哈尔滨某大学结构力学I八

2.3体系运动方程的一般形式

在单自由度和两自由度的基础上，不难推广得到n个自由度体系的情况。在记[M]—质量阵、[C]—阻尼阵、[K]—刚度阵、[P]eq—等效荷载阵；[d]、[v]、[a]—为位移、速度、加速度阵；[f]—柔度阵；[]P—荷载位移阵情况下刚度法列式结果

[M][a]+[C][v]+[K][d]=[P]eq柔度法列式结果[d]=[f](-[M][a]-[C][v])+[]P由此可见，两种列式间的关系为[K]=[f]-1；[P]eq=[K][]P在集中质量时[M]为对角阵，由互等定理可知[K]和[f]为对称矩阵。2.4应注意的几个问题1）在单自由度情况下，刚度（反力）系数和柔度系数互为倒数。2）在两和多自由度情况下，刚度（反力）矩阵和柔度矩阵互为逆矩阵，但其元素之间不存在倒数关系。3）[P]eq并不一定等于外荷载排成的列阵。在动外荷下它由各自由度均被约束时，动荷引起的约束反力所组成。或者由[P]eq=[K][]P=[f]-1[]P来计算。4）具体结构究竟用什麽方法列运动方程，要对比求什麽系数工作量少来定。一般静定结构用柔度法、由无穷刚梁的剪切型结构用刚度法。5）虽然从原理上[C]=[Cij]，但实际两和多自由度分析时阻尼矩阵并非由阻尼系数组成，这将在第四章多自由度分析中再讨论。2.5刚度法、柔度法列方程的步骤刚度法（无阻尼）1）确定自由度，确定自由度方向的质量，从而建立（集中）质量矩阵[M]。2）加约束限制全部质点自由度方向的位移，求动力外荷载引起的支座约束反力。按自由度顺序排列这些反力，得到等效荷载矩阵[P]eq。3）对全部质点自由度方向的位移被约束的结构，令j自由度发生单位位移，求第i个约束的反力，它就是刚度系数Kij。由此建立刚度矩阵[K]。4）由上述结果即可建立运动方程

[M][a]+[K][d]=[P]eq2.5刚度法、柔度法列方程的步骤柔度法（无阻尼）1）确定自由度，确定自由度方向的质量，从而建立（集中）质量矩阵[M]。2）在质点自由度方向加单位例，作单位弯矩图。3）在动例外荷作用下，作荷载弯矩图。4）根据单位弯矩图求柔度系数ij。由此建立柔度矩阵[f]。5）由单位和荷载弯矩图求荷载位移iP，由此建立荷载位移矩阵[]P。6）由上述结果即可建立运动方程[d]=[f](-[M][a])+[]P2.6运动方程建立总结根据达朗泊尔原理和所假定的阻尼理论，确定自由度後可确定惯性力和阻尼力。由具体结构情况，视那类系数求取方便，确定列方程的方法。所有问题都可用两种方法建立方程，两种方程间可以相互转换。外界“荷载”是支座（例如地震时的地面运动）运动时，支座为牵连运动，惯性力对应绝对加速度，弹性恢复力对应相对位移。经推导得[P]eq=-[M][1]ag。其中[1]为元素均为1的向量。请自行验证。三、单自由度体系振动分析3.1单自由度体系自由振动3.2单自由度体系受迫振动3.3非线性反应分析3.4几点结论和讨论3.1单自由度体系自由振动本章部分内容在理论力学振动这一章学过，但除回顾外，也有所扩展。它是后面分析的基础，请下功夫学好！3.1.1自由振动方程的通解上一章已指出，不管什麽结构、用什麽方法建立方程，单自由度体系最终运动方程均可写为自由振动分析时，P(t)=0。上式可改为3.1单自由度体系自由振动由此可得特征方程：s2+2s+2=0。根据判别式有三种可能情况：式中由常系数常微分方程理论可设1)>1，特征方程有两个实根，称作超阻尼情况。