2021年九年级中考数学-专题训练：圆的有关性质(含答案)

2021中考数学专题训练：圆的有关性质一、选择题1.如图，AB，AC分别是☉O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，若AB=10，AC=8，则BD的长为 ()A.25 B.4 C.213 D.4.82.如图，在⊙O中，点C是eq\o(AB,\s\up8(︵))的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝()A.40°B.45°C.50°D.60°3.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是()A．OE＝BE B.eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))C．△BOC是等边三角形 D．四边形ODBC是菱形4.如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，OP⊥AB，垂足为P，则OP的长为()A．3 B．2.5 C．4 D．3.55.2019·武汉京山期中在圆柱形油槽内装有一些油，油槽直径MN为10分米．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面宽变为8分米，则油面AB上升()A．1分米 B．4分米C．3分米 D．1分米或7分米6.(2019•镇江)如图，四边形是半圆的内接四边形，是直径，．若，则的度数等于A． B．

C． D．7.如图，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为()A．19 B．16 C．18 D．208.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙O的半径为5.若P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB＝AB，则PA的长为()A．5 B.eq\f(5\r(3),2) C．5eq\r(2) D．5eq\r(3)二、填空题9.如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．若∠ABT＝40°，则∠ATB＝________.10.如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为80cm，则水位上升了cm.

11.2018·孝感已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离是________cm.12.如图0，A，B是⊙O上的两点，AB＝10，P是⊙O上的动点(点P与A，B两点不重合)，连接AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F，则EF＝________．13.如图，在☉O中，弦AB=1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交☉O于点D，则CD的最大值为.

14.如图所示，动点C在⊙O的弦AB上运动，AB＝2eq\r(,3)，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为________．15.如图，圆内接四边形ABCD中两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A＝55°，∠E＝30°，则∠F＝________°.16.如图2，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为80cm，则水位上升________cm.eq\a\vs4\al(链接听P39例4归纳总结)三、解答题17.如图，已知△ABC内接于☉O，AB是直径，点D在☉O上，OD∥BC，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CD交OE于点F.(1)求证:△DOE∽△ABC;(2)求证:∠ODF=∠BDE.

18.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图②，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB的长为6米，∠OAB=41.3°.若点C为运行轨道的最高点(C，O的连线垂直于AB).求点C到弦AB所在直线的距离.(参考数据:sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88)

