单输入单输出系统的时域分析

单输入单输出系统的时域分析第一页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五2.1.1数学模型的求解方法1.时域分析2.变换域分析

傅里叶变换——FT拉普拉斯变换——LTz

变换——ZT离散傅里叶变换——DFT离散沃尔什变换——DWTl●卷积积分（或卷积和）法2.1.概述2第二页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五2.1.2几个重要的概念：

1、自由响应2、强制响应3、零输入响应4、零状态响应5、全响应系统全响应=自由响应+强制响应

=零输入响应+零状态响应

3第三页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五2.1.3.连续时间系统与离散时间系统的比较连续时间系统离散时间系统微分方程差分方程数学模型系统函数H(z)经典法卷积积分法时域分析经典法卷积求和法拉普拉斯变换傅里叶变换变换域分析z变换离散傅里叶变换频响特性4第四页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五2.2.连续系统的时域分析

见书上P24～30。由于该部分内容已在高等数学与电路原理课程中作过较详细的讨论！因此本课程中为“自学内容”。

5第五页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五离散时间系统反卷积

离散时间系统的时域分析离散时间信号数学模型差分方程的求解方法序列的概念序列的运算迭代法经典法零输入、零状态法卷积和法2.3.

离散系统的时域分析6第六页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五2.3.1

差分与差分方程

1、差分

设有序列f(n)，则：…，f(n+2)，f(n+1)，…，f(n-1)，f(n-2)…等称为f(n)的移位序列。定义离散信号的差分运算表达式如下：即一阶后向差分定义：式中，▽称为差分算子。本课程主要用后向差分，简称为差分。

7第七页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五上式称为阶（后向形式）差分方程。差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。2、差分方程

包含未知序列y(n)及其各阶差分的方程式称为差分方程。将差分展开为移位序列，得一般形式，即：其中：8第八页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五例2.3-1：若描述某系统的差分方程为已知初始条件激励这种方法可以称之为差分方程的“迭代解法”，但是采用这种方法一般不易得到解析形式的解，或称“闭合解”。9第九页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五2.3.2差分方程的建立

方法：“差分法”通过微分方程推导出差分方程，从而成为处理离散系统的数学模型。例2.3-2:

考虑一个RC串联电路如图所示:10第十页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五首先建立描述这一连续系统的数学模型，由电路运算基本规律：其中：

为系统输入，为系统输出。可得：采用“差分法”将该微分方程离散化：将连续变量以步长为间距进行等分，可得到，所以产生了离散变量，从而连续函数在各点的取值就构成了离散序列。11第十一页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五代入：得：在足够小的情况下，微分运算就可以表示为：整理后可得：

取为单位时间，即，可得：令，可得：

一阶线性常系数差分方程12第十二页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五例2.3-3:某人每月向银行存款，当月存入无利息，月底结算，月利息为元/月。设第n月存入f(n)元，月底结余为y(n)元，n-1月底结余为y(n-1)元，以f(n)为银行系统的输入，y(n)为输出，则y(n)与f(n)的关系为：即：此即为描述这一银行结余系统的差分方程。13第十三页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五2.3.3差分方程的经典解

线性时不变离散系统差分方程：其全响应可由以下两种分解响应构成：

完全解/全响应=齐次解/自由响应+特解/强制响应完全解/全响应=零输入响应+零状态响应14第十四页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五1、齐次解

齐次方程为：其特征方程为：其根称为差分方程的特征根。齐次解的形式取决于特征根，具体情况如下：当特征根为单根时，齐次解的形式为：当特征根为重根时，齐次解的形式为：

15第十五页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五初始条件为r(0)=2和r(1)=3，求方程的齐次解。例2.3-4.系统的差分方程特征根为于是由初始条件解得：故齐次解解：特征方程为16第十六页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五不同激励所对应的特解激励

