角函数知识点(高用)

ππ180ππ180

任角弧制任角始边与

三角函数知识点轴的非半重旋转向逆时针为正，顺时针为负；正角、负角和零角，象限角，锐角，钝角、周角．注意0°～°表示°≤α＜360°°表示0≤＜°，不锐．用集合表示一类角，如和α终边相同的角（包括α）的集合：

S

Z}

．

弧定义等半径长的弧所对的圆心角定义为1弧的角rad表弧和意角对应意：弧是度是度位弧度和角度的换算：1°=rad0.01745，180

弧度值=度值；180rad=

(

π180

)

≈57.30=57°18，

角度值=度值．π

上述结论也可用周角°对应π，然后用比例求解：360°：2π=度：弧度．任角和度应

|

lr

，角度有正有负，而弧长和半径只能为正值．弧度公为：

l|

．弧度积式S=

11lr22

（类似三角形面积公式已知、

、2n

象限的法：圆分后再等对应个象限；用集合不等式，取～n．已知求2α和α，注意：α有能在数轴上．时钟的时针重合问题：是环形跑道追及问题．齿轮啮合问题，抓相同间的长等个关键．说明：本知识点以概念为主，一般不设置单独考点，注意定义和概念的易错点和边界．

三函概和导式三函概：角自量以单圆点坐或标比值函的函数，统称为三角数．2.1.1概念外延：三角函只与度α有关，的置圆大无；以度研究标自量的函；可通过（，y在单位圆上的旋转，理解三角函数的单调性、对称性、周期性和有界性．2.1.2单位上点，y=，α=，tanα=

；注意：tan：α≠．kZ．扩展到任意点（，y=

x

2

yy

2

，α=

x

2

xy

2

，α=

．2.1.3通过弦线、余弦线和正切线中有向线段的向与坐标轴的方向一致为正，相反为负．正弦中“正”表示正对的线”示旁边意思，这样很容易记住边角关系．2.1.4任意个不在坐标轴上三角函数值，如不指明象限，都有两种可能的象限．/

三函诱公“变不，号象，为止号错建先符，计）2.2.1把α当第一象限，通过π+，－，α对称旋关而到的新象限三角函数的符号．2.2.2涉及

2

，正弦，余弦互换，根据原函数的旋转象限理解符号．例如

sin(

2

表示正弦从一象限转到二象限，表示为y坐（或正弦线朝上正因此

2

2.2.3其它忆方法：符号象，π余．多书上用变不变，符号看象限个则有一缺陷”让人容易误解，计算容易忘记符号．还有一种情况，如

in(

2

，如先变化，正弦已经变成余弦，余弦的第二象限为负，容易误解为：

2

－2.2.4构造角三角形，利用勾股定理，边角关系求边长和角度的值．

同三函的系

2

cos

2

．

cos

tan

．

诱公、角角数系合用2.4.1三角数的化简．

常见角度的三角函数值要熟悉，但不必硬记．角

0°

30°45°60°90120°135150°180°弧度sin

00

22

32

1

32

322

7

π0cos

1

32

22

12

0

-

12

-

22

-

32

-1tan

0

1

无意义-

-1

-

0

三函图和质/

三函性：义、域最和界、单性周性对性奇性

下表kZ正sinα

余cos

正tanα函图单

单

[－+2k，π]2

[π+2，π+2π]

（

π22

π）调性

单

[

+2π

3

+2π]

kππ+2π]

无对

轴称

最位关=

+kπ称

最位关=π对

无称

点称

关点kπ）称

关点

+kπ）称

关点k，0）对性

奇性

奇数周2k（≠0）

偶数周k（≠）

奇数周kπ≠）周性最正期π

最正期2π

最正期定域

R

R

｛α≠

+k｝值

［，］

［1，］

（∞，∞）最值

在称α=2π+

取在对轴α=2π取

无最值比大

在称α=2π+取得1在称（α=2kπ+π）得［kπ+，kπ+，sinαcosα5［kπ+，kπ+，sinαcosα4

无在象限tanα＞sinα．在象限tanα＜sinα．

正、弦正函的象/

三函图和质几重正弦、余弦函数最值位轴称在与轴点置点称正切只在与x轴的交点位置点对称，在（

，0位置不是点对称，没有轴对称．正弦和余弦的周期是，而正切是．正弦和余弦的单调性包括边界，但正切的单调区间不包含边界，越界就会出现函数值的突变．正弦和余弦在第一象限的交点是

．在对于锐角：

xsinx

．从同样的角度弧长大于弦长看，在第一象限，正弦函数是上凸函，即增加比

y

线性慢．3.3.6正弦余弦五点法作图：定义域为0

3，，2

，2π，五点包括最值零和称和称心3.3.7正切近线：

k

2

k

．正切定义域：

{|x

2

，k}

．3.3.8给区，正和弦值或值从界是包最点合判．

从图可以看出，如果给定一个区间，求解区间最值，不一定在边界取得最大值或最小值不定能够到1或从边界否含k和（k∈）才能确定．2

O

2y

3π2

2π

x3.3.9给定域范围，求满足不等式的定义域区间，利用函数图象求解更加直观．

周函（考考：

π2

π

32

2

x概念非零数

x

取义内一值有f()f(x)

