巧用向量解题

巧用向量解题张建峰高中新教材新增了平面向量的内容并作为独立的章节来学习后，就成为高考的一个新内容也是高考的热点。平面向量在图象平移、定比分点、解三角形中有很重要的作用。除此之外在代数、三角函数、解析几何中应用都很广泛，下面笔者就此进行探讨。一.向量基础知识向量的数量积定义：圧‘色=|绷引3訪。向量夹角公式：a与b的夹角为9,贝9 M闊。向量共线的充要条件：b与非零向量a共线O存在唯一的几亡*，使/加。两向量平行的充要条件：向量鸟=（乃平行0左莎_心冋二0。向量垂直的充要条件：非零向量区丄向量不等式：k卅创勻空+创，I训创勻©创。向量的坐标运算：向量盘=（%乃），Ag曲，贝严£=巧花+”旳。二.向量的应用1.利用向量证明等式对于某些恒等式证明，形式中含有曲厘_於或符合向量的坐标运算形式，可运用向量的数量积定义和向量坐标运算来证明。例1.已知a、B是任意角，求证：3心一处二皿皿付F—邛。

证明：在单位圆上，以X轴为始边作角a,终边交单位圆于A,以x轴为始边作角B,终边交单位圆于B,有。A=(d,血⑵，。丑=(C口叨，血旳即—罚二匚oe口即—罚二匚oe口coey?+sincesin/?成立利用向量证明不等式当求解问题中(式子)含有乘积或乘方时,可巧妙地利用向量数量积坐标表达式心也二冋花+兀兄，\a-b\^\\b\，构造向量解之。例2.陀'血血bG也是正数由数量积的坐标运算可得：游血二蠢+危。又因为l^wil^l勺丽十-Jed<勺丽十-Jed<V™-所以成立。利用向量求值对于求值问题，巧妙地运用向量的数量积定义构造等量关系，求出所需量的值。TOC\o"1-5"\h\zCOSQ+匚。£0—CO£（a+ =—例3.已知 °，求锐角a、B。(1-cos/7)cosa+sinsina=—-cos/?解：由条件得 2设酬=(l-c：og£,sin/7)?疋-(cog©sina)=—-cos/?,|?«|=^J(l-cos/7)3+sin2=^2-2cosp则 2a=—同理3（因为a、B为锐角）。利用向量求函数值域巧妙构造向量，可以解决条件最值问题，特别是某些含有乘方之和或乘积之和式子的条件最值问题，用向量证明更有独特之处。例4.若^^亠加二十,求x+P的最小值。，求解：构造向量小（低市戸n"(1,1)由期占勻觀|囲，可得=店41+兰J(h+1)+0_2)血例4.若^^亠加二十,求x+P的最小值。，求解：构造向量小（低市戸n"(1,1)由期占勻觀|囲，可得=店41+兰J(h+1)+0_2)血所严缓当且仅当少苛=旳_227时，斗+丫有最小值°例5.设x是实数，求C-2乳+2+J宀1°疋+別的最小值。解：因为拧-2+=肛1尸+巴=故可设応=〔^-1,1),h=(5-x,习所以A+创二4^/2所以当x=2时，-2;r+2+-10^+34取得最小值4芒。利用向量解决解析几何问题平面向量和平面解析几何是新老教材的结合点，也是近几年高考所考查的热点，解此类题应注重从向量数量积的定义和向量的加减法的运算入手，还应该尽量联系向量与解析几何的共同点，综合运用解析几何知识和技巧，使问题有效解决。22例6.过点叭作直线F交双曲线孟_卩，1于人、B不同两点，已知TTTOP=OA+OB（1） 求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。（2） 是否存在这样的直线》，使1°日日°剧若存在，求出'的方程；若不存在，说明理由。解：（1）设‘的方程为尸*+习，代入*—当2土1时，设丄01，卄），£0齐乃）4^+1k2-1k-Ak2 Ak=g+2）+叽+2）=狀心+也）+4用二百亍+4上二岱再将丁「弋入八1-F得（兀+卯一八4（*）上二°时，满足（*）式。22当斜率不存在时，易知V◎满足（*）式，故所求轨迹方程为0+2）=4，其轨迹为双曲线。当必：±1时，'与双曲线只有一个交点，不满足题意。（2）因为〔°曰=1曲I,所以平行四边形0APB为矩形，OAPB为矩形的充要条件是0A•cS=O，即“+PM二0。f_2, f—21