特解

当不等于特征根时。当是特征单根时。当是重特征根时。

2、特解

特解：特解的形式与激励的函数形式有关，下表列出了几种不同激励所对应的特解。17第十七页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五全解：k阶线性差分方程的全解是齐次解与特解之和。如果方程的特征根均为单根，则差分方程的全解为：下面我们来看两道用经典法求解差分方程的例题。各系数由给定的N个初始条件确定18第十八页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五例2.3-5：求下示差分方程的完全解其中激励函数，且已知解：特征方程：齐次通解：将代入方程右端，得设特解为形式，代入方程得19第十九页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五比较两边系数得完全解为代入边界条件，求得解得20第二十页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五总结求解的过程如下：（1）由差分方程得到“特征方程”，求解得到特征根。（2）由特征根得到“自由响应”的一般式。（3）由激励确定“强制响应”的形式。（4）将代入原差分方程，求得“强制响应”

（5）列出全响应表达式（6）将初始条件代入全响应表达式，求得“自由响应”

和“全响应”21第二十一页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五2.3.4

零输入响应和零状态响应系统的完全响应（差分方程的完全解）可表示为自由响应分量与强迫响应分量（齐次解与特解）之和。根据边界条件及激励的不同，完全响应也可分为零输入响应和零状态响应之和。22第二十二页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五

当起始状态r(-1)=r(-2)=

=r(-N)=0时，由系统的激励e[n]所产生的响应。它是自由响应的另外部分加上强迫响应。

当激励e(n)=0时，由系统的起始状态r(-1),

r(-2),r(-N)所产生的响应。它是齐次解的形式，它是自由响应的一部分。23第二十三页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五24第二十四页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五1、零输入响应

输入为零，响应由齐次差分方程求得，是仅由初始储能引起的响应。注意：

确定零输入响应的系数时，必须用仅由初始状态引起的初始条件；

初始条件为

M

个任意时刻的响应值，故零输入响应的表达式不再加写后缀n>0。25第二十五页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五例2.3-6:

描述离散时间系统的差分方程为解：特征方程为在差分方程中，令n=-1,得可见r(2),r(1),r(0)

和r(-1)

与激励无关,仅由初始储能引起。26第二十六页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五

可见，r(3)与激励有关,是初始储能和激励共同引起的,不能用来确定零输入响应的待定系数。将r(1)=1,r(2)=2,r(3)=-23代入上式,可得第三个零输入条件：在差分方程中，令n=0，得27第二十七页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五于是得到28第二十八页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五2、零状态响应

离散时间系统求解零状态响应，可以直接求解非齐次差分方程得到。求解方法与经典法计算连续时间系统零状态响应相似。但当激励信号较复杂，且差分方程阶数较高时，上述求解非齐次差分方程的过程相当复杂，因此，与连续时间系统的时域分析一样，离散时间系统计算零状态响应也常用卷积分析法。29第二十九页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五差分方程的边界条件不一定由这一组数字给出。对于因果系统，常给定

为边界条件。若激励信号在n=0时接入系统，所谓零状态是指都等于零，而不是指等于零。如果已知欲求可用迭代求出。30第三十页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五例2.3-7:

已知描述系统的一阶差分方程为（1）边界条件，求（2）边界条件，求解:（1）起始时系统处于零状态，所以，齐次解为,设特解为A,

由y[-1]=0可求出所以，31第三十一页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五（2）先求零状态响应，此即为（1）的结果再求零输入响应，令

由y[-1]=1可求出所以，

完全响应32第三十二页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五思考题：在上面的例题求“零状态响应”时，能否用作为“零状态响应意义下”的初始条件来求解待定系数。33第三十三页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五问题：1．自由响应与强制响应的区别是什么？

2．零输入响应与零状态响应的区别是什么？3．在时域中对于LTI系统，“输入输出描述”方式的系统数学模型是什么？为什么？

34第三十四页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五书本上例题要求：P32

例2-6、例2-7、例2-8；P34

例2-9；P36

例2-10

35第三十五页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五作业2-5;2-6(2)、(3);2-8;2-9.36第三十六页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五2.4.系统的单位冲激响应与单位样值响应

