巨灾债券的定价与模拟讲解

1前言1.1选题背景近年来，随着经济、人口、气候以及城市化等的影响，全球巨型自然灾害频发，不仅给各国人民带来数以万计的伤亡，更是带来数以亿计的直接经济损失。而各国经济的相互融合，使全球的巨灾形势更加复杂，造成的经济损失也愈加广泛。因此，巨灾在全世界范围内逐渐受到重视。根据瑞士再保险公司Sigma杂志图1-1图1-1近十年全巨灾损失统计图从上图中可以得出，进十年来（除去2006年）全球巨灾所造成的损失平均每年约为1640亿美元，而保险公司平均每年承受的索赔额高达490多亿美元。由此可见，巨灾损失形式非常严峻，我们不得不承认，人类已经进入了巨灾时代，而如何更好地转移巨灾风险已经成为当今学术界的主流话题。从上世纪80年代起，西方国家积极尝试将巨灾风险进行转移，研究了很多相关方法并加以尝试，下图是近十年来保险损失额占总损失额的百分比：索赔额所占比重50.009^15.00%4-5.00^40.00^4图1-1近十年巨灾索赔额所占百分比统计图20.005«50.009^15.00%4-5.00^40.00^4图1-1近十年巨灾索赔额所占百分比统计图20.005«10.0054由上图可以看出，保险公司每年索赔额损失所占比重无明显变化，这证明现阶段巨灾风险转移策略还有待改进。而经过学术界许多前辈孜孜不倦的努力，已经为我们更深一步地研究铺平了道路。1.2巨灾的定义目前，在国内外对巨灾的定义尚有争议，但鉴于本文研究的对象，在这里，本文综合各家说法，给出巨灾的定义，但仅在此文中有效。在这里，通过总结历年来巨灾发生情况以及相关研究动态［19］，综合给出一个巨灾的定义：巨灾是指那些一旦发生，就会造成巨大的金额损失、严重威胁人民生命和财产安全并能够对一国财政的收支与政治经济稳定造成极大冲击力的小概率灾难性事件，具有突发性、无法预料、无法规避的性质。比如地震、海啸、飓风、恐怖主义等。1.3研究意义要想深入研究巨灾债券，不得不先了解一些保险证劵化的知识。由于巨灾发生的偶然性、不可预料性，使得对巨灾的防治处于一种无计可施的境地。然而巨灾一旦发生，就一定会给人类社会带来各种各样的负面影响，严重的人员伤亡，巨大的财产损失，甚至更有可能引起一定的社会动荡，巨灾的影响实在是不容忽视。经典保险机制已经不再适合解决极端自然灾害所造成的损失。对于许多保险公司来说，它的储备金甚至不足以应对一场毁灭性灾难，这就有可能会导致其破产。例如，飓风Andrew曾导致60多个保险公司破产。传统的保险模型声称风险是独立的，且风险与整个保险投资组合的价值几乎是没有关联的。将保险与投资组合相连接，这个战略性抉择依据是大数定律和中心极限定理。然而，灾难性的风险意味着需要新的途径去构建保险公司的投资组合。由于自然灾害造成的损失都是强烈依赖时间和地点，传统的投资组合建立策略只会增加保险公司破产的概率。像马克思所说的一样，人总是会在实践中进步，为了更好的应对巨灾，早在20世纪90年代，就已经出现了一种全新的应对巨灾风险的策略—巨灾风险证券化。经过不断的实践证明，巨灾风险证劵化具有巨灾风险基金以及巨灾保险无可比拟的优势。其一，超脱于一般巨灾保险的特点，使其发展推广的可能无限加大，解决了保险市场承保容量不足的缺陷，使保险公司得以更广泛地进行业务扩展而不用再担心面对巨额的承保损失，过去的国际再保险体系得以免于偿付性能力危机。其二，相比于巨灾风险基金难于操作实施的现实性，不同于其设立、运行以及监管的较复杂性，巨灾风险证券化则相对要简单的事多，其易操作性得到广大保险公司的垂青。其三是当其违约险与金融市场变化无关时，与传统再保险相比，像巨灾债券这类保险连结证券有着一些独到的优势，不仅能够降低信用风险、化解对象风险，还能增加承保能力、稳定再保险市场价格等一系列作用。巨灾风险证券化在近十几年来得到快速发展，愈加繁多的风险证券化产品大大缓解了当今世界巨灾风险聚集和承保能力不足的窘境。而与其他巨灾风险证券化产品相比而言，巨灾债券具有明显的优势，那就是不仅有效地扩大了再保险公司的承保能力，还为投资者分散了投资风险、增加了投资机会。我们都知道，由于债券独特性质，使得其在保险公司里占据着无可比拟的地位，这从一定程度上可以解释为什么巨灾债券能够在众多巨灾风险证券化产品中脱颖而出。巨灾债券的良好性质注定了其在将来债券市场上的巨大发展空间。1.4巨灾及巨灾债券对我国的影响我国地域广阔，人口众多。这是我国自然灾害频发的主要原因。而随着经济的不断发展，人口的急剧膨胀、城市化发展以及各种非科学活动使得环境污染日益严重。这是我国自然灾害频发的诱因之一。我国当前的水土流失面积从解放初期的116万平方公里增至现在的160多万平方公里，每年的土地流失量更是高达50亿吨。不仅导致了土地清贫、粮食减产，还使得大量泥沙入注河流，导致河床升高、河道阻塞以及蓄泄洪区淤积，从而导致洪涝灾害增多，减弱抗旱能力。由专业人士通过森林的生长率和采伐率进行对比分析，不断下降的森林覆盖率将会导致大量的自然灾害发生，更有人预计在一百年后我国将再无森林。而每年大约2000万亩的草原退化速度，将会增大未来水土流失以及风力侵蚀的危害。通过研究发现，从上世纪至今，我国将近承受了全球最严重的自然灾害的六分之一。我国广阔的国土面积及其特殊的地形决定了我国面临最主要的自然巨灾便是洪水和地震。据资料记载，在1998年发生的三江流域特大洪水造成经济损失高达2400多亿元的人民币。2008年全国性特大雪灾造成直接经济损失1516.5亿元人民币。而在2008年5月12日发生的四川汶川大地震震级高达8.0级，总共造成了近7万人遇难、38万人受伤，其直接经济损失高达8451亿元人民币，这是我国建国以来发生最严重的一次地震，给中国人民带来了沉痛一击。同年8月，攀枝花发生6.1级地震。而在2010年4月青海玉树发生了7.1级地震，次年云南盈江又发生了5.8级地震，直到2013年4月四川雅安再次发生7.0级地震，同年7月甘肃定西发生6.6级地震，2014年2月新疆于田发生7.3级地震。以上数据表明，近年来我国地震频发，有加重的趋势，这就迫使我们不得不寻求应对自然灾害的新途径、新方法。连年的巨灾多发不仅给全国人民带来巨大的生命安全危险和财产损失，还拖累国家财政，严重影响了我国可持续发展的方针，给国民经济造成了难以计数的损失，所以加大研究并实施将巨灾风险转移的策略已经迫在眉睫。从国际上来说，巨灾债券在很多西方国家都曾投入市场，积极开展了实战研究并取得一些良好的成果。而由于保险业在中国起步较晚，使得我国整体金融平台落后于西方发达国家，巨灾债券在我国还处于起步阶段。因此，一方面现在全球正处于巨灾高发期，我国又是世界占地第三大的国家，地理环境尤其复杂，巨灾多发，做好巨灾风险分散策略尤其重要。另一方面，开展对巨灾债券的进一步研究，有助于丰富我国的保险体系，加快我国金融界的发展，使之更快地达到国际水平，甚至是有利于推动我国经济发展。目前，我国正处于巨灾高发期，做好防灾减灾的工作，对于维护广大人民生命财产安全都十分有必要。巨灾债券作为一种巨灾风险分散转移的新工具，必将在未来大放异彩。然而，一方面，我国保险体系以及巨灾风险分散系统都不是很完备，这就大大限制的巨灾债券的推广、发展。另一方面，我们都知道，限制巨灾债券推广使用的一个重要因素就是其定价的合理性，而目前国际上巨灾债券的定价理论已经发展到了一个相当的高度，但这些定价理论都是在金融理论风险定价的固定框架下建立起来的。而在现实中，我们很难达到理论框架下那些“完美”的条件，这就导致理论上的定价模型无法运用到现实世界里。这就启发了我们的思维：是不是可以根据特定的金融、经济状况研究特定的、适合的定价理论？比如，根据我国国情制定符合我国发展需要的巨灾债券定价理论。1.5文献综述1.5.1巨灾债券理论研究文献综述在20世纪80年代初，由于巨灾风险造成严重损失，人们开始加大对风险和不确定性决策理论的研究力度，也是其高速发展地一个时期，经过前辈们的不懈努力，先后建立了对偶理论、期望效用理论和秩依效用理论。这些理论的创建在很大程度上推动了巨灾保险的发展。NeilA.Doherty(1997)将巨灾债券同传统的巨灾风险管理策略进行比较，发现它们在解决激励冲突问题上的相对效率有所差异。于是他认为，每一种金融工具都具有信用风险、基差风险和道德风险等不同形式的组合，我们很难找到一种策略在三个方面的绩效都占优势，然而因为巨灾债券的特点，颇受投资者的喜爱。而RichardW.Gorvett(1999)则认为可以将保险证券化产品看作是一种风险投资管理工具［1］。但是其并不能完全替代传统再保险，而只能作为对传统再保险的一种补充。KelmethA.Froot(1999)认为巨灾债券结构的合理性使其够成功发行最重要因素。