分类汇编等腰直角三角形

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新课第一不用册，费下载！2013中考全国100份试卷分类汇编等腰直角三角形•州）将一个有45角三角板的直顶点放在一张宽为3cm的带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30角图则三角板的最大边的长为（）A．

B．

C．

cmD．考点含30度的直角三角形；等腰直角三角形．分析过另一个顶点作线如图，可得直角三角形，根据角三角形中30角对的边等于斜边的一半，可求出有°角三角板的直角直角边，再等腰直角三角形求出最大边．解答解：过点作CD⊥，∴CD=3，在直角三角形中∵∠CAD=30，∴AC=2CD=2×，又三角板是有°角三角板，∴，∴BC=AB+AC=6=72∴BC=6，故选：D点评此题考查的知识点是含角直角三形及等腰直角三角形问题，关键是先由求得直角边，再由勾股定理求出最大边．•内已，如图eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)都等腰直角三角形∠DCE=90，D为边一点．求证BD=AE考点全等三角形的判定与性质等腰直角三角形．专题证明题．分析根据等腰直角三角形的性可得，CD=CE再根据同角的余角相等求出

新课第一不用册，费下载！∠ACE=然利“边”eq\o\ac(△,)ACEeq\o\ac(△,)BCD等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明．解答证明：∵△ABCeq\o\ac(△,)是等腰直角三角形，∴AC=BC，，∵∠∠°∴∠∠ACD=∠ACD∴∠∠，在ACE和中，∴△ACE≌△（SAS∴．点评本题考查了全等三角形的定与性质，等腰直角三角形的性质，以及等角的余角相等的性质，熟记各性质是解题的关键．常德压轴题两共一个顶点的等腰eq\o\ac(△,)ABCABC=∠CEF=90，连接，M是的中点，连接MB、ME．（1如图，当CB与在同一直线上时，求证MB∥；（2如图，若CB=a，，，ME的；（3如图，当∠°时，求证BM=ME考点三角形中位线定理；全等角形的判定与性质；等腰直角三角形．分析（1）证法一：如答图1a所，延长交CF于D，证明BM为ADF的位线即可；证法二：如答图所示，延长交于D，根据在同一平面内，垂直于一直线的两直线互相平行可得ABEF，再根据两直线平，内错角相等可得∠BAM=∠，根据中点定义可得，然后利“角边角”证eq\o\ac(△,)ABM和FDM全，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF然后求出BE=DE，从而得到是腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出EBM=45，而得到∠EBM=，再根据同位角相等，两直线平行证明∥CF可，（2解法一：如答图所示，作辅助线，推出、ME是两条中位线；解法二：先求出的，再根据全等三角形对应边相等可得，据等腰三角形三线合一的性质可得EM⊥BD，求eq\o\ac(△,)BEM是腰直角角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可；（3证法一：如答图所示，作辅助线，推出BMME是条中位线：，

新课第一不用册，费下载！ME=AG；后证eq\o\ac(△,)ACG△DCF，得到，而明BM=ME；证法二：如答图所示，延长BM交D，连接、，利用同旁内角互补，两直线平行求出AB∥，再根据两直线平行，内错角相等求出∠，根据中点定义可得，后利用角角证eq\o\ac(△,)ABMeq\o\ac(△,)FDM全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF，，根“边角边证eq\o\ac(△,)BCEeq\o\ac(△,)DFE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DE全等三角形对应相等可得∠∠，然后求出∠CEF=90，根据等腰直角三角形的性证明即可．解答（1）证法一：如答图，延长AB交于D，易eq\o\ac(△,)ABC与BCD均等腰直角三角形，∴AB=BC=BD∴点为线段AD的点，又∵点M线段AF的点∴BM为ADF的位线，∴BM∥．证法二：如答图，延长BM交于D，∵∠ABC=∠CEF=90，XKb1.Co∴ABCE，EF⊥CE∴AB，∴∠∠，∵M是AF的点，∴AM=MF∵在ABM和FDM中，∴△ABM≌△FDM（

