第3讲有限元梁单元

§2.3简单梁单元一、离散化，节点位移与节点载荷对图(a)直梁，根据结构和载荷情况，分为3段，每段为一个单元。单元之间和端点是节点。梁单元节点的物理模型是“焊接”。梁上任一节点i处有2个位移分量：挠度及转角。目前一页\总数三十六页\编于五点§2.3简单梁单元

一个节点位移用列阵表示为：称为节点i的节点位移。对应节点位移分量，梁上任一节点i的载荷也有2项：横向力和弯矩，称为广义力。目前二页\总数三十六页\编于五点§2.3简单梁单元梁上若有分布载荷，可近似地等效到节点上。称为节点i的节点载荷。结构上一个节点的载荷用列阵表示为：目前三页\总数三十六页\编于五点§2.3简单梁单元二、单元特性分析——建立简单梁单元的单元刚度方程单元有2个节点，节点局部编号：i，j。每节点有2个位移分量，单元共有4个位移分量——4个自由度；分析一个从上述离散梁结构中取出的典型梁单元e。单元长度l，弹性模量E，截面惯性矩为J。1、单元的描述目前四页\总数三十六页\编于五点§2.3简单梁单元称为单元e的单元节点位移列阵（向量）。

单元节点位移：结构中一个单元一般在节点处的截面上要受到结构其它部分对该单元的作用力，称为单元节点力。该单元每节点2个节点力分量：剪力q，弯矩m（分别与节点的2个位移分量对应）。目前五页\总数三十六页\编于五点§2.3简单梁单元注意：如图所示，节点位移和节点力分量的正方向与单元局部坐标轴正方向一致。因此，节点力正方向与材料力学中内力正方向的定义不同！节点力是梁中的内力；节点载荷是梁结构在节点上受到的外力。称为单元e的单元节点力列阵（向量）。单元节点力：目前六页\总数三十六页\编于五点§2.3简单梁单元

2、单元特性的建立与杆单元类似，一个梁单元的变形是由节点位移决定的，对于一个受力平衡的单元，一定的节点位移总是与一定节点力相联系，这个关系就是单元的特性（刚度特性）。下面根据材料力学和单元刚度矩阵元素物理意义建立梁单元特性。在弹性、小变形前提下，显然，单元保持平衡时节点力和节点位移之间有线性关系：简记为：目前七页\总数三十六页\编于五点§2.3简单梁单元上式就是梁单元的刚度方程。称为单元刚度矩阵，其中每个元素都是常数。为了求刚度矩阵元素，在上式中假设：方便起见，节点力和节点位移分量用新的符号表示，刚度方程为：（这里1，2，3，4是单元自由度序号）第1列刚度元数就是第1个节点位移分量为1，其他位移分量皆为0时所有节点力分量。刚度方程目前八页\总数三十六页\编于五点§2.3简单梁单元按上述物理意义求刚度矩阵元素：按材料力学悬臂梁变形公式求节点力如下：挠度：转角：联立解出：再由梁单元的静力平衡条件得：梁单元位移至此已求出刚度矩阵的第1列元素。目前九页\总数三十六页\编于五点§2.3简单梁单元再设：同理，由梁的变形公式和平衡条件可求得刚度矩阵的第二列元素：梁单元变形由刚度方程可得：目前十页\总数三十六页\编于五点§2.3简单梁单元同样的方法可以求出其余2列元素，从而求出单元刚度矩阵：显然，与弹簧和杆单元一样，该梁单元的刚度矩阵具有如下性质：1）对称性；2）奇异性；3）主对角元素恒正。刚度矩阵求得后，单元特性就完全确定：目前十一页\总数三十六页\编于五点§2.3简单梁单元采用矩阵分块方法和运算规则，对梁单元的刚度方程按节点进行分块。单元节点力列阵分块：单元节点位移列阵分块：分块形式的单元刚度矩阵：上面每一子块均为2×1子列阵。每一子块均为2×2子矩阵

3、单元刚度方程的分块目前十二页\总数三十六页\编于五点§2.3简单梁单元将上式按分块矩阵乘法展开，得两个矢量方程（共4个代数方程）：因此，单元刚度方程分块形式表示为：从上面方程可以看出梁单元刚度矩阵子块的物理意义：相关节点位移对对应节点力的贡献。目前十三页\总数三十六页\编于五点上面按分块形式表示的单元刚度方程——节点力～节点位移关系在整体分析中集成单元特性时更加简洁，在有限元分析中广泛采用。§2.3简单梁单元目前十四页\总数三十六页\编于五点§2.3简单梁单元三、离散结构的整体分析设已知分块形式的各单元特性方程：目前十五页\总数三十六页\编于五点§2.3简单梁单元以离散结构的各节点作为隔离体，以节点2为例，建立其平衡方程。单元节点力的反作用力外载荷单元节点力单元节点力节点2的受力分为两类：1）外载荷：2）单元（1）、（2）上节点力的反作用力：目前十六页\总数三十六页\编于五点§2.3简单梁单元由节点2的静力平衡条件得：单元节点力的反作用力外载荷单元节点力单元节点力节点2的外载荷=节点2对其所有相连单元的节点力之和（节点总内力）也就是节点2所受外载荷要分配到相连的单元上。目前十七页\总数三十六页\编于五点§2.3简单梁单元由前面给出的单元（1）、（2）分块形式单元刚度方程代入节点2的平衡方程：目前十八页\总数三十六页\编于五点§2.3简单梁单元同理，由节点3的平衡可得：由节点1、4的平衡得：将上面4个节点的平衡方程合并，写成矩阵形式得：目前十九页\总数三十六页\编于五点§2.3简单梁单元上式简写为：——结构节点位移列阵（8×1）——结构节点载荷列阵（8×1）——结构总刚度矩阵（8×8）——结构（系统）有限元平衡方程目前二十页\总数三十六页\编于五点§2.3简单梁单元结构总刚度矩阵也可以由各单元刚度矩阵扩大到整体规模后叠加而成，方法同前面的弹簧单元和杆单元。由于单元刚度矩阵在扩大和叠加过程中，其具有的性质（对称、奇异、主对角元恒正）不变，因此结构总刚度矩阵仍然保持这些性质。总刚度矩阵中有大量元素为0，因此矩阵具有稀疏性非零元素沿主对角线呈带状分布（节点编号满足一定条件）。结构总刚度矩阵的讨论：目前二十一页\总数三十六页\编于五点§2.3简单梁单元总之，从弹簧、直杆和梁结构有限元总刚度矩阵的特点可以归纳出结构有限元总刚度矩阵的性质如下：