他指出，风险转移金额的高低、自留损失比例大小以及触发条件的设置在巨灾债券的定价中都起着相当重要的用。在巨灾债券投放到市场运作几年之后，西方学者卡拉严诺普洛斯等(Carayannopoulosetal,2003)对风险证券化做出归纳整理后，认为巨灾债券拥有着广阔的前景，并对各个国家发展巨灾债券做出了创造性评估。Cummins(2006)对历年巨灾债券产品进行了分析总结，发现尽管累计有约120支巨灾债券产品发行交易，但其总的融资金额与全球再保险市场的资本量相比仍是微乎其微的。统计到2005年3月，巨灾债券的总融资金额约为100亿美元，然而同期全球再保险市场和美国财产保险市场的总资本金额分别为3500亿美元和4000亿美元。由此可见，尽管巨灾债券的发展潜力巨大，但就其目前发展来看，其作用却十分有限。Lee和Yu(2007)运用了未定权益分析的方法，在一篇与巨灾再保险估值和巨灾债券相关的文章中指出，虽然发行巨灾债券并不能完全规避基差风险，但其能够提高巨灾再保险的价值并降低违约风险的作用是毋庸置疑的。然而Finken和Laux(2009)更是独辟蹊径，他们从博弈的角度考虑分析了信息不对称对传统再保险和巨灾债券的影响，明确指出了巨灾债券是对传统再保险的一种补充，明确指出只有当基差风险可能带来的财务危机所造成的期望损失高于再保险保费用时，保险人发行巨灾债券才最有利。相对西方国家来说，虽然我国的经济和金融市场还不甚完善，也没有成型的巨灾债券发行，但我国对巨灾保险以及风险证券化的研究确是高度重视的。由于我国保险业起步较晚，金融市场也不够完善，相关理论研究跟国外相比还是有一定差距的，这里就不在赘述。1.5.2巨灾债券定价研究文献综述债券能够合理定价是推向市场进行发展的必要条件之一，然而像我们所熟知的那样，金融衍生品的定价一向是困难的，巨灾债券定价就更是研究的核心与难点之一。巨灾债券定价理论始于上世纪90年代中期，直到现在仍然处于发展之中。新的定价模型总是不断涌现，又很快被改进。尽管如此，国内外与巨灾债券及其定价相关的金融文献却并不是很多。有相当大一部分的论文主要在强调在对巨灾债券进行投资的优势，而关于其定价方法的描述，像在Andersonetal.(2000)和Froot(2001)里一样，都是一笔带过的。Froot(2001)提出的或然论模型有一定的局限性。BodoffandGan(2009)提出了一种经验主义分析数据的方法，将巨灾债券的发行价格表示为预期损失的线性函数。Kaietal.(2007)应用行为金融学的方法，旨在强调其在中国的实际应用潜力。Wang(2004)使用概率转换扩展夏普比率的概念对巨灾债券风险调整后的绩效进行评估。有些定价方法使用了随机过程与离散时间。CoxandPedersen(2000)提出了巨灾债券在离散时间代理均衡的框架下的定价方法。Reshetar(2008)也提出过类似的定价方法，将回报函数与两个不同类型的基础流程(灾难性的财产损失和灾难性的死亡率)联系起来。也有几种先进的连续时间模型。Baryshnikovetal.(1998)利用复合泊松过程将各种灾难过程的特点联系起来，其作者认为套利和“真实生活”的措施相一致，这可能被视它们方法里的一个败笔。Lane(1998)则从生产函数的思想中得到启发，运用精算定价理论框架提出了第一个真正意义上的实证模型一LFC模型，他还利用巨灾债券的实际价格数据对模型中的参数进行了估计。Cox&Pedersen(2000)的研究主要是假设在不完全市场的环境下，将巨灾风险概率结构和利率期限结构模型结合起来对巨灾债券的定价进行了深入研究［3］。之后,Lee&Yu(2002)假设巨灾经济损失拟合分布失服从泊松过程，在C-I-R利率结构的情况下，探究了基差风险和道德风险对巨灾债券价格的影响［4］。Vaugirard(2003)提出了一个非常重要、非常有趣的方法。作者开创了将套利方法应用于巨灾债券定价的先河［7］。与这里提到的其他估值方法一样，Vaugirard的方案主要解决将自然风险考虑在内不完全市场问题。此问题的研究大大推动了相关金融衍生品的定价研究和模糊框架理论的研究。Vaugirard用Merton方式克服了现存市场的不完全性和非贸易保险连接的潜在性。他认为，一个巨灾债券持有人被认为有一个短暂的机会去做出基于风险指数的选择。Linetal.(2008)应用一种类似于Vaugirard(2003)的方法，使用改良过的马尔科夫泊松过程来描述自然灾害的发生率。Vaugirard(2003)独辟蹊径，从套利定价的角度出发［5］，假设利率是随机的且标的物是不可交易的，并利用数值模拟的方法对巨灾债券的价格进行模拟和估计。Albrecheretal.(2004)应用双重随机复合泊松过程和QMC算法应用模拟索赔指数。随机变量描述索赔是独立的，并且把索赔报告的滞后纳入模型里。EgamiaandYoung(2008)提出了一种较为稳定的定价方法，该方被用于巨灾债券的结构化估值。Vaugirard(2004)则假设市场无套利，给出巨灾债券广义的定价公式，然后又通过数据模拟分析了标的参数变化时巨灾债券价格的敏感性问题。Wang(2004)则认为［6］，由于巨灾债券的收益率是偏斜的，故传统的适用于正态分布的夏普比率已经不能再用来衡量巨灾债券的风险调整绩效，他在给巨灾债券定价时，应用了双因素变换方法，提出了著名的Wang的两因素变换模型。之后，Christofides(2004)运用整体风险定价的框架，得到了更为简练的定价公式［7］。两年后，Unger(2006)根据当时市场的需要，研究了指数型巨灾债券的特点并运用控制容积有限差分模型对其进行了定价［8］。之后，MasahikoEgami&VirginiarYoung(2008)基于效用无差异定价理论的框架，对一种结构性巨灾债券进行定价［9］。NowakandRomaniuk(2009,2010)提出了一个以金融和保险工具为支撑的证券投资组合，他们假设巨灾债券支付函数具有简单的形式并且假定Vasicek或Hull-White模型的即期利率。而在NowakandRomaniuk(2010)中考虑了巨灾债券符合分段线性支付函数，并且即期利率满足MertonortheVasicek随机方程。Unger(2010)根据巨灾债券定价模型的特点，将百慕大可召回期权特征引进到了定价模型里，并对此分析了巨灾损失频率和程度对债券价格的敏感性。在Nowaketal.(2012)中提出了在Vasicek动态利率的假设下用分段支付函数对巨灾债券模拟定价。RobertAJaiTow(2010)提出了一个相对简单的稳健型定价模型［11］。但是对以上多数巨灾债券定价模型的研究进行分析之后就发现，这些研究大多都将重点放在条件假设与模型构建上，而很少是建立在实际数据的基础上，因此其真正使用价值是很难确定的。1.6本文主要研究方法资料调查方法。收集整理相关文献，了解前人对巨灾债券的研究现状，并对前人研究方法加以分析整合，为本文的进一步研究提供理论基础与借鉴。层次分析法。通过对收集的资料进行对比分析，归纳出影响巨灾债券潜在投资者的投资参考点形成相关因素。统计方法。通过对样本数据即巨灾损失数据进行分析,选择符合其特征的分布进行拟合。对比分析方法。对不同的模型进行优缺点的比较，明确每种模型良好适用的条件，并从其中归纳每种模型的优劣作为架构新模型的理论基础。规范分析和实证分析相结合的方法。一方面，借鉴前人的研究成果；另一方面对已有成果进行分析、改进，并用实际数据进行验证，切实做到规范分析和实证分析相结合。定性与定量相结合的方法。对一些定价理论和实证分析进行定性描述，同时，收集我国证券市场的相关数据，再利用这些理论对我国巨灾债券定价模型的构建进行定量研究。巨灾债券研究理论基础2.1巨灾债券的定义及其发展巨灾债券是巨灾风险分散转移证券化的一种典型方法，属于保险链接证券的一种。其基本原理是发行收益与指定巨灾损失相连结的债券，将巨灾保险现金流转化为流动的可交易证券，从资本市场筹集资金，从而将巨灾风险转移分散给债券投资者。在债券有效时间范围内，一旦巨灾发生，投资者就可能遭到较大损失，反过来，如果巨灾没有发生，则债券投资者可获得比银行利率收益高得多的收益。为了保证其易的合理性和公正性，需要通过专门的中间机构(SPRVS)来保证债券投资者能够获得合理的投资收益，同时巨灾发生时保险公司能够得到相应的补偿。巨灾债券始于上世纪90年代中期，1992年安德鲁飓风和1994年加州北岭地震让人们意思到传统再保险系统的不足。由此契机，巨灾债券得以诞生。十几年来，巨灾债券发展迅猛，本世纪以来，其发行规模和速度连年递增，已经是保险公司和再保险公司面对巨灾风险时的主流选择。巨灾债券也是目前为止规模最