新课第一不用册，费下载！∴AB=DF∵﹣BC，DE=EF﹣DF，∴，∴△BDE是腰直角三角形，∴∠EBM=45，∵在等腰直eq\o\ac(△,)CEF中∠ECF=45，∴∠EBM=ECF∴MB∥；（2解法一：如答图所延AB交CF于点D则eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)为腰直角三角形，∴，AC=AD=a∴点为AD中点，又点M为AF中，∴BM=DF．分别延长与CA交点G则易eq\o\ac(△,)CEFeq\o\ac(△,)均等腰直角三角形∴CE=EF=GE=2a，CG=CF=a∴点为FG中点，又点M为AF中，∴AG．∵CG=CF=∴AG=DF=

aa

a∴BM=ME=×

a=a．解法二：∵，∴﹣CB=2a，∵△≌△FDM，∴BM=DM又∵△是腰直角角形，∴△等腰直角三角形，∴BM=ME=a（3证法一：如答图，长AB交CE于D，连接，则易eq\o\ac(△,)ABC与BCD均等腰直角

三角形，∴AB=BC=BDAC=CD，

课

标

新课第一不用册，费下载！第一网∴点为AD中点，又点M为AF中，∴BM=．延长交点，接AG则易eq\o\ac(△,)CEF与CEG均为等腰直角三角形，∴CE=EF=EG，∴点为FG中点，又点M为AF中，∴ME=AG在与DCF中，∴△ACG≌△（SAS∴DF=AG，∴BM=ME．证法二：如答图，延长BM交于D，连接、，∵∠BCE=45，∴∠ACD=452+45°∴∠BAC+∠°=180，∴ABCF，∴∠∠，∴M是AF的点，∴AM=FM

在ABMeq\o\ac(△,)FDM中，∴△≌△FDM（ASA∴AB=DF，∴AB=BC=DF，∵在eq\o\ac(△,)中，∴△BCE≌△DFE（SAS

新课第一不用册，费下载！，∴，∠∠，

---第-一-∴∠∠BEC+∠DEF+∠∠CEF=90，∴△BDE是腰直角三角形，又∵，∴BM=ME=BD，故BM=ME．点评本题考查了三角形中位线理、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出中位线全三形和等腰直角三角形是解题的关键也本题的难点．湖）一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图，已知在RtABC，AB=BC，∠，BO⊥AC，于点O，点分在AO和上，PB=PDDEAC点，求证eq\o\ac(△,)≌△．（1理清思路，完成解答（2）本题证明的思路可用下列框图示：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程．（2特殊位置，证明结论若平∠，其余条件不变．求证AP=CD．（3知识迁移，探索新知

新课第一不用册，费下载！若点是个动点，点P运到的点P′，满足中条件的点D也之在直线上运动到点D，请直接写出CD′与AP的数量关系必写解答过）考点全等三角形的判定与性质分析（1）求出∠∠4，∠∠°，据AASeq\o\ac(△,)≌PDE即可；（2求出ABP=∠，eq\o\ac(△,)≌△，即可得出案；（3设，出AP=3xCD=x即可得出答案．解答（1）证明：PB=PD∴∠∠，∵，ABC=90，∴∠C=45，∵⊥AC∴∠1=45，∴∠∠C=45，∵∠∠﹣∠，∠∠2﹣C，∴∠∠4，∵⊥ACDE⊥AC∴∠∠，在BPOeq\o\ac(△,)PDE中∴△BPO（AAS（2证明：由（1可得：∠3=∠4，∵BP平∠ABO，∴∠∠，∴∠∠，在ABPeq\o\ac(△,)中∴△ABP≌△CPDAAS∴．（3解：′与′数量关系是′=理由是：设OP=PC=x则AO=OC=2x=BO，