单位冲激响应：对于线性时不变连续时间系统，由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，用h(t)表示。冲激响应h(t)反映了系统特性，直观上理解，可以认为系统的冲激响应h(t)就表征了系统本身。System(初始状态为零)激励响应37第三十七页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五例2.4-1：设描述二阶LTI系统的微分方程为

求其冲激响应。解：

可见而在有跃变。38第三十八页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五对的微分方程从到逐项积分，得微分方程的特征根为故确定系数：39第三十九页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五一般而言，1、若n阶微分方程的等号右端只含激励，即若则有如果特征根均为单根，则其冲激响应为由初始值确定。initiCteCthi

)(

)()(1uaå==40第四十页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五求冲激响应可分两步（1）选新变量，使它满足的微分方程为左端与上式相同，而右端只含，即满足方程（2）设其冲激响应为根据系统零状态响应的线性性质和微分性质，可得冲激响应2、若微分方程为41第四十一页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五例2.4-2：描述系统的微分方程为：求其冲激响应。解：设新变量它满足方程：设其冲激响应为则：42第四十二页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五求)t()ee()t()t(h)t()ee()t(h)t()ee()t(htt''tt'ttu

δ

u

u

3-2-13-2-13-2-19-4+=3+2-=-=由上例得，)(

)63()(32teetttud---+=43第四十三页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五单位样值响应:

对于线性时不变离散时间系统，由单位样值函数δ(n)所引起的零状态响应称为单位样值响应，简称单位响应，用h(n)表示。单位样值响应h(n)反映了系统特性，或称反映了系统的本质特征。直观上理解，可以认为系统的单位样值响应就表征了系统本身。

System(初始状态为零)激励响应44第四十四页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五注意要点：根据的定义:因此，作为系统的输入，仅在的时刻作用于系统，在以后，激励作用就已消失。

例:已知r[n]-1/3r[n-1]=e[n],

试求其单位样值响应h[n]。r[n]-1/3r[n-1]=e[n]h[n]-1/3h[n-1]=δ[n]45第四十五页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五对于因果系统，r[-1]=0,e[-1]=δ[-1]=0---齐次解的形式46第四十六页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五即2、将输入转化为初始条件r[n]-1/3r[n-1]=e[n]h[n]-1/3h[n-1]=δ[n]即由h[-1]=0通过上述差分方程可迭代出h[0]=1,将h[0]=1作为边界条件特征方程为由h[0]=1可求出C=147第四十七页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五例2.4-3：系统差分方程式为求系统的单位样值响应。利用线性时不变特性，解：这样，48第四十八页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五

求齐次解，写出特征方程齐次解为由

迭代出将

作为边界条件，可求出（1）先求49第四十九页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五（2）系统的单位样值响应为50第五十页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五思考题：在本例题中，求解和能否用和作为初始条件来求解？能否用作为初始条件来求解？

总结求解的过程如下：（1）将替换原差分方程的，将替换原差分方程的，得到单位样值响应满足的初始方程。（2）递推求得值。（3）用传统解法求解在以后的（4）将与以后的综合，得到状态下的。

51第五十一页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五

在连续时间系统中曾利用系统函数求拉普拉斯逆变换的方法决定冲激响应h(t),与此类似，在离散时间系统中，也可利用系统函数求逆Z变换来确定单位样值响应，这是一种较简便的方法，将在第八章详述。52第五十二页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五预习内容：“卷积积分“，具体内容包括：1．“卷积积分“的基本思想、概念和定义。2．利用卷积定义求解连续时间系统的零状态响应。3．“卷积积分”的图解法。4．“卷积积分”的重要性质

53第五十三页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五作业：1．P582-17(1)(3)2．已知离散系统的差分方程为：试求：（1）系统的单位样值响应（2）系统的零状态响应

54第五十四页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五上次课回顾：1．介绍了“差分方程”经典解法的基本思路、规则和求解方法，总结了具体的求解过程和步骤，并举例进行了求解演示。2．介绍了“冲激响应”和“单位样值响应”的基本概念和实质，对“单位样值响应”的求解基本思路、规则和求解方法进行了详细说明，总结了具体的求解过程和步骤，并举例进行了求解演示。

55第五十五页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五上次课“思考题”：1．在上次课例题中求系统的“零状态响应”时，能否用作为“零状态响应意义下”的初始条件来求解待定系数。2．在上次课例题中求系统的“冲激响应”时，求解和能否用和作为初始条件来求解？能否用作为初始条件来求解？

56第五十六页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五2.5.

