【教学】全称量词与存在量词

全称量词与存在量词第1课时知识引入美国著名作家马克·吐温，在一次记者招待会上直言：“有些国会议员是傻瓜！”记者把他的话原样登在了报纸上，结果招致了国会议员们的强烈抗议，迫于压力，第二天马克·吐温在报纸上登出重要更正：“有些国会议员不是傻瓜！”重要更正的那句话，是对原话的否定吗？不是．新知探究思考讨论（1）所有正方形都是矩形；（2）每一个无理数的平方也是无理数；（3）对于任意的实数，y＝kx＋b的值随x值的增大而增大；（4）空集是任何集合的子集；（5）一切三角形的内角和都等于180°．新知探究问题1

命题中，蓝色加粗的字是什么意思？都是在指定范围内，表示全体、整体、全部的含义．（1）所有正方形都是矩形；（2）每一个无理数的平方也是无理数；（3）对于任意的实数，y＝kx＋b的值随x值的增大而增大；（4）空集是任何集合的子集；（5）一切三角形的内角和都等于180°．新知探究在给定集合中，断言所有元素都具有同一性质的命题叫作全称量词命题．在命题中的“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词．新知探究问题2

你还能说出哪些全称量词命题？（1）对于任意实数x，都有x2≥0；（3）所有的一元二次方程都有实根．（2）对任意一个无理数x，x2也是无理数；新知探究追问1：使用数学符号语言表述命题更简洁，该同学的举例如何改成符号语言？“∀x∈R，有x2≥0”．符合“∀”读作“对任意的”．通常，将含有变量x的语句用p（x），q（x），r（x），…，表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称量词命题“对M中任意一个x，p（x）成立”，可用符号简记为：∀x∈M，p（x）．有时全称量词可以省略；“正方形是矩形”“实数的平方非负”等等．新知探究追问2：在问题1的命题中，“M”，“p（x）”分别指的是什么？（1）“M”指的是正方形，“p（x）”指的是“矩形”；（2）“M”指的是“每一个无理数”，“p（x）”指的是“x2也是无理数”；（3）“M”指的是“实数”，“p（x）”指的是“y＝kx＋b的值随x值的增大而增大”；……新知探究问题3

请判断下列命题的真假．（1）所有正方形都是矩形；（2）每一个无理数的平方也是无理数；（3）对于任意的实数，y＝kx＋b的值随x值的增大而增大；（4）空集是任何集合的子集；（5）一切三角形的内角和都等于180°．（1）（4）（5）是真命题，（2）（3）是假命题．新知探究追问3：对给定的全称量词命题，如何判断它的真假？如果对集合M中的每一个x，p（x）都成立，那么“∀x∈M，p（x）”为真命题；如果在集合M中存在一个x0，使得p（x0）不成立，那么“∀x∈M，p（x）”为假命题．新知探究问题4下面命题中，加下划线的字是什么意思？（1）有些三角形是直角三角形；（2）在素数中，有一个是偶数；

这些命题，都是对全体中的个体或者一部分的判断，加下划线的字表示个别或者一部分．新知探究在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题．在命题中的短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．类比全称量词命题的符号表示，存在量词命题“存在M中的元素x，p（x）成立”可用符号简记为∃x∈M，p（x）．新知探究追问4：在下列命题中，“M”，“p（x）”分别指的是什么？（1）“M”指的是三角形，“p（x）”指的是“直角三角形”；（2）“M”指的是“素数”，“p（x）”指的是“偶数”；（3）“M”指的是“实数”，“x2＋x－1＝0”．（1）有些三角形是直角三角形；（2）在素数中，有一个是偶数；

新知探究问题5

你还能说出哪些存在量词命题？并判断真假．（1）有一个实数x，使x2＋1＝0；假命题．（2）存在一个无理数x，x2也是无理数；真命题．（3）有些平行四边形是菱形；真命题．……新知探究追问5：对给定的存在量词命题，如何判断它的真假？如果在集合M中存在一个x0，使得p（x0）成立，那么“∃x∈M，p（x）”为真命题．如果对集合M中的每一个x，p（x）都不成立，那么“∃x∈M，p（x）”为假命题．初步应用例1

判断下列命题是不是全称量词命题，如果是，指出其中的全称量词，并判断真假．（1）“所有的正方形都是平行四边形”是全称量词命题，“所有”是全称量词；（2）“能被5整除的整数末位数字为0”可以表述为“所有能被5整除的整数，末位数字都为0”，它是全称量词命题，其中省略了全称量词“所有”．（1）所有的正方形都是平行四边形；（2）能被5整除的整数末位数字为0．真命题假命题初步应用例2

判断下列命题是不是存在量词命题，如果是，指出其中的存在量词．（1）存在一个无理数x，使x2也是无理数；（2）∃x∈R使x2＋x＋1＝0．（1）“存在一个无理数x，使x2也是无理数”是存在量词命题，“存在”是存在量词；（2）“∃x∈R，使x2＋x＋1＝0”是存在量词命题，“∃”（即存在）是存在量词．新知探究问题6

