河北省邢台市部分学校2023届高三上学期12月月考数学试卷含答案

高三班级数学试题说明：1.考试时间120分钟，总分值150分.2.请将全部答案填写在答题卡上，答在试卷上无效.第I卷〔选择题，共60分〕一､单项选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.，那么在复平面内，其共轭复数所对应的点位于〔〕A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D2.非零向量的夹角余弦值为，且，那么〔〕A.2 B. C. D.1【答案】A3.中，点为边中点，点为所在平面内一点，那么“〞为“点为重心〞〔〕条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要【答案】C4.等差数列的公差不为且成等比数列，那么以下选项中错误的选项是〔〕A. B.C. D.【答案】D5.函数在内恰有3个最值点和4个零点，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】B6.如图，圆内接四边形中，，，现将该四边形沿旋转一周，那么旋转形成的几何体的外表积为〔〕A. B.C. D.【答案】C7.如图，在平行四边形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，那么的最大值是〔〕A. B. C. D.【答案】C8.函数，假设存在使得关于的不等式成立，那么实数的取值范围〔〕A. B. C. D.【答案】C二､多项选择题：本大题共4小题，每题5分，共20分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，局部选对得2分，有选错的得0分.9.以下命题中真命题有〔〕A.集合，假设，那么实数的取值集合为B.数列的前项和为，假设，那么C.假设定义域为的函数是奇函数，函数为偶函数，那么D.假设分别表示的面积，那么【答案】CD10.为两条不同的直线，为两个不同的平面，以下说法错误的选项是〔〕A.线段为平面外的线段，假设两点到平面的距离相等，那么B.假设一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等C.假设，那么D.假设，那么【答案】ABC11.折扇又名“纸扇〞是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.如图1，其平面图是如图2的扇形，其中，，点在弧上，且，点在弧上运动〔包括端点〕，那么以下结论正确的有〔〕A.在方向上的投影向量为B.假设，那么C.D.的最小值是【答案】ABD12.如图，在菱形中，为的中点，将沿直线翻折到的位置，连接和为的中点，在翻折过程中，那么以下结论中正确的选项是〔〕A.面面B.线段长度的取值范围为C.直线和所成的角始终为D.当三棱锥的体积最大时，点在三棱锥外接球的外部【答案】AC第II卷〔非选择题，共90分〕三､填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13.，，且与的夹角为锐角，那么的取值范围是_________________．【答案】14.在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱、、两两夹角都为，且，，，、分别为、的中点，那么与所成角的余弦值为__________.【答案】15.双曲线的左､右顶点分别为，抛物线与双曲线交于两点，记直线，的斜率分别为，那么为__________.【答案】##16.如图，在棱长均为的正四周体中，为中点，为中点，是上的动点，是平面上的动点，那么的最小值是__________.【答案】四､解答题：本大题共6小题，共70分.解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在中，角的对边分别是，满意，，过作于点，点为线段的中点.〔1〕求；〔2〕求的值.【答案】〔1〕〔2〕【小问1详解】依题意，解得【小问2详解】由余弦定理得，，解得，所以.18.数列的前项和为，等差数列满意.〔1〕求数列的通项公式；〔2〕求数列前项和.【答案】〔1〕，〔2〕【小问1详解】当时，；当时，，当时也符合，所以.由题意，，设等差数列的公差为d，那么，，故.综上，【小问2详解】由〔1〕知：，∵∴①②∴得：即：，∴.19.为了求一个棱长为的正四周体的体积，某同学设计如下解法：构造一个棱长为1的正方体，如图1：那么四周体为棱长是的正四周体，且有.〔1〕类比此解法，一个相对棱长都相等的四周体，其三组棱长分别为，求此四周体的体积；〔2〕对棱分别相等的四周体称为等腰四周体.小明同学在争论等腰四周体〔设〕时，给出如下结论：①等腰四周体的外接球半径为；②等腰四周体的四个面可以都为直角三角形.聪慧的同学们，你认为小明同学争论的结论正确吗？给出理由.【答案】〔1〕24〔2〕①正确；②错误；理由见解析【小问1详解】如图，长方体中的四周体是对棱相等的四周体，其中，，，设，，，那么，解得：，，，那么，【小问2详解】设长方体同一顶点的三条棱长分别为，由〔1〕可知，，即，等腰四周体的外接球就是所在长方体的外接球，所以，那么，故①正确；假设4个面都是直角三角形，设，那么是直角三角形和的斜边，取的中点，连结，那么，那么，三点共线，此时，不能构成四周体，所以等腰四周体的四个面不能都是直角三角形，故②错误.20.椭圆的左､右顶点分别，上顶点为，的长轴长比短轴长大4.〔1〕求椭圆的方程；〔2〕斜率存在且不为0的直线交椭圆于两点〔异于点〕，且，证明：直线恒过定点，并求出定点坐标.【答案】〔1〕〔2〕证明过程见详解【小问1详解】由题意知：，由于为锐角，故，由题意知：，解得：，故椭圆方程为.【小问2详解】依据题意，设直线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立可得：，那么，即.设，那么，.由于，依据向量加法与减法的几何意义可得：，那么，由于，所以，也即，整理化简可得：，解得：或，此时均满意，当时，直线的方程为，过定点；当时，直线的方程为，过定点，此时定点与点重合，故舍去，综上，直线恒过定点，定点坐标为.21.如图1，在边长为4的菱形中，，点分别是边，的中点，.沿将翻折到的位置，连接，得到如图2所示的五棱锥.〔1〕在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论；〔2〕当四棱锥体积最大时，求点到面的距离；〔3〕在〔2〕的条件下，在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？假设存在，试确定点的位置；假设不存在，请说明理由.【答案】〔1〕总有平面平面，证明详见解析〔2〕〔3〕存在，是的中点，理由见解析.【小问1详解】折叠前，由于四边形是菱形，所以，由于分别是边，的中点，所以，所以，折叠过程中，平面，所以平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.【小问2详解】当平面平面时，四棱锥体积最大，由于平面平面，平面，，所以平面，由于平面，所以，由此以为空间坐标原点建立如下图空间直角坐标系，依题意可知，设平面的法向量为，那么，故可设，所以到平面的距离为.【小问3详解】存在，理由如下：，，设，那么，平面的法向量为，，设平面的法向量为，那么，故可设，设平面与平面所成角为，由于平面与平面所成角余弦值为，所以，解得或〔舍去〕，所以当是的中点时，平面与平面所成角的余弦值为.22.函数.〔1〕争论函数的单调性；〔2〕假设，使得，求实数的取值范围.【答案】〔1〕单调性见解析〔2〕【小问1详解】由题意知：的定义域为，，当时，恒成立，在