大，推广最为成功的巨灾保险连接证券，是金融衍生工具对转移巨灾风险新的突破，也是对传统再保险的有力补充。图2-1近十年来全球巨灾债券发行统计图赌天弐?当塩主恃大自惑灾吾后.2口口花芙兄规權巨灾債券市顷收艺丟倾向上汩底爭圧i计算巨宓债步平均图2-1近十年来全球巨灾债券发行统计图赌天弐?当塩主恃大自惑灾吾后.2口口花芙兄规權巨灾債券市顷收艺丟倾向上汩底爭圧i计算巨宓债步平均L1SZ溢率12%2004iOSTp06I07lr03 r09H1O111I12 113 1144•， •2005坪S月2... 沁孔2011^3^曰恭持大地焉洒赌2012-^10^由上图可以看出，2000年以前巨灾债券上升幅度较为缓慢，之后虽然略微有所下降，但受2005年美国飓风的影响，给其市场带来转机，之后的几年急速上升发展。2006年和2007年创造了历史新高，发行次数高达20次和27次，2006年其发行金额跃升47亿美元，再到2007年的最高峰70亿美元。尽管在2008年由于受到全球经济危机的影响，其发行量大幅下降，但转年，仅2009年上半年其发行额就达到了140亿美元之多，到2013年巨灾债券发行额达到70.83亿美元，年末存量规模达到185.76亿美元。2.2巨灾债券的结构上面我们一块了解了巨灾债券的定义、作用以及其发展状况，下面我们进一步了解其整体架构。债券的运作机制包含在其内，是巨灾债券的核心所在，足以影响到巨灾债券的合理定价以及成功发行。首先，让我们用一个见到的图表来描述巨灾债券的大致架构。图2-2巨灾债券结构图示如上图，我们知道巨灾债券的主要成分有：发起人、投资者、信托机构和特殊目的机构。发起人的身份通常是由保险公司或再保险公司担当的，有时大型企业和政府机构也会发行一定量的巨灾债券。而投资者主要以机构投资者为主，包括保险公司、投资银行，基金公司和对冲基金公司等等。特殊目的机构(SPV)则充当发起人的资本市场中介，SPV与发起人签订再保合同，由SPV向发起人收取保险费用。巨灾债券实际上是由SPV发行的，用来向投资者募集资金。若指定巨灾发生，SPV向发起人支付赔款，反之，SPV向投资者支付高额利息并返还本金。信托机构的作用是托管通过发行巨灾债券所募集来的资金，它需要与SPV签订信托协议，并对这些资金进行再投资，投资所获得的利息用于支付赔款或向投资者返还收益。2.3巨灾债券可行性分析巨灾债券的概念和运行机制在上文中已经进行过详细介绍，作为一种新兴的保险金融衍生品，其究竟是否具有合理性尚需进一步讨论。首先，假设有这样一份一期再保险合约，若在规定的时间内巨灾事件发生，则该合约所需赔付的金额为L，反之，若巨灾未发生，则该合约便无需赔付。假定巨灾发生的概率为q，一期无风险利率为r，再保险价格为P。则再保险的理论价格为：P=好，但由于在再保险市场上有确定的价格P，所以q表示的就1+r是再保险市场对巨灾发生概率的估计。若假设再保险人通过签发巨灾债券所筹集到的资金为C，使得：(P+C)x(1+r)=L (2-1)