．扩展：周期T小于0周期函数的定义域是无限延伸（向一个方向或两个方向期函的义不一连或定（∞，+如果T是函数周，k（∈N）必是数周，T（k∈Z）一是数周．3.4.3周函性（见修1复函和象函）①

f(x)f(x)

（≠）

f(x

周期为2a．②

f(x)f()

（a≠－b

f(x

周期为

a

．③

f()

关于

a

和

对称（a）

f()

是以

a

的周期函数．④

f()

关于点（a，0）和（b，0对称≠b

f()

是以2|a的期函数．⑤

f()

关于直线x和（0）对称a）

f(x)

是以4|的期函数．

绝值换/

3.5.1绝对变换原理：互为相反数的绝对值值相等，以对称轴的分界．3.5.2｜x，当＜0的等于－的值．把边象称折左．

f()变为(|x

相当于去对轴=0左边的象将称右3.5.3把

f()

变为

f(|x

，相当于去对轴

x

左的象因自量置也可取负，对轴边象称折左．

(x)

变换：当

f()

＜0时变为

()

，即把对轴y=0下方图对翻到称的方

平和缩换方平移：把

f()

变为

f()

，

f()

在

x

的值和

f()

在x=0的值相等，只要两者取值相差

x

，则函数值相等，即相当把

f()

在轴方上移

x

个位到

f()

，

x

＞0，向右平移，x＜，向左平移．方平移：把

f()

在轴向平A个单变

f()A

．0向，0向．变换成yf()

就和x平的方法一样去理解．方伸缩：

f()

在

x

的值和

f(nx)

在

x

x

的值相等在方以原点为基准伸缩到原来的

倍，把

f()

的坐值缩

倍得

f(nx)

，＞缩小，0＜＜1放．方伸缩：把

f()

在y轴向上伸缩变成

nf(x

，n大0n＜缩．变换成

n

f(x

就和x方伸缩的方法一样去理解．

函

y

的象性（考考）要：住点最对、

、或周．

的性质：在A0，

＞0条下，所有的性质均可把

当一整，正函x的质解如求＞，＞0增区间：k－≤k，不等式即可．

的图象：x相于方上伸缩了倍1收缩；1伸长．经过平移伸缩后的零点位置

．两种变换方法：一是方向上先从原点平移到－然再伸缩了倍二是先伸缩，从原点平移到

．概念：周期T=

21，f，振幅：＞；相位：2

初相：三角恒等换知识点/

bx用量的数量积和两点间距离公式推导两bx

C

(

：

cos(

cos

sin

sin

方法：如下左图，在单位圆中α（－OA=β利用：OM=OB+BM=OAcosα+APsinαAP=sinβ（意，还要计算其它象限时，公式是否成立）方法：如上右图，在单位圆中用向量的概念。

OA(cos

OAcoscos

cos

sin

其

。从

C

(

出可推全其三恒变公。用量的数量积和两点间距离公式推导出两角差的余弦公式．cos(

sin

三函数的公式的正向和逆向思维，构造特殊组合sin(sin

cos

sin

cossincos(cos

sin

sin

tan(

tantantan

cos(sintantan(tan

sin

sin2sincos2cos2sin221

2

2

2

cos

1cos21cos221cossinsin2212222sin

；

sin222

121211coscos（辅角（名

xxa

2

2

tan2sina2

a

a2/

2

；

sin(

2

)cos(

2

)公的特点和使用方法熟最基本的公式：

cos(coscossin

，通过诱导公式推导其它的公式．正余弦交叉项多用正弦式，正弦余弦乘积项组合用余弦公式。半和倍角公式实现升次降次：

cos

2

sin

2

cos

2

2

2

．三恒等变换的解题方法基方法：目标化归、差分析法和边界检查。常方法：拆装与组合，元法、公式逆用（包方、方、角恒等式角代换．三恒等变换的主要考点给体角度求值：非特殊到特殊角度的转化．利半公实降或过量入角数，一数同的x后利辅角式求函值域利函的质解数解三角形

知识点正弦定：

abABABsin

(k

或

ksin

，

，/

jAC2222222bcksinjAC2222222b三元，边角边对，道个素2角3边）的个解角．几法证明：做三角形的用正弦的概念，分锐角和钝角三角形证明．向法证明：利用AB

，然后利用垂直的单位向量的数量积的证明．过点A作，∴jjABcoscsinC，同理推导其它边角，类似推出钝角三角形．余定：

ca2abcosC或a22bcA或b2

2

22a2或cos或cos2acab

2三元，知个或边夹，解角。三形弦负

钝三形注后为、、应三形状利向量法证明：如图设C

，CA

，AB

，那么c

，则

c

2

a

2

，得到：

c

2a

C三形等明解三形系SSS对余弦定理．ASA和AAS对正弦定理．三形元素中3个素出它元素．能证明全等，右图已知A，b和a，根据a的度不同在无解和个解情条件与b的关系．即：A