这时体系不发生振荡，从工程角度没有意义。2)=1，特征方程有两个实重根，称作临界阻尼情况。这时体系也不发生振荡，这时阻尼系数为，称作临界阻尼系数。阻尼比固有频率3.1单自由度体系自由振动式中由此可得3)<1，特征方程有一对共轭复根，称作小阻尼情况。此时积分常数C1、C2由初始位移、速度确定，可得有阻尼频率3.1单自由度体系自由振动可见有阻尼自由振动的解答是按指数规律衰减的简谐运动。衰减的速度随、增大而加快。如果记振幅为A，初相位为，也即则运动方程解答也可写为3.1.2无阻尼自由振动它可作为特例，令上述结果中等于零得到。它是由初位移、初速度引起的简谐运动，运动全过程能量守恒。3.1单自由度体系自由振动3.1.3结构阻尼比的一种确定方法设由拉一初位移后突然释放，或给结构一个突然的冲击（如放一小火箭），由试验获得了阻尼振动的记录如教材的图2-9。由此可量测得t时刻和n周后的振幅（一般测峰值位移，记T为有阻尼周期）分别为ut和ut+nT。记ut/ut+nT的自然对数为n（1称为对数衰减率），由阻尼振动解答可得由于<<1，由此可得一般钢混结构0.05，钢结构(0.02~0.03)。3.1单自由度体系自由振动3.1.4无阻尼自由振动的进一步说明结构固有频率和阻尼频率d严格说不相等，阻尼使d减少，从而使周期Td增长。由于结构阻尼很小，因此可近似认为阻尼频率、周期和无阻尼的相等。结构固有频率可有如下各种等价的计算公式只要搞清这些公式各符号的含义，因此记住第一个，根据具体问题已知条件情况，就可变出其他的。改变系统质量或刚度可改变固有频率。不管具体结构如何，在同样干扰下相同频率结构的反应相同。3.2单自由度体系受迫振动3.2.1单自由度受迫振动的通解有任意荷载作用的单自由度运动方程为可见关键在如何求得特解。对线性体系可通过叠加原理来获得。设t=之前体系静止，在t=到+时间间隔内受到冲量I=P(t)的作用，根据冲量定理有由微分方程理论可知，u=u1+u2。u1为齐次方程（自由振动）通解，u2为非齐次方程的一个特解。这说明冲量作用结果体系所产生的位移u是2量级的量。因此t>之后为仅有初速度I/m的自由振动。3.2单自由度体系受迫振动根据上一节可得仅初位移引起的解答u2为记u2/I=h(t-)，称作单位脉冲函数（单位冲量引起的位移）。则上式可改写作再将任意荷载看成一系列独立的冲量（脉冲），则由叠加原理可得3.2单自由度体系受迫振动或者上式是运动方程特解（可代入运动微分方程证明），也可看成零初始条件的解答（因为u2(0)=0）。将其和齐次方程解合在一起，即可得通解为上式也可由代入单位脉冲函数来改写，这里从略。称作Duhamel积分3.2单自由度体系受迫振动有了有阻尼的通解，无阻尼情况的Duhamel积分和通解可作为特例得到（当然也可经类似推导得到）3.2.2典型荷载的反应(主要讨论有阻尼,无阻尼为特例)有了通解，对给定的荷载情况，代入并积分即可得到各种具体荷载下的解答。1)简谐荷载将荷载代入通解，积分后可得其解答。也可用带待定常数的齐次解和特解asint+bcost来求。结果如下3.2单自由度体系受迫振动3.勇2单自由盼度体系币受迫振裹动这解弟答中塘的第系一项沃为初肢始条颂件引援起的布自由盟振动哑，第摧二项关为荷仓载（饰干扰武）引利起的仗自由敢振动炊（称遗作伴随松振动）。绑它们拢的频孩率都既是d，都按指蠢数规律疯衰减。毁因此一缘瑞段时间缸后，都薄将逐渐逼消失。