人教A版必修第一册412无理数指数幂及其运算性质学案

第2课时无理数指数幂及其运算性质[新课程标准][新学法解读]通过对有理数指数幂aeq\s\up15(eq\f(m,n))(a>0且a≠1，m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1，x∈R)含义的熟悉，了解指数幂的拓展过程，把握指数幂的运算性质.通过对有理数指数幂aeq\s\up15(eq\f(m,n))、实数指数幂ax含义的熟悉，提升数学抽象素养，通过指数幂运算性质的应用，提升数学运算素养.[笔记教材]学问点实数指数幂的运算性质(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈R)．(2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈R)．(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R)．[自我排查]1.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(xeq\s\up15(eq\f(1,3))·\r(3,x－2))))eq\s\up15(－eq\f(8,5))化成分数指数幂为()A．xeq\s\up15(eq\f(1,2))B．xeq\s\up15(eq\f(4,15))C．x－eq\s\up15(eq\f(4,15))D．xeq\s\up15(eq\f(2,5))答案：B解析：(eq\r(xeq\s\up15(eq\f(1,3))·\r(3,x－2)))eq\s\up15(－eq\f(8,5))＝(eq\r(xeq\s\up15(eq\f(1,3))·xeq\s\up15(－eq\f(2,3))))eq\s\up15(－eq\f(8,5))＝(eq\r(xeq\s\up15(－eq\f(1,3))))eq\s\up15(－eq\f(8,5))＝(xeq\s\up15(－eq\f(1,6)))eq\s\up15(－eq\f(8,5))＝xeq\s\up15(eq\f(4,15)).应选B．2．化简eq\f(\r(a3b2\r(3,ab2)),aeq\s\up15(eq\f(1,4))beq\s\up15(eq\f(1,2))4·\r(3,\f(b,a)))(a＞0，b＞0)的结果是()A．eq\f(b,a)B．abC．eq\f(a,b)D．a2b答案：C解析：原式＝[a3b2(ab2)eq\s\up15(eq\f(1,3))]eq\s\up15(eq\f(1,2))÷(a1b2beq\s\up15(eq\f(1,3))aeq\s\up15(－eq\f(1,3)))＝a(3＋eq\s\up15(eq\f(1,3)))×eq\s\up15(eq\f(1,2))·b(2＋eq\s\up15(eq\f(2,3)))×eq\s\up15(eq\f(1,2))÷(aeq\s\up15(eq\f(2,3))beq\s\up15(eq\f(7,3)))＝aeq\s\up15(eq\f(5,3))eq\s\up15(－eq\f(2,3))×beq\s\up15(eq\f(4,3))eq\s\up15(－eq\f(7,3))＝eq\f(a,b).3．设aeq\s\up15(eq\f(1,2))－aeq\s\up15(－eq\f(1,2))＝m，那么eq\f(a2＋1,a)＝()A．m2－2 B．2－m2C．m2＋2 D．m2答案：C解析：将aeq\s\up15(eq\f(1,2))－aeq\s\up15(－eq\f(1,2))＝m平方，得(aeq\s\up15(eq\f(1,2))－aeq\s\up15(－eq\f(1,2)))2＝m2，即a－2＋a－1＝m2，所以a＋a－1＝m2＋2，即a＋eq\f(1,a)＝m2＋2⇒eq\f(a2＋1,a)＝m2＋2.4．设6m＝2,6n＝3，那么m2＋n2＋2mn＝()A．eq\f(1,2)B．1C．2D．3答案：B解析：∵6m＝2,6n＝3，∴m＋n＝1，∴m2＋n2＋2mn＝(m＋n)2＝1，应选B．实数指数幂的运算[典例1](1)化简：2×(eq\r(3,2)×eq\r(3))6＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2\r(2))))eq\s\up15(eq\f(4,3))－4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,9)))eq\s\up15(－eq\f(1,2))－eq\r(4,2)×8＋(－2022)0＝________.答案：214解析：原式＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2eq\s\up15(eq\f(1,3))×3eq\s\up15(eq\f(1,2))))6＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2eq\s\up15(eq\f(1,2))×2eq\s\up15(eq\f(1,4))))eq\s\up15(eq\f(4,3))－4×eq\f(3,4)－2eq\s\up15(eq\f(1,4))×2eq\s\up15(eq\f(3,4))＋1＝2×22×33＋2－3－2＋1＝214.