计算题题型练（四）（解析版）

计算题题型练（四）2022年北京冬奥会“跳台滑雪”比赛项目在首钢滑雪大跳台（图甲）举行，跳台滑雪线路由助滑道、起跳区、着陆坡和停止区构成。其中助滑道和起跳后的运动轨迹（图中虚线）可简化为如图乙所示，助滑道由长为L、倾角为θ的斜坡AB和弧形滑道BCD构成，AB和BCD在B处相切。总质量为m的运动员（可视为质点）和滑雪板从A端无初速度下滑，沿助滑道滑至D端起跳。起跳后，在运动员从最高点E斜向下飞行过程中利用频闪照相机记录下运动员运动过程中的三张照片如图丙所示（运动员可以视为质点）。已知运动员在倾角为θ的斜坡上滑动的加速度为a，运动员滑到D端时的速度为v，不计空气阻力，重力加速度为g。求：（1）滑雪板与AB间的动摩擦因数；（2）DE两点之间的高度。【解答】解：（1）运动员在斜坡上下滑过程，由牛顿第二定律得：mgsinθ﹣μmgcosθ＝ma解得动摩擦因数：μ=（2）运动员从最高点E斜向下飞行过程做平抛运动，设运动员在最高点E的水平速度为vE，频闪周期为T，水平方向：x＝vET竖直方向：h2﹣h1＝gT2解得：vE＝xg运动员从D到E过程，由动能定理得：﹣mgH=解得DE间的高度H=答：（1）滑雪板与AB间的动摩擦因数是gisnθ-agcosθ（2）DE两点之间的高度是v2如图所示，质量m＝3kg的小物块以初速度v0＝4m/s水平向右抛出，恰好从A点沿着圆弧的切线方向进入圆弧轨道，圆弧轨道的半径为R＝3.75m，B点是圆弧轨道的最低点，圆弧轨道与水平轨道BD平滑连接，A与圆心O的连线与竖直方向成37°角。MN是一段粗糙的水平轨道，小物块与MN间的动摩擦因数μ＝0.1，轨道其他部分光滑。最右侧是一个半径为r＝0.4m的半圆弧轨道，C点是圆弧轨道的最高点，半圆弧轨道与水平轨道BD在D点平滑连接。已知重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。（1）求小物块的抛出点离A点的竖直高度h；（2）若MN的长度为L＝6m，求小物块通过C点时所受轨道的弹力FN；（3）若小物块恰好能通过C点，求MN的长度L'。【解答】解：（1）根据平抛运动规律有：tan解得：t＝0.3s则竖直高度为：h（2）小物块的抛出点运到B点：根据动能定理有：mg[解得：v小物块由B点运动到C点，根据动能定理有：-在C点：F联立解得：FN＝60N（3）小物块刚好能通过C点时，则有：mg=解得：v'C＝2m/s小物块从B点运动到C点的过程中，根据动能定理有：-解得：L'＝10m答：（1）小物块的抛出点离A点的竖直高度h为0.45m；（2）若MN的长度为L＝6m，物块通过C点时所受轨道的弹力FN为60N；（3）若小物块恰好能通过C点，MN的长度L'为10m。如图，斜面、水平面和半径为L的半圆柱面分别在AA′、EE′处平滑连接，水平面上CC′和DD′之间有宽度为L、竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现将边长为L、质量为m、电阻为R的匀质正方形线框abcd自斜面上静止释放，穿过磁场区域后，上升到半圆柱面上最大高度时线框平面恰好在竖直面内。线框与各接触面间摩擦不计，重力加速度为g。求：（1）第一次离开磁场时线框的速度；（2）第一次即将离开磁场时，线框cd边中电流的大小、方向及cd两端的电压；（3）若线框在穿过磁场过程中其速度随位移变化满足v＝v0-142gLx，v0为线框进入有界磁场的初速度，v为线框在磁场中位移为【解答】解：（1）设线框第一次离开磁场时线框的速度大小为v1，由题意，根据几何关系可知线框上升到半圆柱面上最大高度时，其重心上升高度为L，根据机械能守恒定律得：mgL=解得：v1（2）线框第一次即将离开磁场时，产生的感应电动势大小为E线框cd边中电流的大小为I根据右手定则可知电流方向为c→d，所以d点电势高于c点电势，根据闭合电路欧姆定律可知cd两端的电压为U（3）根据题意可知，线框每次完全通过磁场区域，速度的减小量为Δv=线框在磁场区域之外运动过程中，机械能始终守恒，所以线框在第一次穿过磁场后，还能恰好两次完全通过磁场区域，所以线框停下时cd边位于DD′。答：（1）第一次离开磁场时线框的速度为BL2gL（2）第一次即将离开磁场时，线框cd边中电流的大小、方向及cd两端的电压为-3（3）能停下，线框停下时cd边所在的位置为DD'。如图为研究光电效应的装置示意图，该装置可用于分析光子的信息。在xOy平面（纸面）内，垂直纸面的金属薄板M、N与y轴平行放置，板N中间有一小孔O。有一由x轴、y轴和以O为圆心、圆心角为90°的半径不同的两条圆弧所围的区域Ⅰ，整个区域Ⅰ内存在大小可调、方向垂直纸面向里的匀强电场和磁感应强度大小恒为B1、磁感线与圆弧平行且逆时针方向的磁场。区域Ⅰ右侧还有一左边界与y轴平行且相距为l、下边界与x轴重合的匀强磁场区域Ⅱ，其宽度为a，长度足够长，其中的磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小可调。光电子从板M逸出后经极板间电压U加速（板间电场视为匀强电场），调节区域Ⅰ的电场强度和区域Ⅱ的磁感应强度，使电子恰好打在坐标为（a+2l，0）的点上，被置于该处的探测器接收。已知电子质量为m、电荷量为e，板M的逸出功为W0，普朗克常量为h。忽略电子的重力及电子间的作用力。当频率为ν的光照射板M时有光电子逸出。（1）求逸出光电子的最大初动能Ekm，并求光电子从O点射入区域Ⅰ时的速度v0的大小范围；（2）若区域Ⅰ的电场强度大小E=B13eUm，区域Ⅱ的磁感应强度大小B2=emUea，求被探测到的电子刚从板M逸出时速度v（3）为了使从O点以各种大小和方向的速度射向区域Ⅰ的电子都能被探测到，需要调节区域Ⅰ的电场强度E和区域Ⅱ的磁感应强度B2，求E的最大值和B2的最大值。【解答】解：（1）光电效应方程，逸出光电子的最大初动能Ekm＝hν﹣W0则有：12mv02=Ek+eU：（0≤解得：2eUm≤v（2）光电子由O进入第一象限，在区域Ⅰ（速度选择器）中受力平衡有：ev0B1＝eE解得：v0=根据动能定理有：eU=vM=光电子由O到探测器的轨迹如图所示，由几何关系可知：rsinα=光电子区域Ⅱ中做匀速圆周运动有：ev0B2＝mvvMsinβ＝v0sinα联立解得：β＝30°（3）由上述表达式ev0B1＝eE，可得：Emax＝B12(结合在区域Ⅱ中：r=mv0e可得：mv0e而v0sinα等于光电子在M板逸出时沿y轴的分速度，则有：12m（v0sinα）2≤Ekm＝hν﹣W可得：