图形与几何二三角形

图形与几何二三角形第一页，共六十八页，编辑于2023年，星期五图形与几何北京教育学院数学系冯启磊第二页，共六十八页，编辑于2023年，星期五课标中关于图形与几何的核心概念空间观念；

根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。几何直观

利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中发挥着重要作用。第三页，共六十八页，编辑于2023年，星期五课标中关于图形与几何的核心概念推理能力

推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭经验与直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（定义、公理、定理等）和确定的规则（运算的定义、法则和顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。第四页，共六十八页，编辑于2023年，星期五

（二）三角形第五页，共六十八页，编辑于2023年，星期五一、基本概念与结论基本概念三角形及其三边关系、内角、外角、中线、高线、角平分线全等三角形及对应边、对应角等腰三角形及其相关概念直角三角形及其相关概念线段垂直平分线的概念第六页，共六十八页，编辑于2023年，星期五一、基本概念与结论基本事实：SAS、ASA、SSS推论AAS重要定理三角形内角和定理及推论角平分线和线段垂直平分线的性质定理等腰三角形的相关定理直角三角形的相关定理第七页，共六十八页，编辑于2023年，星期五二、知识结构图

知识结构图请画出“三角形”这一内容的知识结构图第八页，共六十八页，编辑于2023年，星期五三、教学内容分析

1.三角形内角和定理人教版教材的设计思路第九页，共六十八页，编辑于2023年，星期五三、教学内容分析

-------三角形内角和定理方案1活动：学生在纸上画一个三角形，用量角器测量每个角的度数，然后加起来，实际情况是，有的学生测量的度数之和大于180°，有的小于180°，有的等于180°，但学生都能肯定三角形内角和是180°。教师引导学生证明这个结论第十页，共六十八页，编辑于2023年，星期五三、教学内容分析

-------三角形内角和定理方案2师：三角形内角和是180°是个真命题吗？你怎么知道的？生：是真命题；量一量，然后加起来；撕下来，拼在一起；折一折；师：任何实验都会有误差，即使全班同学都各自剪出了不同形状的三角形，但也不能就此说明所有的三角形都具有这一共性。那么怎样才能说明“三角形内角和是180°”的真实性呢？我们看看能否从我们以前的实验中找到思路呢？量一量的本意是想把三个角合在一起；撕下来，拼在一起，也能起到这个作用，大家想想你都有哪些拼的办法？一定想清楚，你是如何拼的第十一页，共六十八页，编辑于2023年，星期五学生展示拼图并说明拼的方法：（1）（2）（3）（4）第十二页，共六十八页，编辑于2023年，星期五我们来思考一下，这个拼图带给我们什么灵感呢这条线的作用是什么？这条线的作用是什么？不用撕纸，任意给你一个三角形，你能利用前面的知识，证明这个结论吗？第十三页，共六十八页，编辑于2023年，星期五证明：根据刚才的灵感，你尝试着把它证明一下结论：三角形三个内角的和等于180°师：这是一个文字命题，证明时需要先干什么呢？生：需要先画图形，根据命题的条件和结论写出已知、求证。学生书写已知、求证并证明第十四页，共六十八页，编辑于2023年，星期五师：像分析第一个拼图一样，请大家看看别的拼图的方法能给我们带来什么启示？请学生到黑板上画一画，并分析选择第（2）（3）学生画图、书写证明过程，第4个留作家庭作业师：我们已经用三种方法证明了三角形内角和确实为180°，以后大家可以放心直接使用这个结论了第十五页，共六十八页，编辑于2023年，星期五师：让我们再看看这三个图，这几条线辅助线的出现到底有什么样的秘密？生：都是利用平行，让角移动到一起第十六页，共六十八页，编辑于2023年，星期五师：说的非常好！平行能够保持角的大小不变，而把它移动到另外一个位置，那么前两个图和第三个图的不同是什么呢？生：前两个图移动了两个角，第三个图移动了一个角师：这是为什么呢？生：移动一个角，利用的是两条直线平行，同旁内角互补；移动两个角，是利用平角是180°第十七页，共六十八页，编辑于2023年，星期五教师总结辅助线添加的策略∠A+∠B+∠C=180°180°是平角选择一个顶点构造平角利用平行线实现角的移动两条直线平行同旁内角互补构造同旁内角利用平行线实现角的移动证明平行添加辅助线添加辅助线思考：必须选择顶点吗？第十八页，共六十八页，编辑于2023年，星期五练习：第十九页，共六十八页，编辑于2023年，星期五家庭作业--完成第（4）个拼图的证明，想想还有别的证明方法吗？---思考与探究第二十页，共六十八页，编辑于2023年，星期五小组讨论分析上面案例中的活动，讨论活动设计意图第二十一页，共六十八页，编辑于2023年，星期五三角形内角和定理的证明方法5方法6第二十二页，共六十八页，编辑于2023年，星期五三角形内角和定理的证明方法7第二十三页，共六十八页，编辑于2023年，星期五三角形内角和定理设计方案3第二十四页，共六十八页，编辑于2023年，星期五三角形内角和定理教育价值分析教学内容---基本事实1.平面上三角形三个内角之和是180°2.阐释了平面上，任意三角形三个内角之间的数量关系3.采用“数量”表示几何图形的“形态”4.与平行公设、勾股定理等价，刻画平面存在的状态---平面的平直性，是欧式几何的基本特征第二十五页，共六十八页，编辑于2023年，星期五三角形内角和定理教育价值分析教学内容---与其它内容联系1.借助三角形的内角和能够推导出多边形的内角和2.通过三角形内角和可以推理出三角形外角与不相邻的内角的数量关系3.由三角形内角和可以推导出多边形的外角和4.三角形内角和是180°，有两个角对应相等的两个三角形相似第二十六页，共六十八页，编辑于2023年，星期五教学内容过程性价值体会证明的必要性；学习添加辅助线：在证明过程中，体会辅助线的作用以及如何添加—实现目标的策略，实现从未知向已知的转化逻辑推理规范化的开始，推理超过2步三种语言的转化：几何语言，图形语言，符号语言的转换正式开始的标志第二十七页，共六十八页，编辑于2023年，星期五教学内容过程性价值5.三个内角数量关系的证明本质是几何图形的“运算”，这种运算是借助平行实现；6.感受公理化的思想；7.通过相关史料的阅读，感受历史上，数学家的坚持已见、敢于质疑和研究的精神，培养学生对数学探究的兴趣。第二十八页，共六十八页，编辑于2023年，星期五典型题目分析1.