这样一来，再保险人就会拥有足够的资金用以赔付损失。而对本金没收型巨灾债券来说，一旦规定的巨灾发生，债券持有人将会损失所有的本金。反之，则债券持有人获得本金外加高额债息收入。容易求得其债息量为R二L-C。若息票率为C，则易得c=R，则单位面值的债券价格可表为:2-2)2-3)(1+c)x(1-q2-2)2-3)1二其中q*表示由债券持有人所估算的本金全部损失的概率，由上式易得:q*=二1+c由本金没收型债券的特点可知，本金全部损失与规定巨灾发生是等价的，故债券市场上所隐藏的再保险价格为:q*xL (c-r)xL(2-3)^^^* (2-3)1+r (1+c)x(1+r)若再保险市场的保险费用满足P>P*，则巨灾债券将会在保险公司的以顺利地运作，由于其从资本市场中筹集到的资金为C，而从再保险市场上收到的保险费用为p。若要保证保险公司不亏损，则其所拥有的资金总量P+C在投资一期之后应至少达到L，可用下列不等式表述:(P+C)x(1+r)>(P*+C)x(1+r)(c-r)xL+Cx(1+r)(1+c)2-4)(R-rxc)x2-4)+(1+r)xCC+R-R+C综上所述，从理论上来说，债券持有人受到损失与巨灾发生是等价的。而实际上，再保险公司和债券投资者之间就巨灾发生的概率可能会存在一定程度上的信息不对称。由于再保险公司所处的环境以及其庞大的信息量使得其对有关巨灾的信息了解得相对较多。利益使然，再保险公司在出售再保险保单时就会使用相对保守的措施，这样我很容易就能理解到他们估计巨灾发生的概率会比市场上的更高，而只要q>二得到满足，那么就会有P>P*成立，这样一来，再保险人1+c就能够从债券市场筹集到足够多的资金，从而达到其开展巨灾债券再保险业务的要求，即巨灾债券在理论上能够证明其发行的合理性。2.4巨灾债券定价理论影响巨灾债券定价的因素通过查阅资料［14，］我们得到如下五个对巨灾债券定价影响较大的因素：（1）相似债券的交易价格。之前曾经发行过的巨灾债券，若它们有相近的风险敞口、地理区域以及期望损失。这些已经发行过的巨灾债券的交易价格会对新发行的债券定价产生一定程度的影响。（2）巨灾损失模型的模拟价格。市场中有专门的巨灾模型公司（如EQECAT）会对新时期的巨灾损失的程度与概率进行模拟测算。SPV对测算模拟的结果进行分析整合，最终确定巨灾债券的价格。（3）相同风险层次债券市场价格以及暴露的再保险市场价格。（4）在二级市场上正在交易着的、相关的巨灾债券价格。（5）市场上已有的巨灾风险证券化衍生品。巨灾债券定价思路为了给巨灾债券进行合理定价，能够让投资者在一定程度感到满意，并且能够估计自己的投资组合的收益以及标的损失风险大小，从而使巨灾债券能够成功发行，根据巨灾风险证券化的原理以及前人的探索［15］，我们可以将巨灾债券的定价框架分为三个模块。第一，建立危险因素模块。像此类巨灾模型经过不断发展，现在已趋向成熟，许多专业的机构都可以提供这种模型，也是最为广泛应用的，但仍存在缺点，即参数的不确定性。由于参数的方差较大，会直接导致投资者期望有更高的风险溢价。其基本原理是对自然巨灾的物理特性及概率分布进行分析，从而来定义危险因素模块的范围。只要向巨灾模型中输入标的所在地特征、历史数据和专家观点等数据，就能输出包括一系列随机事件及它们的显著特征。第二，建立损失模块。其中难点是怎样对一场巨灾所造成损失进行定量描述。一般来说，巨灾损失主要分为两大块。诸如工业、农业、房屋、道路等一般可列示损失比较容易就可以估计其价格，而对于一些特殊财产的损失估算起来略为麻烦，可由特殊的工程技术专家或者保险公司依据不同类型的灾后标的物修复的精算数据来进行估计。第三，建立金融模块。这类模块则需要用到较多的金融工程方面的理论知识，主要原理是通过对因巨灾对保险标的或再保险标的造成的财务损失进行测算。这类模块在巨灾债券的定价中起到举足轻重的作用，因为它充分依赖巨灾债券的设计并充分考虑到了金融市场利率、汇率、信用评级等因素。巨灾债券定价难点尽管当代经济学和金融学已经发展到一个相当的高度，但巨灾债券的定价问题一直以来都是一个比较棘手的问题，综合分析造成其定价困难的原因主要有四个［26］［27］。其一是不完全市场问题。一般来说，当代金融衍生证券的定价都是假设在完全市场中进行的，也就是说衍生证券所产生的现金流具有可复制性，即可用资本市场上发行的证券来复制。这样一来，巨灾债券的理论价格就可以能够由产生同样现金流的证券组合的价格来来代替，但实际市场是不完全的，这样巨灾

债券定价理论就很难在现实中实现。其二是参数的不确定性。在上述定价思路中的第一模块，市场上有专业的巨灾建模公司能够给出合适的巨灾模型，有很大一部分研究者认为此时参数的不确定性会在较大程度上导致巨灾债券的高溢价，从而影响巨灾债券的定价。但也有一部分学者认为参数的不确定性并不足以合理解释债券的高溢价。但直到现在参数的不确定性对巨灾债券定价影响与否仍存在较大争议，故其也算是巨灾债券定价时的难点之一。其三是对巨灾损失的数学描述。巨灾损失将会由特定的专家来进行分析，一般来说，会用某个随机过程来描述。巨灾损失的特点是具有偏斜型。在早期为了研究的需要用几何布朗运动来拟合巨灾损失分布。后来随着研究的进一步加深，扩展到连续时间的情形下，出现了跳跃扩散过程和复合泊松过程。故用恰当的随机过程来描述巨灾损失也是巨灾债券定价过程中的一个重要难点。其四是利率的不确定性问题。即当市场是不完全状态时，其利率是随机变化着的，并且很难去预测，这样就很难使得上面的条件满足。从一定意义上说，它也属于市场不完全问题。现在通过以下的例子来说明。现假设在资本市场上存在着两种零息票债券：单期债券和两期债券，并假设金融市场的当前利率为7%，一期后利率以相同的概率上升8%或下降6%，则这图3-1Bernoulli模型图其中，(11)图3-1Bernoulli模型图其中，(11) + X1.081.06丿0.5107沁0.8735现在假设一个由以上两种债券组成的投资组合，令单期债券的数量为m，两期债券数量为n，则该债券投资组合的价值可由由利率来决定，并且可以用下列矩阵方程表示出来：2-5)2-5)11.06

则该债券投资组合的期初收益成本为：磊+°873551因为矩阵1因为矩阵11.061.08为满秩的，所以能够在初始时刻用上述债券的组合复制1.06出任意时期的现金流向量，故称上述的一期是完全的。一旦把巨灾风险引入该模型，就需要假设金融市场的发展状况与巨灾发生与否是相互独立的。这样一来，一期后的模型中将存在如下四种状态：{利率上升，有巨灾发生}={u,+}{利率上升，没有巨灾发生}={u,-}{利率下降，有巨灾发生}={d,+}{利率下降，没有巨灾发生}={d,+}通过比较分析我们知道在引入巨灾风险之后，并不是所有的现金流都可以由上述两种债券的投资组合来复制的，这样我们就称一期模型是不完全的。由于现实资本市场的不完全性，我们只能基于不完全市场理论来对巨灾债券进行定价，从以上分析中我们知道，不完全理论市场的大环境意味着我们不能通过其他证券的组合去任意复制巨灾债券的收益，因此我们就需要对传统的巨灾债券定价理论进行扩展，使之能够适应不完全市场的需求。巨灾债券定价模型巨灾债券由于其显著的优势，受到保险界广泛的关注，其前景也被大多数人看好。但这类金融衍生品想要推广就必须能够对它进行合理的定价。中外许多学者纷纷投入其中，提出了许多巨灾债券的定价模型。下面我们将从完全市场模型和不完全市场模型两个方面来介绍当今主流的巨灾债券定价模型。完全市场模型Kreps模型Kreps模型属于传统保险精算定价模型，一般做法是先收集足够多的客观损失数据，再通过特殊的方法计算出期望损失E（L）,再根据风险承担RL以及各类相关费用E，容易给出巨灾债券的理论价格P，即：P=E（L）+RL+E （3-1）其中比较重要的就是风险承担的计算。一般采用标准差风险附加原则，用公式可表示为风险承担RL等于风险附加乘数九乘以损失标准差b。若E二0，即不考虑费用支出，则巨灾债券理论价格P可简化为：