判断下列全称命题的真假，并说明理由．（1）是真命题；所以，全称量词命题“对任意的x∈R，x2＋1＞0”为真命题；（2）是假命题；所以，全称量词命题“对任意一个无理数x，x2也是无理数”是假命题；（1）对任意的x∈R，x2＋1＞0；（3）所有的一元二次方程都有实根．（2）对任意一个无理数x，x2也是无理数；对于∀x∈R，总有x2＋x≥1＞0．

（3）是假命题；所以，全称量词命题“所有的一元二次方程都有实根”是假命题．一元二次方程x2＋x＋1＝0没有实根．初步应用1下列特称命题是真命题是________．（填序号）①有些不相似的三角形面积相等；③存在实数a，使函数y＝kx＋b的值随x的增大而增大；①是真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；③中当实数a大于0时，结论成立，是真命题；

④有一个实数的倒数是它本身．②中对任意x∈R，x2＋x＋1＝

＞0，

④中如1的倒数是它本身，是真命题．故选①③④．①③④

初步应用2若“∀x∈R，∃x0∈R，f（x）＞g（x0）”则有（）A．f（x）max＞g（x）minB．f（x）max＞g（x）maxC．f（x）min＞g（x）maxD．f（x）min＞g（x）min解析：要使“∀x∈R，∃x0∈R，f（x）＞g（x0）”，只需∃x0∈R，f（x）min＞g（x0），而g（x0）≥g（x）min，所以，f（x）min＞g（x）min．故选D．D归纳小结问题7

本节课我们学习了全称量词和存在量词，全称量词和存在量词的意义分别是什么？常用的表述形式分别有哪些？什么是全称量词命题和存在量词命题？它们的符号表示分别是什么？如何判断它们的真假？

全称量词存在量词定义举例对应的命题表示在指定范围内，表示整体或者全部的含义．在指定范围内，表示个别或一部分的含义．“所有的”、“每一个”、“任何一个”、“一切”等“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有的”等含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．对M中任意一个x，p（x）成立存在M中的元素x，p（x）成立∀x∈M，p（x）∃x∈M，p（x）归纳小结问题7

本节课我们学习了全称量词和存在量词，全称量词和存在量词的意义分别是什么？常用的表述形式分别有哪些？什么是全称量词命题和存在量词命题？它们的符号表示分别是什么？如何判断它们的真假？

全称量词存在量词判断续表如果对集合M中的每一个x，p（x）都成立，那么“∀x∈M，p（x）”为真命题如果在集合M中存在一个x0，使得p（x0）成立，那么“∃x∈M，p（x）”为真命题如果在集合M中存在一个x0，使得p（x0）不成立，那么“∀x∈M，p（x）”为假命题如果对集合M中每一个x，p（x）都不成立，那么“∃x∈M，p（x）”为假命题研究思路体现了研究一个概念的基本路径：具体例子→形成概念→表示→判断．作业布置作业：教材第20页练习第1，2题．1目标检测下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题．用符号“∀”或“∃”表示下面的命题，并判断其真假．（1）对所有的实数a，b，关于x的方程ax＋b＝0恰有唯一解；（2）所有的矩形都是平行四边形；（3）至少有一个偶数是素数；（4）存在x∈R，使x2＋1＜0．假命题；（1）全称量词命题；∀a，b∈R，关于x的方程ax＋b＝0恰有唯一解；因为当a＝0，b≠0时，方程无解，所以其为假命题；1目标检测下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题．用符号“∀”或“∃”表示下面的命题，并判断其真假．（1）对所有的实数a，b，关于x的方程ax＋b＝0恰有唯一解；（2）所有的矩形都是平行四边形；（3）至少有一个偶数是素数；（4）存在x∈R，使x2＋1＜0．真命题；（2）全称量词命题；∀的矩形都是平行四边形；根据矩形的定义可知其为真命题；1目标检测下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题．用符号“∀”或“∃”表示下面的命题，并判断其真假．（1）对所有的实数a，b，关于x的方程ax＋b＝0恰有唯一解；（2）所有的矩形都是平行四边形；（3）至少有一个偶数是素数；（4）存在x∈R，使x2＋1＜0．真命题；（3）存在量词命题；∃x是偶数，x是素数；2是偶数，2也是素数，所以“至少有一个偶数是素数”是真命题；1目标检测下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题．用符号“∀”或“∃”表示下面的命题，并判断其真假．（1）对所有的实数a，b，关于x的方程ax＋b＝0恰有唯一解；（2）所有的矩形都是平行四边形；（3）至少有一个偶数是素数；（4）存在x∈R，使x2＋1＜0．假命题；（4）存在量词命题；∃x∈R，使x2＋1＜0；因为“∀x∈R，x2＋1＞0”，所以为假命题．2目标检测将语句“x＋y∈Z（整数集）”修改成全称量词命题，并使得该命题为真命题．解答：对于∀x，y∈Z，x＋y∈Z，真命题．3目标检测将语句“a能被2整除”修改成存在量词命题，并使得该命题为假命题．解答：∃奇数a，a能被2整除，假命题．已知命题“∀x∈R，ax2－ax＋1＞0”为真命题，则实数a的取值范围是_______