直线与圆教学

直线与圆位置关系【知识梳理】

1.直线与圆的位置关系与判断方法(1)几何法:利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系.①____⇔直线与圆相交;②____⇔直线与圆相切;③____⇔直线与圆相离.d<rd=rd>r(2)代数法:联立方程,消去x(或y)得一元二次方程,计算Δ=b2-4ac.①Δ>0⇔直线与圆_____;②Δ=0⇔直线与圆_____;③Δ<0⇔直线与圆_____.相交相切相离2.直线与圆相交弦长公式1.(必修2P132A组T5改编)直线l:3x-y-6=0与圆x2+y2-2x-4y=0相交于A,B两点,则|AB|=________.【解析】由x2+y2-2x-4y=0,得(x-1)2+(y-2)2=5,所以该圆的圆心坐标为(1,2),半径r=又圆心(1,2)到直线3x-y-6=0的距离为d=由()2=r2-d2,得|AB|2=4(5-)=10,即|AB|=答案:2.(2015·湖南高考)若直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点,且∠AOB=120°(O为坐标原点),则r=__________.【解析】如图,直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)交于A,B两点,O为坐标原点,且∠AOB=120°,则圆心(0,0)到直线3x-4y+5=0的距离为r,即所以r=2.答案:23.(2016·武汉模拟)已知直线x-y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x-4y-4=0相交于A,B两点,且AC⊥BC,则实数a的值为________.【解析】由x2+y2+2x-4y-4=0得(x+1)2+(y-2)2=9,所以圆C的圆心坐标为C(-1,2),半径为3,由AC⊥BC可知△ABC是直角边长为3的等腰直角三角形,故可得圆心C到直线x-y+a=0的距离为由点到直线的距离公式可得解得a=0或a=6.答案:0或6考向一与圆的切线有关的问题【典例1】(1)(2015·山东高考)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为(

)【技法感悟】1.求直线被圆截得的弦长的常用方法在由弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成的直角三角形中利用勾股定理计算.2.由直线与圆的位置关系确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上.(2)圆心在任一弦的中垂线上.(3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.【题组通关】

1.(2016·厦门模拟)已知直线3x+4y-15=0与圆O:x2+y2=25交于A,B两点,点C在圆O上,且S△ABC=8,则满足条件的点C的个数为(

)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解析】选C.圆心O到已知直线的距离为d=因此|AB|=设点C到直线AB的距离为h,则S△ABC=×8×h=8,h=2,由于d+h=3+2=5=r(圆的半径),因此与直线AB距离为2的两条直线中一条与圆相切,一条与圆相交,故符合条件的点C有三个.2.(2016·长春模拟)设集合A={(x,y)|y=},B={(x,y)|y=k(x-b)+1},若对任意0≤k≤1都有A∩B≠∅,则实数b的取值范围是(

)【解析】选C.集合A表示圆O:x2+y2=4的上半圆.如图所示,集合B是一条直线,过y=1上的一点,利用斜率为k的临界条件k=1.要想使A∩B≠∅,只需直线在与圆相切和过(2,0)之间,这时可求出b∈[1-,3].3.(2016·阜新模拟)过点(1,)的直线l将圆(x-2)2+y2=4分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线l的斜率k=________.【解析】因为(1-2)2+()2=3<4,所以点(1,)在圆(x-2)2+y2=4的内部,当劣弧所对的圆心角最小时,即直线l交圆的弦长最短,此时圆心(2,0)与点(1,)的连线垂直于直线l.因为所以所求直线l的斜率k=答案:

4.(2016·南宁模拟)直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交于A,B两点(a,b是实数),且△AOB是直角三角形(O是坐标原点),则点P(a,b)与点(0,1)之间的距离的最大值为________.【解析】由于△AOB为直角三角形,OA=OB=1,故应为等腰直角三角形,故圆心到直线AB的距离为即所以2a2+b2=2(-1≤a≤1,