P=E(L)+后 (3-2)Kreps(1999)基于再保险定价合同等价投资原理［22,对一年期单次支付的再保险合同的定价进行了考察。假设P为保险初始价格，RL为风险附加，r为f无风险国债的利率，A为再保险公司的初始资产(未收到保费时)，F为再保险

公司的初始投资额，则有F二P+A，若期望损失为E(L),那么再保险合约的价格就可以表示为：+RL(3-3)E(L)+RL(3-3)1+rf假设预期投资收益率为y，那么根据投资等价原理，期望现金流需要满足等式：:(3-4)(3-5)(1+y)A=G+r)F-E(L(3-4)(3-5)f这样一来，就容易从上面两式中进一步求出风险附加值(y-r)RLA再对现金流期望等式取方差就有：Aa=◎，将其代入上式中可得：yL(y-r)RL=( )a (3-6)(1+r丿aLfy再把上面风险附加的表达式给代入再保险合约价格中就可得：E(L)P= +Xa (3-7)1+r lf(y-r)其中X )表示风险附加乘数。(1+r丿afyKreps模型作为传统保险的经典模式，它清晰地说明了风险附加部分可以表示成关于目标收益率、利率等因素的函数，它还提出了在标准差风险附加下的保险精算定价方法，为巨灾债券定价理论的进一步发展奠定了基础。但Kreps模型不能有效计算各细分风险层次的交易价格，也无法精确反映巨灾损失分布的重尾特征。因此人们还在不停地对巨灾债券的定价模型进行改进。Cummins模型Cummin和Geman基于套利的思想，率先给出了一种类似于股票期权定价的B-S模型的定价模型。但与股票期权不同的是，巨灾债券并没有参与市场交易的

标的资产，它只是基于某个损失指数而已。在Cummins模型中我们用一个几何布朗运动外加一个跳跃过程来描述损失指数的增量。假设债券面值为F，债券到期时间为T，债券到期时的价值用V(T)表示，而发行主体的初始价值为R，发行份额用I表示，则其定价公式为：() Max(L(T)-R,0)-Max(L(T)-(R+IF),0)V(T)=F- (3-8)其中L(t)=JtSG)dT；S(t)为一随机过程并满足如下条件0dS(t)=S(t)[ydt+gdW(t)]+KdN(t)，其中W(t)服从布朗运动，卩表示漂移率,O表示波动性(即方差)，K则表示巨灾所引起跳跃程度的常数且有K>0，N(t)则表示强度为九的泊松过程并且。N(t)与W(t)是不相关的。Briys模型首先，我们给出Briys模型的假设条件：假设市场是完全市场并且是无摩擦的；假设无风险利率是一个固定的常数r且其与巨灾风险是不相关的；假设巨灾债券是零息债券；假设巨灾损失指数服从几何布朗运动。若指定的巨灾一旦发生，假设投资者遭受到的损失占本金的比例为a(0<a<1)。则巨灾债券的定价公式可表：(3-9)(3-10)(3-11)B (0)=Fe(3-9)(3-10)(3-11)CAT(a2'(a2'trJd=2+rJ(a2'trJd=2a0其中，F表示巨灾债券面值，K表示触发值，I。则表示巨灾损失指数的初始值，rp表指定示巨灾发生时的本金偿还比例，而a则表示巨灾损失指数的波动程度。

HenriLouberge模型HenriLouberge等人也以股票期权定价模型为基础，提出了与Briys定价模型类似的巨灾债券定价模型，其基本假设条件如下：（1）假设市场是完全市场并且无套利的机会；（2）假设利率是连续形式的，且其变化能够用Kalltay（1993）中的二项随机游走过程来描述；（3）假设巨灾债券是零息债券；（4）假设巨灾损失指数在连续时间内是服从几何布朗运动的。在这里我们用F表示巨灾债券的面值，T表示巨灾债券的有效期，用I（t）表示在时间点t的价格，用K表示违约价格。如果I（T）＜K，则表示支付金额为F，反之，若I（T）＞K，则支付金额就为min（F-[I（T）-K],B）。那么债券在到期时间T的收益V（T）的情况为：若I（T）＜K，则V（T）=F若K＜I（t）＜K+（F-B），则有V（T）=F-[I（T）-K]＞B若I（T）＞K+（F-B），则有V（T）=B从违约条件和巨灾损失指数的关系及I（T）和K的关系，容易得出巨灾债券的定价公式为：t=0时，V（0）=Fe-rt-CEG（0）,K,T）+CEG（0）,K+F-B,T）其中，r表示连续的利率，CE表示欧洲买权价差，用B、T、F和K表示巨灾债券的参数。T'表示风险周期，则当t＞T'时，有:(d')1-1(t)「N(d)-N(d')1(d')1-1(t)「N(d)-N(d')12」 L1 1」+Be-r(T-t)NC')2」2+Ke-r(T-t)「N(d)-N(d')1-22」普通债券定价理论，而没有考虑到巨灾债券的特点，这就限制了其模型的应用推广。lnd=—1'I(tlnd=—1'I(t)、(72、+Y+——I2丿(T-1) ,d=d-7\；'T—t (3-13)21'72、+丫+——I2丿（I（t）]、K+F-B丿7JT-1由上面的过程我们能够看出HenriLouberge模型和Briys模型的假设来源于lndi(T-1) ,d'=d'-7—t(3-14)21AngelikaSchfichlin模型AngdikaScMichlin基于信用风险模型给出了巨灾债券的定价理论，其所需要满足的假设条件如下：(1)假设市场是完全市场；假设巨灾债券仅受到一次特定巨灾的影响；假设无违约风险利率服从下列随机过程：df(t,T)=a(t,T)dt+Q(t,T)dW(t) (3-15)001其中，W(t)是一个布朗运动。1违约利率服从下列随机过程：d(丁) ,T)-0(t,T如dt+Q(t,T)dW(t) ,Beforethedefault1' 「a(t,T)-0(t,T)九］dt+G(t,T)dW(t)+0(t,T),Afterthedefault「L1 1 1」 11(3-16)其中，a(t,T)代表漂移率，b(t,T)代表波动率。1Lee&Yu模型上面提到的方法均没有将道德风险和基差风险考虑在内。Lee&Yu(2002)则将道德风险和基差风险引入到了巨灾债券的定价模型中。其研究所需的条件如下：巨灾损失服从复合泊松过程；利率服从Cox等(1985)中提出的随机过程；巨灾赔款服从对数正态分布且与利率是无关的；(4)将到期日总赔款的精确分布用有特殊矩的g(CT)表示,其中令g(CT)与精确分布的一阶矩和二阶矩都是相等的。这样一来，给出巨灾债券定价的近似模型为B（0）=B（0,T）J*app CIRk1 e-2人CtB（0）=B（0,T）J*app CIRTOC\o"1-5"\h\z0 2kcC tk2kcC tgT gT(3-17)B(0)表示在t=0时的巨灾债券价格的近似解析解，B(0,T)表示在Coxapp CIR等(1985)提出的随机利率过程下期限为 T的零息债券在t二0时的价格，而卩=E(C)则表示近似分布g(CT)的均值，b2=Var(C)表示其方差。g T R TLFC模型LFC模型是由美国著名风险证券公司LaneFinancial公司的总裁MortonLane所提出来的。LFC模型认为巨灾债券的价格应该是由巨灾的期望损失加上期望超额收益所构成的。首先，计算巨灾期望损失E（L）=YpL，其次，巨灾的重尾iii性质所产生的风险溢价可用期望超额收益EER来衡量。这样一来，巨灾债券的价格则可表示为：P=E（L）+EER （3-18）Lane假设巨灾损失发生概率为PEL，条件期望损失幅度为CEL可表为E（L）/PFL，那么期望超额收益EER就可以表为关于CEL和PFL的函数，即EER=f（PEL,CEL）。Lane（1998）则又认为可用Cobb-Douglas生产函数来对eer进行估算，这样一来，就有：P=E（L）+EER=E（L）卄xPEbxCEL （3-19）在上述中，oc,卩,丫表示三个参数，它们需要根据市场数据才能估算出来oLane（2000）中运用16支已经发行的巨灾债券数据，运用回归分析计算到上述三个参数的估计值分别为o=49.46%,卩=57.41%,y=55%。这些可以作为有效的参考，给以后巨灾债券定价中参数的取值提供经验值。LFC属于实证模型的范畴，也不可避免地有着其显著的缺陷：既不能有效地反映巨灾债券二级市场上价格的周期性变化，也不能对巨灾债券标的风险的季节性变化作出有效规避。3.1.8Wang转换模型Wang转化模型是通过观测巨灾债券实际市场的价格对原始债券的分布加以调整，得到更加准确的巨灾风险分布函数。用S（x）=Pr{X>x}表示理论巨灾风险生存函数，这也就意味着巨灾损失X发生的概率大于巨灾损失x。这样，我们就可以得到整个巨灾的期望损失：E（X）=LS（x）dx。保险市场一般会将巨灾风0险划分为几种不同的层次，假设风险层次为（a,a+hl的巨灾风险用x（）来表示（a,a+h丿那么相应的赔付函数就可以写成：,x<a;x( )(a,a+h),a<x( )(a,a+h),a+h<x.