故答案为214.(2)将以下根式与分数指数幂进行互化．①a3·eq\r(3,a2)；②eq\r(a－4b2\r(3,ab2))(a>b，b>0)．解：①a3·eq\r(3,a2)＝a3·aeq\s\up15(eq\f(2,3))＝a3＋eq\s\up15(eq\f(2,3))＝aeq\s\up15(eq\f(11,3)).②eq\r(a－4b2\r(3,ab2))＝eq\r(a－4b2·ab2eq\s\up15(eq\f(1,3)))＝eq\r(a－4b2aeq\s\up15(eq\f(1,3))beq\s\up15(eq\f(2,3)))＝eq\r(aeq\s\up15(－eq\f(11,3))beq\s\up15(eq\f(8,3)))＝aeq\s\up15(－eq\f(11,6))beq\s\up15(eq\f(4,3)).[巧归纳]化简结果的一个要求和两个不能[练习1]eq\s\up15(－eq\f(1,3))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,8)))0＋16eq\s\up15(eq\f(1,2))；(2)eq\r(7＋4\r(3))＋eq\r(7－4\r(3))；(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(3)＋\r(2))))0－eq\r(－32)＋8eq\s\up15(eq\f(2,3)).解：3)eq\s\up15(－eq\f(1,3))－1＋16eq\s\up15(eq\f(3,4))＋eq\f(1,10)＝eq\f(5,2)－1＋8＋eq\f(1,10)＝eq\f(48,5).(2)原式＝eq\r(2＋\r(3)2)＋eq\r(2－\r(3)2)＝|2＋eq\r(3)|＋|2－eq\r(3)|＝2＋eq\r(3)＋2－eq\r(3)＝4.(3)原式＝1－3＋4＝2.利用分数指数幂的运算性质化简求值[典例2]求以下各式的值：eq\s\up15(－eq\f(1,3))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,7)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(7,9)))eq\s\up15(eq\f(1,2))－(eq\r(2)－eq\r(5))0；(2)3eq\r(2)×eq\r(3,1.5)×eq\r(6,18).解：(1)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,1000)))eq\s\up15(－eq\f(1,3))－(－1)－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,9)))eq\s\up15(eq\f(1,2))－1＝eq\f(10,3)－49＋eq\f(5,3)－1＝－45.(2)原式＝3×2eq\s\up15(eq\f(1,2))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up15(eq\f(1,3))×(2×32)eq\s\up15(eq\f(1,6))＝3×2eq\s\up15(eq\f(1,2))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(1,3))×3eq\s\up15(eq\f(1,3))×2eq\s\up15(eq\f(1,6))×3eq\s\up15(eq\f(1,3))＝2eq\s\up15(eq\f(1,2))eq\s\up15(+eq\f(1,6))eq\s\up15(－eq\f(1,3))×31eq\s\up15(+eq\f(1,3))eq\s\up15(+eq\f(1,3))＝2eq\s\up15(eq\f(1,3))×3eq\s\up15(eq\f(5,3))＝486eq\s\up15(eq\f(1,3))＝3eq\r(3,18).[巧归纳]1．指数幂运算的常用技巧(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算．(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．2．根式化简的步骤(1)将根式化成分数指数幂的形式．(2)利用分数指数幂的运算性质求解．[练习2]计算(化简)以下各式：(1)eq\r(3,－43)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0eq\s\up15(eq\f(1,2))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1,\r(2))))－4；(2)2eq\s\up15(－eq\f(1,2))＋eq\f(－40,\r(2))＋eq\f(1,\r(2)－1)－eq\r(1－\r(5)0).