两种情况．8、D【解析】

解不等式得到x≥m+3，再列出关于m的不等式求解.【详解】≤﹣1，m﹣1x≤﹣6，﹣1x≤﹣m﹣6，x≥m+3，∵关于x的一元一次不等式≤﹣1的解集为x≥4，∴m+3=4，解得m=1．故选D．考点：不等式的解集9、D【解析】由抛物线的开口向下知a<0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c>0，对称轴为x=<1，∵a<0，∴2a+b<0，而抛物线与x轴有两个交点,∴−4ac>0，当x=2时，y=4a+2b+c<0，当x=1时，a+b+c=2.∵>2，∴4ac−<8a，∴+8a>4ac，∵①a+b+c=2，则2a+2b+2c=4，②4a+2b+c<0，③a−b+c<0.由①，③得到2a+2c<2，由①，②得到2a−c<−4，4a−2c<−8，上面两个相加得到6a<−6，∴a<−1.故选D.点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数中，a的符号由抛物线的开口方向决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；b的符号由对称轴位置与a的符号决定；抛物线与x轴的交点个数决定根的判别式的符号，注意二次函数图象上特殊点的特点.10、B【解析】

必然事件就是一定发生的事件，根据定义对各个选项进行判断即可．【详解】解：A、任意作一个平行四边形其对角线互相垂直不一定发生，是随机事件，故本选项错误；B、矩形的对角线相等，所以任意作一个矩形其对角线相等一定发生，是必然事件，故本选项正确；C、三角形的内角和为180°，所以任意作一个三角形其内角和为是不可能事件，故本选项错误；D、任意作一个菱形其对角线相等且互相垂直平分不一定发生，是随机事件，故选项错误，故选：B．【点睛】解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．熟练掌握相关图形的性质也是解题的关键．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、【解析】

要求AE的长，只要求出OA和OE的长即可，要求OA的长可以根据∠B=30°和OB的长求得，OE可以根据∠OCE和OC的长求得．【详解】解：连接OD，如图所示，由已知可得，∠BOA=90°，OD=OC=3，∠B=30°，∠ODB=90°，∴BO=2OD=6，∠BOD=60°，∴∠ODC=∠OCD=60°，AO=BOtan30°=6×=2，∵∠COE=90°，OC=3，∴OE=OCtan60°=3×=3，∴AE=OE﹣OA=3-2=，【点晴】切线的性质12、【解析】

根据二次函数的图象和性质结合三角形面积公式求解.【详解】解：设点横坐标为，则点纵坐标为，点B的纵坐标为，∵BE∥x轴，∴点F纵坐标为，∵点F是抛物线上的点，∴点F横坐标为，∵轴，∴点D纵坐标为，∵点D是抛物线上的点，∴点D横坐标为，，故答案为．【点睛】此题重点考查学生对二次函数的图象和性质的应用能力，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.13、1【解析】

先利用垂径定理得到OD⊥BC，则BE=CE，再证明OE为△ABC的中位线得到，入境计算OD−OE即可．【详解】解：∵BD＝CD，∴，∴OD⊥BC，∴BE＝CE，而OA＝OB，∴OE为△ABC的中位线，∴，∴DE＝OD－OE＝5－3＝1．故答案为1．【点睛】此题考查垂径定理,中位线的性质，解题的关键在于利用中位线的性质求解.14、（x+y+z）（x﹣y﹣z）．【解析】

当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题后三项可以为一组组成完全平方式，再用平方差公式即可．【详解】x2-y2-z2-2yz，=x2-（y2+z2+2yz），=x2-（y+z）2，=（x+y+z）（x-y-z）．故答案为（x+y+z）（x-y-z）．【点睛】本题考查了用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组．本题后三项可组成完全平方公式，可把后三项分为一组．15、甲【解析】由图表明乙这8次成绩偏离平均数大，即波动大，而甲这8次成绩，分布比较集中，各数据偏离平均小，方差小，则S2甲<S2乙，即两人的成绩更加稳定的是甲．故答案为甲．16、【解析】

由题意可知：2x-y=，然后等式两边同时乘以-3得到-6x+3y=-，然后代入计算即可．【详解】∵2x-y=，∴-6x+3y=-．∴原式=--1=-．故答案为-．【点睛】本题主要考查的是求代数式的值，利用等式的性质求得-6x+3y=-是解题的关键．三、解答题（共8题，共72分）17、y=2x2+x﹣3，C点坐标为（﹣，0）或（2，7）【解析】