卷积积分

卷积方法在本书中占有重要地位，这里要讨论的卷积积分是将输入信号分解为众多冲激函数之和（积分），利用冲激响应，求解LTI系统对任意激励的零状态响应。2.5.1卷积积分在前面介绍时,我们定义了这样一个强度为1的窄脉冲。其作用于系统的零状态响应为

57第五十七页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五-t0t2tktt把其分解为一系列宽度为的窄脉冲，其第k个窄脉冲发生在时刻，强度为:

58第五十八页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五-t0t2tktt作用于系统的零状态响应为59第五十九页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五当时60第六十页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五一般而言，若两个函数，积分称为的卷积积分。用表示。即61第六十一页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五这是求解零状态响应的另一种方法.62第六十二页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五2.5.2卷积的图解说明

用图解法直观，尤其是函数式复杂时，用图形分段求出定积分限尤为方便准确，用解析式法作容易出错，最好将两种方法结合起来。

63第六十三页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五例2.5-1:给定信号

求y(t)=f1(t)*f2(t)。64第六十四页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五65第六十五页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五

例2.5-2:

求下图所示函数和的卷积积分。

解（1）66第六十六页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五（2）讨论的取值范围，并计算积分：（3）当时，

当时，67第六十七页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五当时，当时，当时，68第六十八页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五69第六十九页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五解法一：图示法（1）。）；（）求卷积积分（，，：设例)()(2)()(1

).2(2)(

)(2)()(3)(

35.231213221tftftftfttfttftetft**-===--uuu70第七十页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五（2）所以71第七十一页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五显然上式适用于的区间。ò+¥¥---=*ttututdtetftf)(2)(3)()(

(1)221解法二72第七十二页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五显然上式适用于的区间。ttututdtetftfò+¥¥----=*)2(2)(3)()(

)2(

231()()()[]()213*2231--=\--tetftftu73第七十三页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五主要内容：重点：卷积代数和与冲激函数的卷积难点：卷积的微分与积分卷积代数卷积的微分与积分与冲激函数或阶跃函数的卷积2.5.3卷积积分的重要性质74第七十四页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五1.卷积代数(1).交换律(2).分配律(3).结合律并联系统串联系统75第七十五页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五

))(()()(1211tttt-()():)()(22。和，分别求，例2.5-4：tfftftftftef**==uua)()1(1

)()(

)()()()(

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)()()()(

0)()(1212tededtedtfftftfttttuatttututttatata---¥¥---¥¥--==-=-=*òòò76第七十六页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五

例2.5-5：分别求：)()1(1

)()(

)()()()(

02121tededtedtfftftfttuatttututttaatat--¥¥--¥¥--==-=-=*òòò解：)()1(1

)()(

)()()()(

0)()(1212tededtedtfftftfttttuatttututttatata---¥¥---¥¥--==-=-=*òòò77第七十七页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五系统并联系统并联，框图表示：

结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于各子系统冲激响应之和。78第七十八页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五系统级联系统级联，框图表示：

结论：时域中，子系统级联时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。

79第七十九页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五2.