19.如图，AB为⊙O的直径，C为圆外一点，AC交⊙O于点D，BC2＝CD·CA，eq\o(ED,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))，BE交AC于点F.(1)求证：BC为⊙O的切线；(2)判断△BCF的形状并说明理由；(3)已知BC＝15，CD＝9，∠BAC＝36°，求eq\o(BD,\s\up8(︵))的长度(结果保留π).20.如图，⊙O的直径AB＝4，C为⊙O上一点，AC＝2.过点C作⊙O的切线DC，P点为优弧eq\o(CBA,\s\up8(︵))上一动点(不与A、C重合)．(1)求∠APC与∠ACD的度数；(2)当点P移动到劣弧eq\o(CB,\s\up8(︵))的中点时，求证：四边形OBPC是菱形；(3)当PC为⊙O的直径时，求证：△APC与△ABC全等．2021中考数学专题训练：圆的有关性质-答案一、选择题1.【答案】C[解析]∵AB是直径，∴∠C=90°，∴BC=AB2-∵OD⊥AC，∴CD=AD=12AC=4∴BD=BC2+CD22.【答案】A【解析】∵OA＝OB，∠A＝50°，∴∠B＝50°，∴∠AOB＝180°－∠A－∠B＝180°－50°－50°＝80°，∵点C是eq\o(AB,\s\up8(︵))的中点，∴∠BOC＝∠AOC＝eq\f(1,2)∠AOB＝40°，故选A.3.【答案】B[解析]AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，由垂径定理可以得到CE＝DE，eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))，eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(AD,\s\up8(︵)).但并不一定能得到OE＝BE，OC＝BC，从而A，C，D选项都是错误的．故选B.4.【答案】C5.【答案】D6.【答案】A【解析】如图，连接AC，∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，∴∠DAB=180°–∠C=70°，∵，∴∠CAB=∠DAB=35°，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC=90°–∠CAB=55°，故选A．7.【答案】D[解析]如图，延长AO交BC于点D，过点O作OE⊥BC于点E.∵∠A＝∠B＝60°，∴△DAB是等边三角形，∴AD＝DB＝AB＝12，∠ADB＝∠A＝60°，∴OD＝AD－OA＝12－8＝4.在Rt△ODE中，∵∠DOE＝90°－∠ADB＝30°，∴DE＝eq\f(1,2)OD＝2，∴BE＝DB－DE＝12－2＝10.由垂径定理，知BC＝2BE＝20.8.【答案】D[解析]如图，连接OB，OA，OP，设OB与AP交于点D.由PB＝AB可知eq\o(PB,\s\up8(︵))＝eq\o(AB,\s\up8(︵))，从而可知OB⊥AP.运用“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”及“同圆的半径相等”可知△OAB为等边三角形，在Rt△OAD中，运用“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”及勾股定理列方程可求得AD的长，从而可求出AP的长为5eq\r(3).故选D.二、填空题9.【答案】50°【解析】∵AT是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴∠BAT＝90°，在Rt△BAT中，∵∠ABT＝40°，∴∠ATB＝50°.10.【答案】10或70[解析]作OD⊥AB于C，OD交☉O于点D，连接OB.由垂径定理得:BC=12AB=30cm在Rt△OBC中，OC=OB2-当水位上升到圆心以下且水面宽80cm时，圆心到水面距离=502-水面上升的高度为:40-30=10(cm).当水位上升到圆心以上且水面宽80cm时，水面上升的高度为:40+30=70(cm).综上可得，水面上升的高度为10cm或70cm.故答案为10或70.11.【答案】2或14[解析]①当弦AB和CD在圆心同侧时，连接OA，OC，过点O作OE⊥CD于点F，交AB于点E，如图①，∵AB＝16cm，CD＝12cm，∴AE＝8cm，CF＝6cm.∵OA＝OC＝10cm，∴EO＝6cm，OF＝8cm，∴EF＝OF－OE＝2cm；②当弦AB和CD在圆心异侧时，连接OA，OC，过点O作OE⊥CD于点E并反向延长交AB于点F，如图②，∵AB＝16cm，CD＝12cm，∴AF＝8cm，CE＝6cm.∵OA＝OC＝10cm，∴OF＝6cm，OE＝8cm，∴EF＝OF＋OE＝14cm.∴AB与CD之间的距离为2cm或14cm.12.【答案】5[解析]∵OE过圆心且与PA垂直，∴PE＝EA.同理PF＝FB，∴EF是△PAB的中位线，∴EF＝eq\f(1,2)AB＝5.13.【答案】12[解析]连接OD，因为CD⊥OC，所以CD=O根据题意可知圆半径一定，故当OC最小时CD最大.当OC⊥AB时OC最小，CD最大值=12AB=114.【答案】eq\r(3)[解析]如图，连接OD，过点O作OH⊥AB于点H，则AH＝BH＝eq\f(1,2)AB＝eq\r(3).∵CD⊥OC，∴CD＝eq\r(OD2－OC2).∵OD为⊙O的半径，∴当OC最小时，CD最大．当点C运动到点H时，OC最小，此时CD＝BH＝eq\r(3)，即CD的最大值为eq\r(3).15.【答案】40[解析]∵∠BCD＝180°－∠A＝125°，∠CBF＝∠A＋∠E＝85°，∴∠F＝∠BCD－∠CBF＝125°－85°＝40°.16.【答案】10或70[解析]对于半径为50cm的圆而言，圆心到长为60cm的弦的距离为40cm，到长为80cm的弦的距离为30cm.①当圆心在两平行弦之外时，两弦间的距离＝40－30＝10(cm)；②当圆心在两平行弦之间时，两弦间的距离＝40＋30＝70(cm)．综上所述，水位上升10cm或70cm.三、解答题17.【答案】证明:(1)∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°.∵DE⊥AB，∴∠DEO=90°，∴∠DEO=∠ACB.∵OD∥BC，∴∠DOE=∠ABC，∴△DOE∽△ABC.(2)∵△DOE∽△ABC，∴∠ODE=∠A.∵∠A和∠BDC都是BC所对的圆周角，∴∠A=∠BDC，∴∠ODE=∠BDC.∴∠ODF=∠BDE.18.【答案】解:连接CO并延长，交AB于点D，∴CD⊥AB，且D为AB中点，所求运行轨道的最高点C到弦AB所在直线的距离即为线段CD的长.在Rt△AOD中，∵AD=12AB=3，∠OAD=41.3°∴OD=AD·tan41.3°≈3×0.88=2.64，OA=ADcos41.3°≈∴CD=CO+OD=AO+OD=4+2.64=6.64(米).答:运行轨道的最高点C到弦AB所在直线的距离约为6.64米.19.【答案】(1)证明：∵BC2＝CD·CA，∴eq\f(BC,CA)＝eq\f(CD,BC)，∵∠C＝∠C，∴△CBD∽△CAB，∴∠CBD＝∠BAC，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠BAC＋∠ABD＝90°，∴∠ABD＋∠CBD＝90°，即AB⊥BC，又∵AB为⊙O的直径，∴BC为⊙O的切线；(2)解：△BCF为等腰三角形．证明如下：∵eq\o(ED,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))，∴∠DAE＝∠BAC，又∵△CBD∽△CAB，∴∠BAC＝∠CBD，∴∠CBD＝∠DAE，∵∠DAE＝∠DBF，∴∠DBF＝∠CBD，∵∠BDF＝90°，∴∠BDC＝∠BDF＝90°，∵BD＝BD，∴△BDF≌△BDC，∴BF＝BC，∴△BCF为等腰三角形；(3)解：由(1)知，BC为⊙O的切线，∴∠ABC＝90°∵BC2＝CD·CA，∴AC＝eq\f(BC2,CD)＝eq\f(152,9)＝25，由勾股定理得AB＝eq\r(AC2－BC2)＝eq\r(252－152)＝20，∴⊙O的半径为r＝eq\f(AB,2)＝10，∵∠BAC＝36°，∴eq\o(BD,\s\up8(︵))所对圆心角为72°.则eq\o(BD,\s\up8(︵))＝eq\f(72×π×10,180)＝4π.20.【答案】(1)解：∵AC＝2，OA＝OB＝OC＝eq\f(1,2)AB＝2，∴AC＝OA＝OC，∴△ACO为等边三角形，∴∠AOC＝∠ACO＝∠OAC＝60°，∴∠APC＝eq\f(1,2)∠AOC＝30°，又∵DC与⊙O相切于点C，∴OC⊥DC，∴∠DCO＝