设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把A（0，﹣3），B（1，0），D（﹣1，﹣2）代入可求出解析式，进而求出点C的坐标即可.【详解】设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把A（0，﹣3），B（1，0），D（﹣1，﹣2）代入得，解得，∴抛物线的解析式为y=2x2+x﹣3，把C（m，2m+3）代入得2m2+m﹣3=2m+3，解得m1=﹣，m2=2，∴C点坐标为（﹣，0）或（2，7）．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．18、（1）二月份每辆车售价是900元；（2）每辆山地自行车的进价是600元．【解析】

（1）设二月份每辆车售价为x元，则一月份每辆车售价为（x+100）元，根据数量=总价÷单价，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设每辆山地自行车的进价为y元，根据利润=售价﹣进价，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】（1）设二月份每辆车售价为x元，则一月份每辆车售价为（x+100）元，根据题意得：，解得：x=900，经检验，x=900是原分式方程的解，答：二月份每辆车售价是900元；（2）设每辆山地自行车的进价为y元，根据题意得：900×（1﹣10%）﹣y=35%y，解得：y=600，答：每辆山地自行车的进价是600元．【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.19、（1）每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元（2）见解析【解析】解：（1）设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，根据题意得：，解得：。答：每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元。（2）设需购进电脑a台，则购进电子白板（30－a）台，则，解得：，即a=15，16，17。故共有三种方案：方案一：购进电脑15台，电子白板15台.总费用为万元；方案二：购进电脑16台，电子白板14台.总费用为万元；方案三：购进电脑17台，电子白板13台．总费用为万元。∴方案三费用最低。（1）设电脑、电子白板的价格分别为x,y元，根据等量关系：“1台电脑+2台电子白板=3.5万元”，“2台电脑+1台电子白板=2.5万元”，列方程组求解即可。（2）设计方案题一般是根据题意列出不等式组，求不等式组的整数解。设购进电脑x台，电子白板有(30－x)台，然后根据题目中的不等关系“总费用不超过30万元，但不低于28万元”列不等式组解答。20、证明见解析.【解析】试题分析：首先根据等边对等角可得∠A=∠B，再由DC∥AB，可得∠D=∠A，∠C=∠B，进而得到∠C=∠D，根据等角对等边可得CO=DO．试题解析：证明：∵AB∥CD∴∠A＝∠D∠B＝∠C∵OA=OB∴∠A＝∠B∴∠C＝∠D∴OC＝OD考点：等腰三角形的性质与判定，平行线的性质21、见解析【解析】

根据题意作∠CBA=∠CAP即可使得△ABC～△PAC.【详解】如图，作∠CBA=∠CAP，P点为所求.【点睛】此题主要考查相似三角形的尺规作图，解题的关键是作一个角与已知角相等.22、（1）作图见解析（2）∠BDC=72°【解析】解：（1）作图如下：（2）∵在△ABC中，AB=AC，∠ABC=72°，∴∠A=180°﹣2∠ABC=180°﹣144°=36°．∵AD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠ABC=×72°=36°．∵∠BDC是△ABD的外角，∴∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°．（1）根据角平分线的作法利用直尺和圆规作出∠ABC的平分线：①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、BC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF为半径画圆，两圆相较于点G，连接BG交AC于点D．（2）先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠A的度数，再由角平分线的性质得出∠ABD的度数，再根据三角形外角的性质得出∠BDC的度数即可．23、（1）证明见解析；（2）3或．（3）或0＜【解析】

（1）根据矩形的性质，结合已知条件可以证明两个角对应相等，从而证明三角形相似；

（2）由于对应关系不确定，所以应针对不同的对应关系分情况考虑：当时，则得到四边形为矩形，从而求得的值；当时，再结合（1）中的结论，得到等腰．再根据等腰三角形的三线合一得到是的中点，运用勾股定理和相似三角形的性质进行求解．

（3）此题首先应针对点的位置分为两种大情况：①与AE相切，②与线段只有一个公共点，不一定必须相切，只要保证和线段只有一个公共点即可．故求得相切时的情况和相交，但其中一个交点在线段外的情况即是的取值范围．【详解】(1)证明：∵矩形ABCD，∴AD∥BC.∴∠PAF=∠AEB.又∵PF⊥AE，∴△PFA∽△ABE.(2)情况1,当△EFP∽△ABE，且∠PEF=∠EAB时，则有PE∥AB∴四边形ABEP为矩形，∴PA=EB=3，即x=3