气自由振躬动消失存前的运律动称瞬膛态阶段隆。第三项瞎是以干塞扰频率惧进行的等幅振呜动，称“纯受迫斥振动（或享稳态释阶段豪）”，工程中利只关心猫它记3.邀2单自由门度体系赛受迫振婆动则纯受冬迫振动叔的解可易写为ust为荷载躲幅值作昆用下的织静位移幸，称位沈移放蓬大系蔽数（背也称动力捏系数）。无划阻尼情移况可令=0得到废（当冻然也她可类哑似地犹直接忽推得飞）。动力由系数取决尘于、/（频率忽比），拢各种下-曲线如P.什23的图龟示意汉。可滑见对影响十造分显著得，增大将使减小麦，也芹即使吧反应减减小。在1时1/找2，当无含阻尼共开振时趋于吸无穷岩，可纽奉见阻尼盗对共填振影零响显绕著，阵必须乓考虑。3.2单自池由度限体系巴受迫谜振动0.辫75状1.给25的范席围称共振区，为能了简阶化，回在共帆振区伶外可旋不计等阻尼同影响辰。有阻尤尼时的最韵大值并不在=1处，增而在=[1柏-22]1/使2处。护由于叔阻尼度很小抱，可近惨似认昼为在=1处。阻尼增体系隶的位御移反图应比通荷载唉滞后败一相嘉位：趋于0，滞倒后趋得于0。体系弹棕性恢复贝力趋于锻和动荷卫载平衡掏，位移劳和荷载呈同向。趋于1，滞货后趋镜于90度。体系阻前尼力趋养于和动朽荷载平聚衡。再次方看到共澡振时阻抹尼的作点用不可雀忽视。趋于无心穷，滞后颠趋于18以0度。体系惯软性力趋肯于和动敢荷载平去衡，位泊移和荷荒载反向。2)突加荷吵载将荷麦载代辉入Duh躬ame韵l积分露，可晶得反诉应为3.2单自怜由度妇体系沈受迫捏振动其u-dt曲线鞭如(龙P.值21)图，可鸣见开始附时接近2，也捡即突由加荷序载所烈产生冒的最盟大位塘移接砖近静拘位移赔的2倍。无阻索尼情慌况等于2。3)周期类荷载P(t)（设周斩期为TP）下的字稳态另反应周期荷诸载的Fou挂rie肃r展开为3.2单自由糟度体系清受迫振千动这表明艰，周期赚荷载可节分解成蔽一个常茧量荷载艘和一系触列简谐歇荷载的斯叠加。在a0作用杏下产喷生ust=a0/k的静位召移。在aico洽sit和bisinit简谐棕荷载熄下（袖稳态犁解）3.妙2单自由软度体系坟受迫振部动由此两丈部分综霸合即可鲁得周期默荷载下弹的稳态气解答。咬无阻尼毛情况可亮令=0得到艺（当脊然也赖可类闭似地亚直接顿推得肠）。教材上雷还介绍烘了矩形巴脉冲、镰三角形呢脉冲等阀荷载下劣的反应慰，这里酷只说明更以下几机点：1)这种荷紫载都是决短时作赠用荷载替。2)用Du跑ha倦me远l积分将求t时刻答反应储时，景应该幅区分t在无琴荷载饶阶段脱荷还狸是有柳荷载缩慧阶段木。3)动力项系数疲和“持续作拔用时间t1和体系检周期的困比值有物关”。其价结果罢可看永教材减上的棒表。4)其他解伏析荷载拳，均可孕由Du贿ha余me捎l积分获敏得位移碍反应。偿当荷载丈规律用体一系列办离散数碎据表示孟时，可递经编程互用数值耐积分来汤求Duh啦ame孔l积分。淹有关内吵容可参盯考Ra鉴y症W.设C核lo萌ug串h等的教滔材。3.鲜2单自由古度体系感受迫振雁动3.2火.3受迫振挂动举例hmF(t)EI=常数；=0.05荷载悟幅值盟下的让静位尿移ust=F艰/k候=F咱h3/24EI，因此稳劳态反应县为例1：试锻求图吸示结圈构在F(t)=Fsi当n0擦.6t作用批下的挪稳态付反应叉。为固有受频率。解：[结构的k=2虑4EI/蹲h3，=k吼/m]由题目庭可知频俘率比为0.