解：×(eq\r(2))4×4＝－5＋2＝－3.(2)原式＝eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(2))＋(eq\r(2)＋1)－1＝eq\f(2,\r(2))＋eq\r(2)＝eq\r(2)＋eq\r(2)＝2eq\r(2).指数幂运算中的条件求值[典例3](1)假设a＋a－1＝4，那么a2＋a－2＝________.答案：14解析：由于a＋a－1＝4，所以a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝16－2＝14.(2)a2m＋n＝2－2，am－n＝28，a>0，且a≠1，那么a4m＋n的值为________．答案：4(3)假设xeq\s\up15(eq\f(1,2))＋xeq\s\up15(－eq\f(1,2))＝3，求xeq\s\up15(eq\f(3,2))＋xeq\s\up15(－eq\f(3,2))的值．解：由于xeq\s\up15(eq\f(1,2))＋xeq\s\up15(－eq\f(1,2))＝3，所以两边平方，得(xeq\s\up15(eq\f(1,2))＋xeq\s\up15(－eq\f(1,2)))2＝9，那么x＋x－1＝7，xeq\s\up15(eq\f(3,2))＋xeq\s\up15(－eq\f(3,2))＝(xeq\s\up15(eq\f(1,2)))3＋(xeq\s\up15(－eq\f(1,2)))3＝(xeq\s\up15(eq\f(1,2))＋xeq\s\up15(－eq\f(1,2)))(x－1＋x－1)＝3×6＝18.[巧归纳]条件求值问题的常用方法(1)整体代入：从条件中解出所含字母的值，然后再代入求值，这种方法一般是不行取的，而应设法从整体查找所求结果与条件的联系，进而整体代入求值．(2)求值后代入：所求结果涉及的某些局部，可以作为一个整体先求出其值，然后再代入求最终结果．[练习3]a－eq\f(1,a)＝3(a>0)，那么a2＋a＋a－2＋a－1的值等于()A．13－eq\r(11) B．11－eq\r(13)C．13＋eq\r(11) D．11＋eq\r(13)答案：D解析：由a－eq\f(1,a)＝3(a>0)，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,a)))2＝9，所以a2＋eq\f(1,a2)－2＝9，故a2＋a－2＝11.又(a＋a－1)2＝a2＋a－2＋2＝11＋2＝13，且a>0，所以a＋a－1＝eq\r(13).于是a2＋a＋a－2＋a－1＝11＋eq\r(13).应选D．1．(eq\r(3))eq\r(2)·(eq\r(3))eq\r(2)的值是()A．3B．3eq\a\vs4\al(\r(2))C．9D．81答案：B解析：(eq\r(3))eq\r(2)·(eq\r(3))eq\r(2)＝[(eq\r(3))2]eq\r(2)＝3eq\r(2).2．a2x＝5，那么eq\f(a3x－a－3x,ax－a－x)＝________.答案：eq\f(31,5)解析：eq\f(a3x－a－3x,ax－a－x)＝eq\f(ax－a－xa2x＋1＋a－2x,ax－a－x)＝a2x＋1＋a－2x＝5＋1＋eq\f(1,5)＝eq\f(31,5).故答案为eq\f(31,5).3．设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，那么2α·2β＝________，(2α)β＝________.答案：eq\f(1,4)2eq\s\up15(eq\f(1,5))解析：利用一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝eq\f(1,5)，那么2α·2β＝2α＋β＝2－2＝eq\f(1,4)，(2α)β＝2αβ＝2eq\s\up15(eq\f(1,5)).4．化简：eq\f(x－1,xeq\s\up15(eq\f(2,3))＋xeq\s\up15(eq\f(1,3))＋1)＋eq\f(x＋1,xeq\s\up15(eq\f(1,3))＋1)－eq\f(x－xeq\s\up15(eq\f(1,3)),xeq\s\up15(eq\f(1,3))－1).解：原式＝eq\f(xeq\s\up15(eq\f(1,3))－1xeq\s\up15(eq\f(2,3))＋xeq\s\up15(eq\f(1,3))＋1,xeq\s\up15(eq\f(2,3))＋xeq\s\up15(eq\f(1,3))＋1)＋eq\f(xeq\s\up15(eq\f(1,3))＋1xeq\s\up15(eq\f(2,3))－xeq\s\up15(eq\f(1,3))＋1,xeq\s\up15(eq\f(1,3))＋1)－eq\f(xeq\s\up15(eq\f(1,3))