平面向量与三角形四心问题老师

「・od”-「・od”-——SA—OAS+S则有平面向量基本定理与三角形四心引理已知O是AABC内的一点，ABOC,AAOC,AAOB的面积分别为SA,SB,SC，求证：SA•OA+SB•OB+SC.OC=0如图2延长OA与BC边相交于点D则BDSS— ABODS-SAB0D-SC^aAB^^^y^^^ABDl_yAlABO.D CDCSSS—S SAACDACODACDACOD BOD=DCOB+BDOC= SB OB+SCOCTOC\o"1-5"\h\zBCBCS+SS+S

BC BCODSSS+SS =bod—COD—BOD COD-- A——OASSS+SS+SBOACOABOA COA BC-A-^OA—SBOB+SCOCS+S SB+SC SB+SCBC•二SA.OA+SB.OB+SC.OC-0推论O是AABC内的一点，且X•OA+y•OB+z•OC-0，则S :S :S —x:y:z'zABOC:ACOA:AAOB引理1.设O为AABC内一点，九,九,九均为正实数，入OA+九OB+九OC-0，S九S423S九1 2 3AAOBSAABC 3 ,〜+12+九3ABOC-SAABC 1 々+九2+九3AAOC-SAABC引理2.设O为AABC内一点，Sb，SC,S分别表示S凶0c,SABS诙的面积，则AO-SBAB+S^A^CSS一.知识梳理：基础知识定义向量的数量积，若非零向量〃,b的夹角为0，则〃，b的数量积记作ababcosg，也称内积，其中|b|cos0叫做b在a上的投影（注：投影可能为负值）.定义若点P是直线P1P2上异于p1,p2的一点，则存在唯一实数入，使P1P6PP2,人叫P分PP所成的比，若0为平面内任意一点，则OP=邛+gOPP.由此可得若P,12 1+九 1X+入xX=P，P的坐标分别为(x,y),11(x,y),(x,y)，则［ 1+入入=x2i=Zz2^P，P的坐标分别为(x,y),112 2 y=y1+入^2 X2-Xy2-yyi+九定义设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的点按照向量a=(h,k)的方向，平移|a1rhm2个单位得到图形F;这一过程叫做平移。设P(x,y)是F上任意一点，{x'=x+h称为平移公式._ y'二y+k定理对于任意向量a=(x/y),b=(x2,y2),|a,b|W|a|,|b|,并且|a+b|W|a|+|b|.三角形“四心”的相关向量问题(一)四心的概念介绍： 一一一一一一--⑴重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1；⑵垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等;⑷外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等.(二)三角形四心向量式1.O是AABC的重心oSBBOC：SCcoa:S^OB=1:1:1oOA+OB+OC=02.0是AABC的内心^^S .S.S -a:b:c^^a•OA+b•OB+c•OC=0向量入（abac

^+Abbac0A（氤向）=°B（B^^））=".（3+嬴））sinAoa+sinBob+向量入（abac

^+Abbac）（入/0）所在直线过aabc内心（是bac的角平分线所在的直线）Z3.0是aabc的外心oOAOBOCoSA嬴:SAcoa:S^ob-sin2A:sin2B:sin2C=sinBOC:sinAOC:sinAOBosin2A.OA+sin2B.OB+sin2c.OC-0 乙乙乙4.0是AABC的垂心oS:S:S=tanA:tanB:tanCotanA.OA+tanB.OB+tanC.OC=0cd cd证明：如图0为三角形的垂心，tanA- ,tanB-ntanA.tanB-DB:ADAD DBS:S-db:AD・•S:S二tanA:tanB同理得S:S-tanB:tanC，S:S=tanA:tanC••S A°S ^°S _tanA:tanB:t?nC^°BABOC•ACOA•AAOB

