小学奥数讲义6年级-立体图形与旋转体综合-难版

第6立体图形与旋转体综合知梳在小学阶段，我们除了学习平面图形外，还认识了一些简单的立体图形，如长方体、正方体（立方体圆体，直锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式，归纳如下．见下图．在数学竞赛中，有许多几何趣题，解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计，把形象思维和抽象思维结合起来。典例【1】一圆体面长高等．果缩短2厘，表积减12.56平厘．这圆体表积

【析一个圆柱体底面周长和高相等明圆柱体侧面展开是一个正方形题关键在于求出底周长．根据条件：高缩短厘米，表面积就减少12.56平方厘米，用右图表示，从图中不难看出阴影部分就是圆柱体表面积减少部分，值是12.56平厘米，所以底面周长C＝12.56÷＝6.28（厘米个问题解决了，其它问题也就迎刃而解了．解过：面周长（也是圆柱体的高÷＝6.28（厘米侧面积：6.28×＝（平方厘米）两个底面积（取＝表面积：39.4384＋＝（方厘米）【2★如1，ABCD是角形(位厘，，（）AB为轴将形这轴转周得一个转，的积多?（）果CD为轴并梯绕个旋一，得的转体是少?【解析）如图2所，所求积可看作绕AB的转体与绕AB的旋转体之和，即

(立厘米)．（）图3所，所求体积可看作ABCE的旋转体与△绕EC的转体之差，即32

2

(立方厘米．【试刀05年华庚杯一直三形条的长是3，45如以长4为旋一，到个体求个体体．对例）【解析】以长为4的角边为旋转得到的立体也是圆锥，底面半径是3，圆锥的体积公式得：

V

【3★★个谷上是锥下是柱（如图圆柱底周是9.42米高米，锥高米．这个囤体是少方？【析按一般的计算方先分别求出锥、柱的体积再把它们合并在一起求出总体积我们仔细想一想，如果把圆锥形的稻谷铺平，把它变成圆柱体，这时圆柱的高等于

0.6

（米）那么原来两个形体变成一个圆柱体，高是0.2米．这样求出变化后直圆柱的体积就可以了．圆锥体化为圆柱体的高：0.2底面积：体积：7.065×2＋）＝15.543立方米【4★皮掉一盛有的柱水中皮的径12厘，桶面径为60厘．球2/3的体积在中下．皮球进中，桶水升多少米【析球掉进水中后排挤出一部分水，使水面升高．这部分水的体积的小等于皮球浸在水中部分的体积，再用这个体积除以圆柱形水桶底面积，就得到水面升高的高度．球的体积：

水桶的底面积：π×30＝π平方厘米【5】★图示一棱厘的方从方的面内去个大圆锥，剩的积原方的分几（留位数．【解析直圆锥底面直径是正方的棱长与棱长相等剩下体积等于原正方体体积减去直圆锥体积．正方体体积6＝（方厘米）剩下体积占正方体的百分之几56.52）÷≈0.738≈73.8％答：剩下体积占正方体体积的73.8【6★有个柱的零，10厘米底直是6厘米零的端一圆柱的孔如图圆的径4厘，深5厘米如将个件触气分涂防漆一需多平厘？【析题时，既要注意圆柱体的外表面积，又要注意圆孔内的表面，同还要注意到零件的底面是圆环于打孔的深度与柱体的长度不相同以在孔内还要有一个小圆的底

面需要涂油漆这点不能忽略但是们可以把小圆的底面与圆环拼成一个圆，即原圆柱体的底面．【析涂漆面积：＝3.14×（＋＋）＝3.14×＝307.72（方厘米答：涂油漆面积是307．平方米．【例7★★一圆体零，高0米底直是6厘，零的端一圆形圆，孔直是厘，深厘米(右)如将个零接空的分上锈，么共涂少方米【解析】涂漆的面积等于大圆柱表面积与小圆柱侧面积之和，为π)

2098π

(平厘米．【试刀(四希杯2试试题圆体侧面开放，边分为10厘米12厘米的方，么个柱的积________方米(果表)【解析】当圆柱的高是12厘米体积为

300ππ

(立方厘米当圆柱的高是12厘米体积为π

360ππ

(立方厘米以圆柱体的体积为立方厘米或

立方厘米．【例8★★一高是8米的柱，水方锯2厘米，下圆体的面积原的柱表积少2.56方米原的柱的积多少方米【解析水方向锯去2厘后下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少的部

分为减掉的2厘圆柱体的侧面积，所以原来圆柱体的底面周长2.566.28厘，底面半径为6.283.14厘，所以原来的圆柱体的体积是π

(立方厘米．【试刀一圆体面长高等如高短4米表积减0.24平方厘．这圆体表积多？【解析】圆柱体底面周长和高相等，说明圆柱体侧面展开是一个正方形．高缩4米，表面积就减少平厘米．阴影部分的面积为圆柱体表面积减少部分，值是50.24平厘米以面周长是12.56(厘米)面是12.56(平方厘)，两个底面积是：25.12(平方)．所以表面积为：(方厘米)．【9★如，圆形器装3升，面度正是锥度一，个器还装少?【解析】设圆锥容器的底面半径为r

，则水面半径为

r1，容器的容积为：r3

，水的体积为：

r)

2

13

2

说明容器可以装8份3升水，故能装水×(81)=21(．课作在长4厘的方木的个中打一边正体边行洞洞是长1厘的方，深1米如下）求洞木的面和积

【解析】提示正方体的边长为4厘，挖去的小正方体边长为1厘说大正方体木块没被挖通，因此，每挖去一个小正方体木块，大正方体的表面积增加“小洞内”个侧面积．6个洞内新增加面积的总和：1×××＝（方厘米），原正方体表面积4×＝（方厘米），挖洞后木块表面积：＋＝（平方厘米），体积：－×＝（方厘米．答：挖洞后的表面积是120平厘米，体积是58立方厘米(2008年二两四”罗金”少数精邀赛一圆体状的棒沿底直竖切两分已这部的面之比柱体表积008cm，则个柱木的面是cm2．π取3.14)【解析】根据题意可知，切就两个长方形纵切面．设圆柱体底面半径为r，为，么切成的两部分原来的圆柱题表面积大：r2008(cm)，以r)，所以，圆柱体侧面积为：3.145022．3.大中小个方形水都有

缸，们内长别4分、3分、分．两碎分沉在、水的中两水的面分升了4厘和11厘．果这堆石沉在水中大缸水将高多厘？【解】两堆碎石的体积之和：3分米30厘，分米20厘，30×＋×11＝800