如图，草原上有4口油井，位于四边形ABCD的4个顶点，现在要建立一个维修站H，试问H建在何处，才能使它到4口油井的距离之和AH+HB+HC+HD为最小，说明理由.BDCA第二十九页，共六十八页，编辑于2023年，星期五典型题目分析2.在△ABC中，AE⊥BC于E，AD为∠BAC的平分线，∠B=50°，∠C=70°，求∠DAE的度数第三十页，共六十八页，编辑于2023年，星期五典型题目分析3.已知在△ABC中，∠B=40°。若点A，C分别在射线BM，BN上移动（不与B点重合），CE平分∠ACB，AD平分∠CAM，AD，CE交于点E，试问，随着A，C的移动，∠E的大小是否也随之变化？若改变，说明理由，若不改变，求出∠E的大小。第三十一页，共六十八页，编辑于2023年，星期五典型题目分析4.小明在进行多边形内角和计算时，求得的内角和为1125°，当发现错误之后，重新检查，发现少加了一个内角，问这个内角是多少度，他求的是几边形内角和?第三十二页，共六十八页，编辑于2023年，星期五三、教学内容分析

---全等三角形教学设计案例1教学设计案例2第三十三页，共六十八页，编辑于2023年，星期五小组讨论请比较、分析两个教学设计的共同点与不同点第三十四页，共六十八页，编辑于2023年，星期五全等三角形教育价值分析知识价值：1）学习3个公理，1个推论并应用他们解决有关问题2）学习“三段论”的推理方式3）理解性质与判定的关系4）学习和体会平移，反射和旋转三种基本变换和全等的关系第三十五页，共六十八页，编辑于2023年，星期五全等三角形教育价值分析思维方法价值：1）培养学生的几何直观和合情推理2）学习研究问题的方法，培养逻辑推理能力（三段论）3）研究图形的基本方法---图形的定义，性质，图形的大小、形状，位置关系4）反例的力量5）图形语言、文字语言到符号语言的转化与书写第三十六页，共六十八页，编辑于2023年，星期五全等三角形教育价值分析过程的价值与同伴的合作交流，有条理的思考和表达，提出独特的想法第三十七页，共六十八页，编辑于2023年，星期五典型题目分析1.如图，点C是线段AB上一点，AC=MC=AM，BC=NC=BN，

，请说明：BM=AN.第三十八页，共六十八页，编辑于2023年，星期五典型题目分析2.

在△ABC中，AB＞AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F在BC边上，连接DE,DF,EF.则添加下列哪一个条件后，仍无法判定△BFD与△EDF全等（

）．A．EF∥AB B．BF=CF

C．∠A=∠DFE D．∠B=∠DFE

第三十九页，共六十八页，编辑于2023年，星期五三、案例分析—等腰三角形等腰三角形的性质案例1第四十页，共六十八页，编辑于2023年，星期五三、案例分析—等腰三角形等腰三角形的性质第四十一页，共六十八页，编辑于2023年，星期五三、案例分析---等腰三角形等腰三角形的性质第四十二页，共六十八页，编辑于2023年，星期五三、案例分析—等腰三角形案例2第四十三页，共六十八页，编辑于2023年，星期五三、案例分析—等腰三角形案例2第四十四页，共六十八页，编辑于2023年，星期五三、案例分析—等腰三角形案例2第四十五页，共六十八页，编辑于2023年，星期五第四十六页，共六十八页，编辑于2023年，星期五三、案例分析—等腰三角形方案3第四十七页，共六十八页，编辑于2023年，星期五三、案例分析—等腰三角形方案3第四十八页，共六十八页，编辑于2023年，星期五三、案例分析---等腰三角形第四十九页，共六十八页，编辑于2023年，星期五三、案例分析—等腰三角形方案4第五十页，共六十八页，编辑于2023年，星期五三、案例分析---等腰三角形第五十一页，共六十八页，编辑于2023年，星期五活动请比较4个教学设计方案的特点第五十二页，共六十八页，编辑于2023年，星期五典型题目分析1.如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？第五十三页，共六十八页，编辑于2023年，星期五典型题目分析如图，在△ABC中，已知BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线DE交AC于点D．（1）求∠A的度数；（2）若AC=6cm，求AD的长度．第五十四页，共六十八页，编辑于2023年，星期五典型题目分析已知AB是等腰△ABC的一腰，D在AC上，△ABD也为等腰三角形，当∠ABD=2∠DBC时，求∠BAC.第五十五页，共六十八页，编辑于2023年，星期五数量关系如图，△ABC，∠B=∠C，BD是∠ABC的角平分线，交AC于点D，∠BDC=∠C，求∠A的度数第五十六页，共六十八页，编辑于2023年，星期五数量关系第五十七页，共六十八页，编辑于2023年