这样，该巨灾风险层次所对应的期望损失可表为：E「X(、［二Ja+hS(x)dx- (a,a+h丿」a若h是一个相当小的数，则巨灾债券理论价格可近似表为E*「X()]，则有(a,a+h)ETXE*「X()]，则有(a,a+h)(a,a+h)S*(a)S*(a)仝E*(a,axh成立。因为在实际价格中加入了风险溢价，则有S*(a)>S(a)，这样我们就可以将调整后生存函数的精算值看作是巨灾债券的实际价格。令变换后的巨灾风险生存函数为S*(x)，即有S*(x)=g(S(x))，,其中g(0)=0,g(1)=1 。而在Wang(1995)中提出的比例风险转换则具有如下形式：S*(x)=(S(x))-九,0<X<1 (3-21)在衡量风险厌恶水平的方法中，夏普比率具有较好的拟合效果。Wang(2002)将夏普比率推广到了一种更加普遍的形式，即比例风险转换。转换之后的巨灾风险生存函数可如下表示：:其中①(u)=J0—e-12/2dt代表标准正态的累积分布函数，而S(x)为原始巨灾2兀风险分布函数，九为风险附加参数，且满足九=1-1/p(P为风险厌恶水平)。综上，容易导出Wang转换模型下巨灾债券定价公式如下：P=E「X ］=Ja+hS*(x)dx=Ja+h①］0-1(S(x))+1-丄］dx(3-22)-(a，a+h)」a a( P丿总的来说，Wang转换模型还是具有明显的优势，即将风险溢价加入到了期望损失中，使之能够更有效反映实际巨灾风险的概率分布。但是，Wang转换模型中必须要假设风险的概率分布是稳定的，然而在现实中巨灾风险的概率分布是经验估计出来的，这样就无法消除其参数不确定性的问题。3.1.9Christofides模型Christofides发现在不存在系统风险的情况下，对巨灾债券来说，Wang概率转换计算所得值和全面风险框架下的风险成本基本相同，故Christofides(2004)认为巨灾债券的价格可用Wang概率转换来进行计算。Wang的危险比例转换如下：/Sdx0(3-23)n(x)=e[n(x)]=卜/Sdx0(3-23)8其中8>1表示风险厌恶系数，而S(x)则表示生存函数，这与Christofides摩擦成

本公式相比，5=1-九。而在风险厌恶系数8下风险调整溢价则记为口(x)。这样一来口(x)就会随着8的增大而增大。8设xe(0,1)，由于E(x)=fw(S(x))dx设xe(0,1)，生存函数在潜在损失X的变化范围内是一个非负递减函数。将损失表为百分数的形式，再将生存函数用一种简单的指数衰减形式表示出来：S(X)=ae-血，其中«和0为待估参数，这样就能得到：S(0)=PFL=a (3-24)S(1)=PE=ae-0 (3-25)(3-26)J1S(x)dx=EL="ae-Pdx=菩(一e-0)(3-26)000现在我们引入乘方参数工，可使得上式有唯一解，再将生存函数重新定义如下：S(x)=ae-PxT。由上面的方程容易得：a=PFL，P=In(PFL/PE)=In(CEL)。Christofides定价模型的优点是其在Wang转换模型公式的基础上运用用数学技术上进行了简化处理，不仅使计算更为简便，还提高了其效率。但缺点是并没有解决Wang转换模型中参数的不确定性。3.1.10Wang两因素模型Wang(2002)提出了Wang的两因素模型［24］，该模型是在Wang转换模型的基础上，运用数学的方法对参数的不确定性作出改进。在Wang转换模型中，我们假定资产的收益服从标准正态分布，这样就与实际中巨灾风险的特征不符。故Wang(2004)提出用自由度为k的t分布来代替标准正态分布［25］。这样一来，调整后的分布密度函数如下：f(t;k)=£7(3-27)1f(t;k)=£7(3-27)1+—k丿rrk+1、其中，ck=£［2J，这样以来，经过Wang概率分布转换后两因素模r—12丿型的生存函数可表为：S*(x)=屮(①-1S(x)+Q (3-28)