1）对称性；2）奇异性；3）稀疏性；4）非零元素带状分布目前二十二页\总数三十六页\编于五点§2.3简单梁单元结构有限元平衡方程的讨论：平衡方程左边总刚度矩阵与位移列阵之积等于结构中各节点的总节点力（各节点对相关单元作用力之叠加）；因此，总刚每行各子块表征相应节点位移对该行对应总节点力的贡献——总刚子块的物理意义。目前二十三页\总数三十六页\编于五点§2.3简单梁单元平衡方程右端是各节点外载荷，左端是由节点位移和单元刚度矩阵子块叠加计算得到的总节点力。因此，有限元平衡方程表征了系统各节点所受外载荷与所受所有相关单元反作用总力（总节点力）之间的平衡。结构有限元平衡方程可以叙述为：

总节点力（内力）=节点外载荷。目前二十四页\总数三十六页\编于五点§2.3简单梁单元对于特定结构，方程中必存在已知位移和相应的未知载荷（支反力），因此，平衡方程求解前必须进行约束处理，分离出关于未知位移的方程进行求解。然后再用求出的位移，通过剩余方程求出支反力。目前二十五页\总数三十六页\编于五点§2.4平面内一般梁单元拉伸、弯曲组合单元变形特征节点位移分量节点载荷分量平面梁单元整体节点位移整体节点载荷节点自由度：3一、单元与节点平面刚架模拟目前二十六页\总数三十六页\编于五点单元有2个节点：i，j局部坐标系下节点位移分量：轴向位移：横向挠度：转角：局部坐标系下节点力分量：轴向力：横向剪力：弯矩：§2.4平面内一般梁单元单元描述：二、局部坐标系下平面梁单元刚度方程目前二十七页\总数三十六页\编于五点单元有6个位移分量6个自由度单元节点位移列阵：单元节点力列阵：§2.4平面内一般梁单元单元描述：目前二十八页\总数三十六页\编于五点§2.4平面内一般梁单元

建立单元特性方程在小变形假设下，梁的轴向变形和弯曲变形互不偶合。可以分别研究两种变形模式下的刚度特性。因此，组合变形下的平面梁单元刚度方程可以由该局部坐标系下的轴向变形刚度方程（相当于一维杆单元）和弯曲变形刚度方程（相当于简单梁单元）叠加而成：目前二十九页\总数三十六页\编于五点§2.4平面内一般梁单元上面刚度方程简写为：分块形式：其中：刚度矩阵一个子块：目前三十页\总数三十六页\编于五点§2.4平面内一般梁单元三、整体坐标系下刚度矩阵：坐标变换局部坐标系下节点位移：

整体坐标系下节点位移：节点位移矢量坐标变换：考虑到节点转角不变简写节点向量变换矩阵：目前三十一页\总数三十六页\编于五点§2.4平面内一般梁单元单元节点位移列阵的变换：简写单元坐标变换矩阵单元节点力列阵的变换：节点力矢量与节点位移矢量满足相同的坐标变换关系。目前三十二页\总数三十六页\编于五点§2.4平面内一般梁单元单元刚度矩阵的坐标变换：将节点位移和节点力矢量坐标变换式代入局部坐标系下单元刚度方程：目前三十三页\总数三十六页\编于五点§2.4平面内一般梁单元四、平面刚架的有限元整体分析平面刚架整体分析的原理与弹簧系统、桁架、直梁的整体分析相同。根据每个节点外载荷与结构的总节点力平衡得到系统的有限元平衡方程，再引入约束条件后求解。总刚度矩阵由总体坐标下各单元刚度矩阵叠加得到：系统平衡方程：目前三十四页\总数三十六页\编于五点§2.5三维空间梁单元简介一、单元功能：模拟三维刚架二、单元特性分析基本思路与平面梁单元相同：先在局部坐标系下建立单元特性方程，再变换到总体坐标系下。局部坐标系下节点位移：单元有12个自由度总体坐标系下节点位移：目前三十五页\总数三十六页\编于五点§2.5三维空间梁单