（三）四心的相互关系.三角形外心与垂心的向量关系及应用设△ABC的外心为0,则点H为△ABC的垂心的充要条件是OH=OA+OB+OC..三角形外心与重心的向量关系及应用设^ABC的外心为O，则点G为^ABC的重心的充要条件是O心l（OA+O+0c）.三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用设^ABC的外心、重心、垂心分别为O、G、H，则O、G-H三点共线.（O、G、H三点连线称为欧拉线），且OG=-GH.2练习题：.已知G是^ABC所在平面上的一点，若GA+GB+GC=0，则G是^ABC的（）.A.重心 B.外心 C.内心D.垂心.已知O是平面上一定点，AB,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+九（AB+AC）,九£（0,+s），则P的轨迹一定通过^ABC的（ ）.A.重点 B.外心 C.内心D.垂心MO是△ABC所在平面内一点，动点PMO是△ABC所在平面内一点，动点P满足加二成+人（■|AB|sinB|AC|sinC(入£(0,+8））,则动点P的轨迹一定通过4ABC的（ ）A.内心B.重心C.外心D.垂心.P是^ABC所在平面上一点，若PA•PB=PB•PC=PC•PA,则P是^ABC的（）A.重点 B.外心 C.内心D.垂心4.已知O是平面上一定点，A4.已知O是平面上一定点，AB,OP=OA十九、ABAC--~~-+—；~~-

ABcosBACcosC/C是平面上不共线的三个点，动点P满足£（0,+8），则动点P的轨迹一定通过^ABC的（）.£重点 B.外心、 C.内心、 D.垂心.若H为^ABC所在平面内一点，且|ha卜+回2=廊卜+^：^212=|hc¥+|ab|2则点H是^ABC的（）A.重点 B,外心 C.内心 D,垂心.已知I为^ABC所在平面上的一点，且AB=c,AC=b,BC=a.若alA+bIB+cIC=0，则I是^ABC的（）A.重点 B,外心C.内心 D,垂心

OP=04+为处+把；'网A.重点B.外心QOP=04+为处+把；'网A.重点B.外心Q内心£（0,+s），则动点P的轨迹一定通过^ABC的D.垂心.若O在^AB^所在的平面内 _ _ _产7T^）=应 ^^）二山贝IO是^ABC的（ ）|AC||AB||BC||BA| |CA||CB|A.垂心 B.重心 仁内心D.外心9.9.已知0是^ABC所在平面上一点，A.重点B.外心Q内心若042=0B2=0C2，则0是4ABC的(D.垂心■1 A-L A -tj..设O为■1 A-L A -tj..设O为AABC内一点，且0A+20B+30C=0,则AA0B,AA0C的面积的比值.已知P为AABC内一点，且3PA+4PB+5PC=0,则SP咖:SP尸隹：SP咏=2—1 ■ 12— 1—.已知P,Q为AABC内两点，AP=-AB+-AC,AQ=-AB+-AC,则AABP,AABQ的面积之

5 5 3 4比为（A.13)B.14C.I.已知M为AABC内一点,am=1AB+1AC，则AABM,AABC的面积之比为（ ）3 4C.1D,22 3、一， ， …、一一—,■——h—>S , 、.设点O在AABC外部，且20A-30B-50C=0则^0bc=( )SAABCC.I3“.设O为AABC内一点，且有AB=2（0B+0c，则AABC的面积与AB0C的面积的比值联赛一试水平训练题.在直角坐标系内，O为原点，点A,B坐标分别为(1,0),(0,2),当实数p,q满足1+1=1pq时，若点C,D分别|J在x轴，y轴上，且OC=pOA,OD=qOB，则直线CD恒过一个定点，这个定点的坐标为..已知平面上三个向量a,b,c均为单位向量，且两两的夹角均为1200,若|ka+b+c|>1(k£R),则k的取值范围是.TOC\o"1-5"\h\zff— a ■ F p ■——.平面内四点人,B,C,D满足|AB1=3,1BC1=7,1CD1=11,1DA1=9，则AC-BD的取值有 个.4.O为^ABC所在平面内一点，A,B,C为^ABC的角，若sinA・OA+s