在上式中，①表示标准正态分布函数，屮表示t分布，而九表示夏普比率(即价格市场风险)。这样一来，Wang两因素模型下风险层次为［a,a+h］的巨灾债券理论定价可表为：P二E*(x )=Ja+hS*(x)dx=\a+h屮(①-1(S(x))+Qdx(3-29)(a，a+h) a aLane(2000)、Christofides(2004)以及Wang(2004)都分别对1999年发行的16支巨灾债券的交易数据展开了实证研究。在保证分析思路大体一致的前提下，通过获取市场整体的参数估值，代入原有数据给出模型价格。Wang(2004)用Wang两因素模型对上述数据进行分析后最终得出的参数分别为：X=0.453,k=5，并通过对比分析后发现LFC模型、Christofides模型以及Wang两因素模型所得到的理论价格与实际发行价格的均方误差方分别约为：0141%、0144%和0122%。这就说明Wang两因素模型在巨灾债券定价上更为精确。3.2不完全市场模型3.2.1均衡定价理论比较经典的均衡定价理论是由SamuelH.Cox和HalW.Pedersen在《CATASTROPHERISKBONDS》一文中提出来的［16。他们假设市场是不完全的且无套利机会，讨论了巨灾债券的定价方法。首先假设市场是无套利的，这样就存在一个风险中性概率测度Q，使得在0时刻的每一个现金流tc(k)ilk=1,2,LL,T｝的价格都可以由概率测度Q的期望给出：EQ£一给出：EQ£一k=1J 「 r1+r(0) 1+rwLP1+rc(k)。令{r(k):k=1,2,LL,T}是一个利率随机过程。面值为一元的无违约风险零息票债券在时刻0点的价格记为P(0,n)(到期时刻为n)。那么就有:P(0,P(0,n)=EQ(3-30)[1+r(0)][1+r(1)LL[1+r(n-1)其中，t表示巨灾首次发生的时刻，且其满足工e｛1,2,LL,T｝。由巨灾债券的性质我们知道在时刻T之前巨灾发生有一定的几率。若巨灾发生，则债券持有者的现金流可表为如下形式：k=1,2,k=1,2,LL,T-1k=T(3-31)我们假设市场无套利，且巨灾发生的时刻与风险中型测度Q是相互独立的,则有：c另P(k)QG>k)+P(T)QG>T)+f(c+1)另P(k)QG二k)(3-32)k=1 k=1综上，巨灾债券的理论价格可以写成各期期末现金流的期望与以该期为到期日的零息债券价格的乘积之和。3.2.2二项分布模型以地震巨灾为例，又有一部分学者认为：(1)地震巨灾债券属于附息债券，息票的支付与否及其支付额完全取决于灾害的损失，当损失超出触发水平时，余期息票便可以不予支付；(2)地震巨灾债券又是保证偿还债券，其到期保证偿还金额是一个确定的值。因此，就可以选取使用某地区若干年间地震损失数据为样本，并用各种概率分布模型这些数据进行拟合分析，最后确定出某种分布为该地区地震损失的理想分布。经过探索发现，用二项分布模型对地震巨灾概率分布进行拟合能达到较好的效果。和其他模型一样，这里也用T来表示巨灾债券的到期期限，I(t)表示灾害在t时刻受到的损失金额，F表示债券到期时的约定返还金额，而损失的触发水平r用K来表示，在为时刻t得到的支付金额记为P(t)。那么就有:I(t)=0, I(t)=0, t=0I(t)<kI(t)>kIF+BP(t)=bI(t)<k

I(t)>k0<t<Tt=T(3-33)(3-34)(3-35)若给出T、B、K以及F的值，就能知道各期息票的无条件概率P(I(t))<K。r那么根据该地区的利率变化结构及巨灾债券息票支付的无条件概率，在利率满足二项分布的条件下，再运用债券定价的基本原理，就可以通过计算得到巨灾债券期望支付的现金流及其发行价格。若有s<若有s<t，则P(I<K|I<K)=ts加。将利率结构的变化与息票支付s的条件概率考虑在内，再重复以上步骤，即可得出巨灾债券在各时期的价格。3.2.3MonteCarlo定价方法蒙特卡罗方法实际上是利用大量统计资料，并用归纳总结的方法给出金融产品的定价。在这一领域比较有代表性的MaciejRomaniuk假定巨灾债券的生命周期为[o,T],整个生命周期被分为n段，令期初价值为S，这样根据迭代随机方程我0们就可以得到以后各期巨灾债券的价格S,LL,S，这样就可以得出巨灾债券价1T格变化过程的模拟轨迹S1。如果我们事先已经得到了S1，用fGJ表示既定巨灾债券的价格。假定一个欧式买入期权的支付函数为f(Si)=(S1-K)。其中Sj表示在t时刻动态样本jT i i的价格，且执行价格为K。若有m条轨迹，那么用同样的方式就可以分别计算出：f(s2),LL,fGm)。易得其贴现平均值为Cm二e-rT丄乞fG),其中r为无风险利率。则上式也mi=1可以写成Cm=e-rT丄区FVf(Si)，其中FV表示现金流Y在时刻T的价值。m T Ti=1由上面叙述可知S1,LL,Sm是一个独立同分布过程，根据大数定律我们知道Cmas>C。ms由于巨灾债券本身的特特点，我们在运用MonteCarlo方法定价的时候，既要考虑Sj，也要考虑到巨灾发生的情景Xi，而Xi则是由某一个随机过程X产i生的。从上面的分析可以得出巨灾债券的价格是由Sj和Xi这两个变量同时决定的，易得其理论价格为：Cm=e-rT丄近f(Si,Xi) (3-36)mi=1Cm=e-rT丄区FVf(Si,Xi) (3-37)mTi=1其中若有Ef(S,X)<a，且Vaf(S,X)<a时，上式达到收敛。3.2.4道德风险与MonteCarlo方法结合的巨灾债券定价模型

MonteCarlo方法从实证的角度较为有效地解决了巨灾债券的定价难题，然而在其过程中并没有考虑道德因素，下面的模型是在加入道德风险的前提下运用MonteCarlo方法对巨灾债券进行模拟定价。以地震为例，若将其震级记为为R,且用GenEarthquakeTime(R)表示到达此震级所需要的时间，那么不难理解，在GenEarthquakeTime(R)之后债券的价值将不复存在。现在我们假设巨灾债券的生命周期［0,T］被分为以下n段：厂={t=0,t丄，t=T}t—t=At,i=1,2,L,n—1(3-38)0 1 n i—1 ir为无风险利率为吗，从初值S0开始，符合下列随机迭代方程:Si+1=SexpSi+1=SexpiAt+G丿、J(3-39)8,8,L,8是服从标准正态分布的随机数，且相互独立。01 n—1从上面的方程容易得到各时刻巨灾债券的价格S,S,L,S构成了模拟巨灾债券1 1T的价格变化过程的动态轨迹S1。把巨灾发生时的情景Xi与Si综合考虑在内，用f(xi,Si)计算贴现平均值可得：Cm(3-40)=e-rT丄£f(Xi,Si)Cm(3-40)i=1在传统的MonteCarlo方法中加入到的因素，能够更准确地给巨灾债券进行定价，这有利于巨灾债券的发行。实证分析4.1地震数据的选取地震作为一种严重危害人类生命财产安全的巨型自然灾害，我们有必要对其进行风险转移措施的研究。本文首先选取了我国1969年到2010年损失超过一亿元人民币的地震数据进行实证分析。本文通过CPI的方法，将损失调整到2010年的标准，具体数据见下表：表4-11969-2010中国地震

日期地点震级当年损失（万元）调节系数调后损失（万元）1969/3/22河北邢台7.21000005.3885387941969/7/26广东阳江6.447415.388255441970/1/15云南通海7.7300005.4091622841974/4/11新疆伽师6.64620001.2135605861974/5/11云南邵通7.190005.409486851975/2/4辽宁海城7.3810005.4164386661976/5/29云南龙陵7.3140005.409757331976/7/28河北唐山7.813275005.40971810811979/7/9江苏栗阳6.0247285.2311293521983/11/7山东荷泽5.9304004.7311438381985/3/29四川自贡5.0100004.089408941985/8/23新疆乌洽7.4102134.089417651986/8/16黑龙江德都5.4159023.840610661989/4/16四川巴塘6.7410422.5531047781989/9/22四川小金6.6298602.553762311988/11/6云南澜沧7.62750003.0128284221989/10/19山西大冋6.1365322.553932641989/11/10四川重庆5.4150002.553382941990/2/10江苏常熟5.1134002.477331921990/4/26青海共和6.9274272.477679381990/10/20台湾海峡7.3180001.963353371992/11/26福建龙岩5.0102002.251229641993/9/16甘肃景泰6.2150002.477371561995/10/24云南武定6.5780001.3501053651996/2/3云南丽江7.02500001.2473118091996/3/20新疆伽师6.9387001.247482681996/5/3内蒙包头6.41500001.2471870851996/7/18山东渤海6.450005.388269401997/1/10新疆伽师6.61078001.2131308031998/1/10河北张北6.2841881.2231029301998/8/27新疆伽师6.6129381.223158181998/10/2云南5.390981.223111231998/11/19云南、四川6.2498251.223609171998/12/1云南宣威5.1102101.223124831999/11/1山西大冋5.6145031.240179852000/1/15云南姚安6.51066121.2351316582000/1/27云南丘北5.5103741.235128112001/4/10云南施甸5.2504901.227619372003/2/2新疆伽师巴楚6.81300001.222158807