脱6，代套入动雷力系默数和坊相位续角公疤式可饺得3.2单自由领度体系慌受迫振串动在荷载鬼幅值作聪用下的而弯矩图逆如图所汽示，杆灰端弯矩Mst值为0.2浇5Fh，由于亡静位事移被墨放大倍，辈由此旁得因此，泡最大动自弯矩为0.3表89Fh。作业题迎：如果本板例中荷召载作用其在左柱h/2处，试宫求：1）最大厉静位移业等于多嚷少？2）最大动缺位移等睛于多少踢？3）最大榆静弯矩忽等于多倘少？4）最大箭动弯矩查等于多栏少？由灭此能总材结什麽独结论？hmF(t)EI=常数；=0.053.质3非线性宾反应分建析当系叫统的腰阻尼邪、刚费度随邮速度絮、位谣移变白化时欢，运讽动方校程是断非线抄性的扩，这围时Du乐ha理me搬l积分不昼再适用别。但不紧管线数性还静是非猎线性介，“动铃平衡咏”方符程都斯是úfd(t)ú(t)úfdúú(t+t)3.隶3.以1非线性否问题的寄增量方攀程设阻尼阳力、弹悦性恢复滚力和荷脚载曲线捉如图所炼示。fs(t)uu(t)u(t+t)ufsP(t)ttt+ttP3.3非线腊性反他应分牛析又设m不随时矩间变化嫩。并记c(t)ú叼=fd，k(t)u=局fs。则由t+跌t时刻和t时刻方违程相减缩慧可得当t很小恶时c(t)、k(t)可取t时刻曲住线的斜霜率，这个摩增量方五程形式引和线性掏系统一值样。如果已逼知t时刻c(t)、k(t)、位移、株速度、球加速度甘（称状痛态向量禽），设牲法从插增量劝方程应求得唉位移国、速杏度、验加速拨度的备增量选，则关显然碍可以排求得t+臂t时刻状肾态向量干，重复粗这一过挂程即可茄求得非艳线性问伙题的数显值解答霞。3.暗3.赌2增量粮方程斧的逐张步积烂分法增量恳方程店的逐扮步积刷分方晌法很墓多，衣这里迹先介泛绍一调种“线加速葛度法”。3.3非线性本反应分纲析设0t，在t时间示间隔织内加按速度尽线性劣变化侄，也炊即则积分垂一次可颗得速度助，积分壶两次可说得位移令=饮t，由位的移方猾程可罩将加讨速度介增量陷用位药移增庸量表幅示，叉代回材速度妹方程教可得台以下投结果3.脖3非线胜性反辞应分蓄析将上述ü、ú代回增港量方程整理拜后可宏得等效堤刚度等效骨荷载3.3非线达性反艳应分节析如果比已知t时刻c(t)、k(t)、状态向熄量，则径可求得校等效刚流度、等潮效荷载熄，从而求求得位挡移增量砖。将位移载增量代尊回速度(、加此速度)增量伏的公跑式，抗由位窗移增巨量和t时刻状绩态向量袋可求得裂速度(、加驻速度)增量网。将t时刻状近态向量摘和位移甜、速度咳增量相闪加，即袖可求得t+居t时刻位味移、速阁度。(也可胳求加含速度)由t+双t时刻辈位移体、速碍度求fd(t+t)和fs(t+t)。最后暖，由t+找t时刻的“动某平衡冠”方冤程求t+富t时刻加咽速度，弊即可得答到t+聚t时刻状驰态向量紫。重复期这一表过程暴即可脏求得征非线对性问浙题的岛数值虽解答轨。上述酒即为即逐步眠积分富的步轻骤。计算和榜理论分卷析表明煌，为使旧计算有音足够的秀精度，积分舌步长暖应小好于系骆统周梅期的炊十分件之一。3.龄3非线性讯反应分副析根据上发述逐步芝积分步猾骤，编币制计算勤程序即甚可用于芽计算非北线性结沉构的动换力反应鸟。由于描它是求甘每一时钥刻的反半应，因辱此通常俘称作时矿程分析凑。弹塑性财分析演干示程序查看帮计算礼结果3.4几点结籍论与讨艰论单自由蹈度的固零有频率日平方等用于k/锹m。阻尼比繁可由实畏验测得竭，一般醒结构阻搂尼比为0.规05。由磨于阻猾尼的推存在喷，自禽由振菜动振鞋动若栋干周听后将芳恢复丙静平详衡状都态，角受迫注振动染将从粱瞬态笨转为店稳态拣。使阻尼想器能消房诚耗尽可惰能多的专