实验一MATLAB计算留数和积分

22实验一MATLAB计算留数和积分实验类型：验证性实验类别：基础实验实验学时数：2学时实验目的1、熟悉MATLAB基本命令与操作；2、掌握MATLAB计算留数；3、掌握MATLAB计算封闭曲线上的复积分.实验内容MATLAB基本命令与实际操作MATLAB基本命令1、在MATLAB中求函数的留数的方法较简单，如果已知奇点z0和重数加，则可用下面的MATLAB语句求出相应的留数.R=limit(f*(z-z0),z,z0) %简单极点R=limit(diff(f*(z-z0)Amzm-1)/prod(1:m-1);z,z0) %m阶极点2、在MATLAB中用函数Residue,可以计算有理函数的留数.调用格式如下：格式：[R,P,K]=residue(B,A)说明：向量B为f(z)的分子系数；向量A为f(z)的分母系数；向量R为留数；向量P为极点位置;向量k为直接项:实验要求1、学生在实验操作过程中自己动手独立完成，1人为1组。2、完成实验报告：按照试验的每个题目的具体要求完成实验仪器、设备计算机(安装Windows98、Windows2000或WindowsXP或以上)实验课承担单位：信息与计算实验室求孤立奇点处的留数利用留数定理计算闭合路径的积分求孤立奇点处的留数用下面MATLAB语句求函数的留数.当z是简单极点时，用MATLAB语句R=limit(f*(z-z0),z,z0)求函数的留数;0当z是m阶极点时，用MATLAB语句0R=limit(diff(f*(z-z0)Amzm-1)/prod(1:m-1);z,z0)求函数的留数.1 .nf(z)= sin(z+一)e-2n例1试求函数 z3(z-1) 3 的孤立奇点处的留数.【解】分析原函攵可知：z=0是三阶极点，z=1是简单极点，因此可以直接使用下面的MATLAB语句分别求出这两个奇点的留数.【Matlab源程序】symszf=sin(z+pi/3)*exp(-2*z)/(zA3*(z-1))R=limit(diff(f*zA3,z,2)/prod(1:2),z,0)%仿真结果为：R=-1/4*3八(1/2)+1/2;limit(f*(z-1),z,1)%仿真结果为：r=1/2*exp(-2)*sin(1)+1/2*exp(-2)*cos(1)*3A(1/2).z Z 兀练习题1求函数/(z)= z 在Z=—和Z=2处的留数.(z-2)2cosz 2%结果为：R=-2*pi/(piA2-8*pi+16)R=(cos(2)+2*sin(2))/cos(2)A2对于有理函数的留数计算，在MATLAB中用函数Residue.调用格式如下：格式：[R,PK]=residue(B,A)说明：向量B为f(z)的分子系数；向量A为f(z)的分母系数；向量R为留数；向量P为极点位置；向量k为直接项：直接项是指有理分式f(z)=B(z)/A(z)的展开式中的K(z)，即为没有奇点的项,例如下式：…B(z) Q(1), Q(2), . Q(n)f(z)= = + + + +K(z)A(z)z—P(1)z—P(2) z—P(n)z2+1例2求函数一在奇点处的留数.【解】【Matlab源程序】[R,P,K]=residue([1,0,1],[1,1])%结果为：R=2P= -1K=1-1z_z2+1练习题2求函数f(z)—(z-1)(z-3)在奇点处的留数.【解】【Matlab源程序】[R,P,K]=residue([1,-1,0,1],[1,-4,3])%结果为：R=9.5000-0.5000P=31K=131.2利用留数定理计算闭合路径的积分对闭合路径的积分，先计算闭区域内各孤立奇点的留数，再利用留数定理可得积分值．留数定理：设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点z,z2,,z外处处解12n析，C为D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，贝U••・Jf(z)dz―2ni^Resf(z),z]C k=1 k例3计算积分J后―z+1dz，其中C是正向圆周z—2.Cz-1【解】先求被积函数的留数O【Matlab源程序】[R,P,K]=residue([2,-1，1],[1,-1])%结果为：R=2P=1K=2可见在圆周|q二2内有一个极点，所以积分值等于-S=2nisum(R)S=2*pi*i*2%结果为s=0+12.5664i故原积分J222一工+1d工=2兀isum(R)=4兀i.cz-1练习题3计算积分J三出dz的值.1=1z2-1J 1 dz..,.例4计算积分J|zi=2陇+i)10(z-1)(z-3)z的值.【解】【Matlab源程序】clearsymstzz=2*cos(t)+i*2*sin(t);f=1/(z+i)八10/(z-1)/(z-3);inc=int(f*diff(z),t,0,2*pi)%结果为inc=779/78125000*i*pi+237/312500000*pi%若只输出6位有效数值，使用语句vpa(inc,6)%结果为ans=.238258e-5+.313254e-4*i.例5计算积分J乙dz其中C是从1到i的直线段.C【解】【Matlab源程序】clearsymstzz=1-t+it;f=conj(z);inc=int(f*diff(z),t,0,1)%结果为inc=i.研口工、金八1 z15 出…士练习题4计算积分J|j=2(z2+1)2(z4+