卷积的微积分特性

（1）.（2）.（3）.80第八十页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五例2.5-6：求图示函数与的卷积。81第八十一页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五解法一：图示法82第八十二页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五解法一：图示法83第八十三页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五解法一：图示法84第八十四页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五解法一：图示法85第八十五页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五解法一：图示法86第八十六页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五87第八十七页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五解法二：表达式法)]3()1([2)(

1---=tttfuu)2()1(2)(

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----+---------=tttttttttuuuuuu89第八十九页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五解法三：卷积的性质90第九十页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五91第九十一页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五3.与冲激函数或阶跃函数的卷积推广：92第九十二页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五函数与冲积函数的卷积0t0t0t0t0t1t0t1t93第九十三页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五0t1t0t1+t2t0t2t0t1t0t2t0t1+t2t94第九十四页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五0t1+t2t0t1t0t2t0t2t0t1t0t1+t2t95第九十五页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五例2.5-7：计算下列卷积积分：解：上式适用于()()()53

1-*+ttuu()()()5322-*+-ttetuu()()()()()2

5353

153-==--+=-*+òò--¥¥-tddtttttttutuuu96第九十六页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五实际上利用97第九十七页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五()()()5322-*+-ttetuu()()()()()[]()[]2266525325322212121215353----------¥¥----=--=-==--+=-*+òòttttteeeeededtettettttttutuuu98第九十八页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五上式适用于99第九十九页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五100第一百页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五例2.5-8：下页图（a)画出了周期为T的周期性单位冲激函数序列，可称为梳状函数，它可用符号表示它可写为：

式中m为整数。函数如图（b)所示，试求：-2T-T0T2Tt(a)(b)101第一百零一页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五解：T(t)与fo(t)的卷积

-2T-T0T2Tt(a)(b)(c)102第一百零二页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五总结：求解卷积的方法可归纳为：1.利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。2.图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。3.利用性质。比较灵活。三者常常结合起来使用。要求：P40例2-14、P42例2-15

103第一百零三页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五思考题：1．卷积积分用于时域分析的本质是什么？2．到现在为止，求解线性时不变连续时间系统的“零状态响应”有几种方法？它们分别在什么情况下使用？

104第一百零四页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五预习内容：P46“卷积和“，具体内容包括：1．“卷积和“的基本思想、概念和定义。2．利用“卷积和”定义求解离散时间系统的零状态响应。3．“卷积和”的图解法。4．“卷积和”的重要性质

105第一百零五页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五作业：2-5;2-6(2)、(3);2-8;2-9;2-13(a)、(c);106第一百零六页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五上次课回顾：1．介绍了“卷积积分“的基本思想、概念和定义。2．讲解并举例利用卷积定义求解连续时间系统的零状态响应。3．介绍了“卷积积分”的图解法，并举例描述。4．介绍了“卷积积分”的重要性质，并采用例题进行了验证。

107第一百零七页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五上次课“思考题”：1．卷积积分用于时域分析的本质是什么？2．到现在为止，求解线性时不变连续时间系统的“零状态响应”有几种方法？它们分别在什么情况下使用？

108第一百零八页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五2.6

卷积和2.6.1卷积和()()()()()()()()()()()()()knkenenenenenenek-=+-+-+++-++-+=å¥-¥=dddddd

22110

1122LL()()()knhkenrk-=\å¥-¥=那么对任意序列作用于该线性时不变系统的零状态响应能否借用单位序列响应来求呢？对于一个LTI离散系统,假设我们已经知道它的单位序列响应为任意离散序列可以表示为：()nh()nh109第一百零九页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五()()()knhkenrk-=å¥-¥=称为序列和的卷积和。上式表明，LTI离散系统对于任意激励的零状态响应是激励与单位序列响应的卷积和。一般而言，若有两个序列和，和式称为和的卷积和，简称卷积。表示为()()()å¥-¥=-=kknfkfnf21()()()()()å¥-¥=-=*=kknfkfnfnfnf2121110第一百一十页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五作图法求卷积和的步骤：当时，右移个单位。当时，左移个单位。总之，原点处的序列值移到点。2.6.2卷积和的图解说明（3）讨论n的区间，并求乘积之和。()()()()()å¥-¥=-=*=iinfifnfnfnf2121（1）将序列的自变量用代替，然后将序列以纵坐标为轴反褶，成为。()()nfnf21,（2）将序列平移个单位，成为。n()inf-20>n0<nnn111第一百一十一页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五例2.6-1:

如有两序列试求二序列的卷积和()îíì=+=其余

,02,1,0,11nnnf()îíì==其余

,03,2,1,0

,12nnf()()()nfnfnf21*=112第一百一十二页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五解：画出序列()()infif-21

、()

2inf-113第一百一十三页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五讨论n的区间，并求()()()å¥-¥=-=iinfifnf21当时，0)(=nf0<n()

2inf-114第一百一十四页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五当时，0<n0)(=nf当时，0=n当时，1=n()

2inf-n()

2inf-n115第一百一十五页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五当时，0<n0)(=nf当时，0=n当时，1=n当时，2=n()

2inf-n116第一百一十六页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五依此可得:**一个M点序列与一个N点序列卷积，其卷积的长度为M+N-1。()60³=nnf()

nfn()

2inf-n117第一百一十七页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五2.6.3不进位乘法求“卷积和”

对于两个有限长序列的卷积和计算，可以采用下面介绍的更为简便实用的方法计算。这种方法不需要画出序列图形，只要把两个序列排成两行，按普通乘法运算进行相乘，但中间结果不进位，最后将位于同一列的中间结果相加得到卷积和序列。118第一百一十八页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五例2.6-2：已知离散信号求卷积和f1(n)*f2(n)。119第一百一十九页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五解：为了方便，将f2(n)写在第一行，f1(n)写在第二行，经序列值相乘和中间结果相加运算后得到120第一百二十页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五卷积和计算121第一百二十一页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五2.6.4卷积和的性质性质1卷积和运算服从交换律、结合律和分配律，即：122第一百二十二页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五

*两子系统并联组成的复合系统，其单位序列响应等于两子系统的单位序列响应之和。由卷积的分配律得：(a)并联()()()()()()()()[]nhnhnfnhnfnhnfnyf2121

+*=*+*=Q∑++)(1nh)(ny)(nf)(2nh123第一百二十三页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五由卷积的结合律得：(b)级联*两子系统级联组成的复合系统，其单位序列响应等于两子系统单位序列响应的卷积和。()()()[]()()()()[]nhnhnfnhnhnfnyf2121

**=**=Q()()()nhnhnh21

*=\)(1nh)(2nh()ny()ny)(1nh)(2nh()nf()nf124第一百二十四页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五性质2任一序列与单位样值函数的卷积)()()()()()1(nfinifnnfi=-=*å¥-¥=dd)()()()()()2(111nnfninifnnnfi-=--=-*å¥-¥=dd)()()()3(2121nnnnnnn--=-*-ddd)(

)()(

)()()()()()4(21212121nnnfnnnnfnnnnnfnnnnf--=--*=-*-*=-*-dddd125第一百二十五页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五性质3若f1(n)*f2(n)=f(n)，则

式中n1,n2均为整数。

126第一百二十六页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五例2.6-3：如图所示的复合系统由两个子系统级联组成，已知子系统的单位序列响应分别为：求复合系统的单位序列响应h(k)。（a,b为常数）)(nf)(nxf)(1nh)(nh)(2nh)(nyf127第一百二十七页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五解：)()()(*)()(21inbianhnhnhinii-*==-¥-¥=åuu¹ba时当åå=-==*==niininniinnbabbanbnanh00)((*)()(）uuababbababnnnn--=--=+++1111)(1

nninbnbnhba）（时当11)(0+===å=128第一百二十八页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五显然上二式仅在k≥0时成立。所以当，有当，有()()()ïîïíì=+¹--==++banbnbanababnbnanhnnnnn,

1,

(*)()(11uuuu）()naannannuuu--=*+11()(1）129第一百二十九页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五或：130第一百三十页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五解：系统的差分方程为()ny()1-ny()2-ny()nf()()()()nfnynyny=----221例2.6-4：如图所示的离散系统，已知初始状态，激励求系统的全响应。131第一百三十一页，共一百四十六页，编辑于2023年，星期五（1）求系统的零输入响应零输入响应满足()()()()nfnynyny=----221()()()()()()()ïîïíì=-=-=-=-=----6122,0110221yyyynynynyxxxxx()()()nnxCCny2121