2003/7/21云南大姚6.21026651.2221254152003/8/18内蒙赤峰5.91400001.2221710232003/10/27甘肃民乐6.1327001.222399462003/11/15云南邵通5.5559001.222682872003/12/11新疆伊犁6.1120001.222146592004/3/24内蒙东乌5.9202721.176238492004/8/10云南鲁甸5.6332261.176390892004/10/19云南保山5.0217201.176255532005/2/15新疆乌什6.2157571.155181982005/8/5云南会泽5.3169981.155196312005/11/26江西九江5.72037591.1552353262006/1/12云南墨江5.0110601.149127052006/3/31吉林乾安5.0110681.149127152006/7/22云南盐津5.1239001.149274562006/8/25云南盐津5.1202701.149232862007/6/3云南宁洱6.41898601.0862062272007/7/29新疆伊犁5.7110601.086120142008/3/21新疆于田7.3194801.026199802008/5/12四川坟川8.0845100001.026866808742008/8/20云南盈江5.01308001.0261341602008/8/30四川仁和区6.14461871.0264576492008/8/30四月攀枝花5.73360001.0263446312008/10/6西藏当雄6.6411371.026421942008/11/10青海青州6.3266111.026272952008/12/26云南瑞丽4.9179601.026184212009/7/10云南5.7400001.033413202010/4/14玉树6.9670001.00067000将上述损失数据单位转换为亿元之后，再通过统计软件SAS,我们将上面的的数据进行分析整理可得：表4-2样本数据分析统计量均值标准差最小值最大值偏度峰度统计量153.1691067.89981.112348668.0965.058698.0426164.2地震损失数据分布拟合通过查阅资料［30］［，32分］析出地震巨灾损失用对数正态分布进行拟合可以得到较好的效果。由概率论的知识我们易得对数正态分布的密度函数服从如下形式：

f(x)=(4-1)(4-2)(4-3)1 _f(x)=(4-1)(4-2)(4-3)~^2 e2°22nox而对数正态分布的矩估计公式如下：p=2ln(E(x))一丄ln(EC2))2c=ln(E(x2))_2ln(E(x))将样本数据代入上式中易得：р） =2.0346с） =1.1308这样我们就得到了地震巨灾损失分布函数。4.3年地震次数的拟合表4-22010我国银行1到4年期定期存款利率表每年地震次数0123458年数141363321通过查阅资料，我们用泊松分布对其进行拟合得：九=2.34.4地震债券利率的确定通过查阅资料我们可以的到2010年我国银行1到4年期定期存款利率表如下；表4-32010我国银行1到4年期定期存款利率表存款期限（年）1(R)12(R)23(R)34(R)4利率（％）2.753.554.154.35我们知道，银行并没有四年期的存款，这样，我们就需要用插值法确定四年期的利率。在这里，我们选取线性插值法。利用之后两年的一年期利率作为参考，得出其利率变异系数为c=11.08%。表4-42012-2012我国银行1年期定期存款利率表

调整时间2010.102010.122011.022011.042011.072012.062012.07利率（％）2.502.753.003.253.503.253.00现在我们假定巨灾债券的市场价格为1，利用现金流折现的原理，我们先将每年巨灾债券对应的市场利率算出来。首先，第一年的市场利率等于银行一年的定期存款利率，故有r=2.75%。

1可得下列方程组：可得下列方程组：其次，根据1= —+上乞1+r21

11(1+r)(1+r) (1+r)(1+r)1213I1 1(1 1 = 十 +<1+r21(1+r) (1+r)2*2122r=re2c2221(4-4)解之可得：r=2.66%,r=3.15%2122然后，r,r,r可得之间满足下列方程组：3132331_1(1+1+11+r3 (1+r) (1+r) (1+r)3 ' 31 32 33<r_re2c33 32r_re2c32 31(4-5)解之可得：r_2.96%,r_3.31%,r_3.96%31 32 33最后，同理易得下列方程组：11(11111+r_3(1+r) (1+r) (1+r)(1+r)1441 42 43 44<r_re2c(4-6)4443r_re2c4342r_re2c4241解得：r_2.87%,r_3.29%,r_3.84%,r_4.48%41 42 43 44故四年期地震债券的利率可用下图的形式表出：3.15%2.66%H4.48%3.84%3.29%2.87%3.96%2.75%3.31%2.96%图4-14年期地震债券利率图4.5我国地震债券的定价名称说明如下：T：债券期限K：损失触发水平B：债券到期的保证赎回金额Fr：息票金额I(t):在时刻t的损失额P(t):在时刻t应得的支付额I(t)=0,t=0(4-7)P(t)=fI(t)<KI(t)>K'0<t<T(4-8)P(t)=JFr+B I(t)<K, t“IB I(t)>K(4-9)假设T=4,Fr=&B=100,K=20，由之前地震损失的对数正态分布拟合,=2.0346&二1.1308我们就能够得到各期支付息票的无条件概率：P(I<20)=F1L(20)ln——q①(0.11)^0.5478P(I<20)=F2L(20)ln q①(-0.50)q0.3085；P(I<20)=F3L(20)ln "(-0.86人0.1949；P(I<20)=F4L(20)ln 2.*4丿3q①(-1.11)^0.1335。这样，再根据上述算得的地震债券利率。就能够算出四年期地震债券的理论价格如下：

98图4-24年期地震债券利率图101.068010L0680101.0680*101.0680101.068099.98图4-24年期地震债券利率图101.068010L0680101.0680*101.0680101.068099.265797.2824100.647997.304198440299.212198.889799.408099.8075101.0680=100+8*0.133598.2935=101.0680/1.0448+8*0.194998.8897=101.0680/1.0384+8*0.194999.4080=101.0680/1.0329+8*0.194999.8075=101.0680/1.0287+8*0.194997.3041=0.5*(98.2935+98.8897)/1.0396+8*0.308598.4402=0.5*(98.8897+99.4080)/1.0331+8*0.308599.2121=0.5*(99.4080+99.8075)/1.0296+8*0.308599.2657=0.5*(97.3041+98.4402)/1.0315+8*0.5478100.6479=0.5*(98.4402+99.2121)/1.0266+8*0.547897.2824=0.5*(99.2675+100.6479)/1.0275结论随着全球自然灾害频发，其对保险行业造成的风险越来越大，而经典的保险机制不适宜处理此类极端损失。即使是仅仅一个自然灾害就可能导致保险公司贮备金不足甚至是破产。传统的保险模型只能够处理一些独立的风险，这些风险根据整个保险投资组合的价值生成的相应的小额索赔。正是由于造成损失的自然灾害的来源是强烈依赖于时间和地势的，保险业才更需要新的方法去应对这些自然灾害。此外，此类事件往往伴随着巨大的金融债权。一个灾难性事件，例如，一场地震或是飓风，就有可能导致上百亿美元的损失，相当于国际金融市场日流动金额的规模。因此，将损失证券化（所谓的巨灾衍生品）有助于应对极端自然灾害，一个代表性的例子就是巨灾债券。在本文中，我们假设以下条件成立：市场无套利、巨灾的发生独立于金融市场的行为并且现有工具造成的利率变化具有可复制性。然后应用无风险利率模型对巨灾债券进行定价。我们描述巨灾债券价格的行为实际上就是考虑触发点的价值和支付函数的价值损失百分比，尤其是损失价值分布变量的形状参数和尺度参数。最后我们