2022高考数学总复习52向量的数量积夯实基础大纲人教版

向量的数量积稳固·夯实基础一、自主梳理数量积的观点向量的夹角:如图,已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB=θ0°≤θ≤180°叫做向量a与b的夹角,记作〈a,b〉2数量积的定义:已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|coθ叫做a与b的数量积,记作a·b,即a·b=|a||b|coθ3数量积的几何意义:数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影|b|coθ的乘积数量积的性质：设e是单位向量,〈a,e〉=θ1e·a=a·e=|a|coθ2当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|特别地,a·a=|a|2或|a|=3a⊥ba·b=04coθ=

a?b|a||b|5|a·b|≤|a||b|运算律：1a·b=b·a;2λa·b=λa·b=a·λb;3ab·c=a·cb·c向量数量积的坐标运算：设a=1,1,b=2,2,则1a·b=1212;2|a|=x12y12;3co〈a,b〉=x1x2y1y2;4a⊥ba·b=0=0x12y12?x22y221212二、点击双基的夹角为60°,|b|=4,a2b·a-3b=-72,则向量a的模是解析：a2b·a-3b=|a|2-|a||b|co60°-6|b|2=|a|2-2|a|-96=-72,∴|a|2-2|a|-24=0∴|a|-6·|a|4=0∴|a|=6答案：C22022北京海淀模拟理已知|a|=1,|b|=2,c=ab,c⊥a,则a与b的夹角大小为AB5CD26363解析：c⊥a,则c·a=0,即ab·a=0,即a2=-a·b∴a·b=-a2=-1,即|a||b|coθ=-1∴coθ=-1=-1∴θ=21223答案：D文已知向量a、b知足|a|=2,|b|=1,a-b·b=0,那么向量a、b的夹角为°°°°解析：a-b·b=0,即a·b=b2∵|b|=1,∴a·b=1,即|b||a|coα=1∴coα=1=1∴α=60°应选C|a||b|2答案：C上海高考理已知点A1，-2，若向量与a=2，3同向，||=2，则点B的坐标为_____________________解析：设∵与

A点坐标为A,A,B点坐标为B,Ba同向，∴可设=λa=2λ,3λλ＞0∴||=

(2)2

(3

)2

=2∴λ=2则=B-A,B-A=4,6,xBxA4,∴xA6.yBxA1,xB5,∵∴yA2,xB4.∴B点坐标为5，4答案：5，4文已知点A-1，-5和向量a=2，3，若=3a，则点B的坐标为_________________解析：设B点坐标为B,B,则=B1,B5=3a=6,9,xB16,xB5,∴∴∴B5,4yB59.yB4.答案：5，44天津高考，文已知|a|=2,|b|=4,a与b的夹角为,以a、b为邻边作平行四边形,则此平3行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为___________________________解析：绘图可知，较短的一条对角线的长度为|a|2|b|22|a||b|cos=23答案：2诱思·实例点拨【例1】判断下列各命题正确与否：若a≠0，a·b=a·c，则b=c；若a·b=a·c，则b≠c当且仅当a=0时建立；3a·bc=ab·c对随意愿量a、b、c

都建立；4对任一向量a，有a2=|a|2解析：12可由数量积的定义判断

3经过计算判断

4把

a2转变成

a·a=|a|

2可判断解：1a·b=a·c，∴|a||b|coα=|a||c|coβ其中α、β分别为a与b，a与c的夹角∵|a|≠0,∴|b|coα=|c|coβ∵coα与coβ不一定相等，∴|b|与|c|不一定相等∴b与c也不一定相等∴1不正确2若a·b=a·c，则|a||b|co∴|a||b|coα-|c|coβ=0∴|a|=0或|b|coα=|c|coβ

α=|a||c|co

βα、β为

a与

b，a与

c的夹角当b≠c时，|b|coα与|c|coβ可能相等∴2不正确3a·bc=|a||b|coαc,ab·c=a|b||c|coθ其中α、θ分别为a与b，b与

c的夹角·bc是与c共线的向量,ab·c是与a共线的向量∴3不正确4正确讲评：判断上述问题的重点是要掌握向量的数量积的含义，向量的数量积的运算律不同于实数乘法的运算律【例2】在直角坐标系O中，已知点P2co1,2co22和点垂直，求的值解：由⊥，得co2co1-2co22==0，

Qco,-1，其中∈［

0,π］若向量与于是co=0或co=12又∵∈［0，π］，∴=或23链接·拓展此题把∈［0，π］改为∈R，求的值略解：=π或=2π±∈Z23定义f=·,∈［0，π］,求f的值域提示：f=-2co2co,令t=co,则t∈［-1,1］则=-2t2t=-2t-121∈