2022届高三数学解三角形应用举例巩固与练习

稳固1．2022年江南十校质检在三角形ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则错误!的值为解析：选A由余弦定理可得25＋AC2－10AC·co120＝°49?AC＝3，由正弦定理得错误!＝错误!＝错误!，应选A2．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长是解析：＝错误!，得b＝错误!＝错误!＝错误!，∵B角最小，∴最短边是b3．某人在C点测得塔顶A为南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为A．15米C．10米

B．5米D．12米解析：选C如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝错误!h，在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，由余弦定理得：OD2＝OC2＋CD2－2OC·CDco∠OCD，即错误!h2＝h2＋102－2h×10×co120，°∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5舍．4．在△ABC中，设命题ie/h、15nmie/h，则下午2时两船之间的距离是________nmie解析：如图，由题意可得OA＝50，OB＝30而AB2＝OA2＋OB2－2OA·OBco120°＝502＋302－2×50×30×－错误!2500＋900＋1500＝4900，AB＝70答案：706．2022年高考宁夏海南卷如图，为认识某海疆海底结构，在海平面内一条直线上的A、B、C三点进行测量．已知AB＝50m，BC＝120m，于A处测得水深AD＝80m，于B处测得水深BE＝200m，于C处测得水深CF＝110m，求∠DEF的余弦值．解：如图作DM∥AC交BE于N，交CF于M解：如图作DM∥AC交BE于N，交CF于MDF＝错误!＝错误!＝10错误!m，DE＝错误!＝错误!＝130m，EF＝错误!＝错误!＝150m．在△DEF中，由余弦定理的变形公式，得co∠DEF＝错误!＝错误!＝错误!练习1．如果在测量中，某渠道斜坡的坡度为错误!，设α为坡角，那么coα等于解析：α＝错误!，所以coα＝错误!2．在△ABC中，角A，B均为锐角，且coA>inB，则△ABC的形状是A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形解析：选＝in错误!－A>inB，错误!－A，B都是锐角，则错误!－A>B，A＋B错误!3．如图，若Rt△ABC的斜边AB＝2，内切圆的半径为r，则r的最大值为B．1－1解析：选D∵r＝错误!＝错误!－1，∵4＝a2＋b2≥错误!，∴a＋b2≤8∴a＋b≤2错误!，∴r≤错误!－4．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰巧与它在一条直线上，持续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时A．5海里B．5错误!海里C．10海里D．10!海里错误解析：选C如图，依题意有∠BAC=60°，∠BAD=75°，所以∠CAD=∠CDA=15°，进而CD=CA=10，在直角三角形ABC中，得AB=5，于是这艘船的速度是错误!=10海里/小时．5．如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立刻前往营救，同时把消息见告在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，乙船立刻朝北偏东θ角的方向沿直线前往B处救援，则inθ的值等于解析：选D根据题目条件可作图如图：在△ABC中，AB＝20，AC＝10，∠CAB＝120°，由余弦定理有BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABco∠CAB202＋102－2×20×10co120°700，BC＝10错误!，再由正弦定理得错误!＝错误!，in∠ACB＝错误!＝错误!＝错误!，co∠ACB＝错误!所以inθ＝in30＋°∠ACBin30co°∠ACB＋co30in°∠ACB错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!6一船自西向东航行，上午10时抵达灯塔15km解析：如图，依题意有AB＝15×4＝60，MAB＝30°，∠AMB＝45°，在△AMB中，由正弦定理得错误!＝错误!，解得BM＝30错误!m．答案：30错误!10．2022年高考山东卷已知函数f＝2inco2错误!＋coinφ－in0a，所以B＝错误!或B＝错误!当B＝错误!时，C＝π－A－B＝π－错误!错误!＝错误!，当B＝错误!时，C＝π－A－B＝π－错误!－错误!＝错误!综上所述，C＝错误!或C＝错误!11．某观察站在城A南偏西20°方向的C处，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路距C31千米的B处有一人正沿公路向城A走去，走了20千米后抵达D处，此时CD间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可抵达城A解：如下图，设∠ACD=α，∠CDB=β在△CBD中．由余弦定理得coβ＝错误!＝错误!＝－错误!，inβ＝错误!而inα＝inβ－60°＝inβco60－°in60co°β＝错误!·错误!＋错误!·错误!＝错误!在△ACD中，错误!＝错误!，∴AD＝错误!＝15千米．所以这人再走15千米才可到城A12．如下图，甲船由A岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行，速度为15错误!海里/小时，在甲船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40海里处的B岛出发，朝北偏东θtanθ＝错误!的方向作匀速直线航行，速度为10错误!海里/小时．1求出发后3小时两船相距多少海里求两船出发后多长时间距离最近最近距离为多少海里两船在航行中可否相遇，试说明原因．解：以A为原点，BA所在直线为轴成立如下图的平面直角坐标系．设在t时刻甲、乙两船分别在P1，1、Q2，2处．则错误!由tanθ＝错误!可得，coθ＝错误!，inθ＝错误!，故错误!令t＝3，P、Q两点的坐标分别为45,45，30,20，|PQ|＝错误!＝错误!＝5错误!即出发后3小时两船相距5