半群与幺半群

半群与幺半群1第一页，共二十二页，编辑于2023年，星期五定义1

设◦为S上的二元运算,如果存在el(或er)S，使得对任意x∈S都有

el◦x=x(或x◦er

=x)，则称el(或er)是S中关于◦运算的左(或右)单位元.若e∈S关于◦运算既是左单位元又是右单位元，则称e为S上关于◦运算的单位元.单位元也叫做幺元.特异元素：单位元2第二页，共二十二页，编辑于2023年，星期五问题：设◦为S上的二元运算,(1)如果S关于◦运算有左单位元el，则S关于◦运算一定有右单位元er

吗？例：设R为实数集合，如下定义R上的二元运算∗：x,y∈R,x∗y=x或x∗y=y.(2)若S关于◦运算既有左单位元el又有右单位元er

，则el=er(=e)?(3)若S关于◦运算有单位元，则单位元唯一吗？特异元素：单位元3第三页，共二十二页，编辑于2023年，星期五定理1

设◦为S上的二元运算，el和er分别为S中关于运算的左和右单位元，则el

=er=e为S上关于◦运算的惟一的单位元.单位元惟一性定理4第四页，共二十二页，编辑于2023年，星期五定义2设◦为S上的二元运算，如果存在

l(或

r)∈S，使得对任意x∈S都有

l◦x=

l

(或x◦

r

=r)，则称

l(或

r)是S中关于◦运算的左(或右)零元.若

∈S关于◦运算既是左零元又是右零元，则称为S上关于运算◦的零元.特异元素：零元5第五页，共二十二页，编辑于2023年，星期五问题：设◦为S上的二元运算,(1)如果S关于◦运算有左零元

l，则S关于◦运算一定有右零元

r

吗？例：设R为实数集合，如下定义R上的二元运算∗：x,y∈R,x∗y=x或x∗y=y.(2)若S关于◦运算既有左零元

l又有右零元

r

，则

l=

r(=)?(3)若S关于◦运算有零元，则零元唯一吗？特异元素：零元6第六页，共二十二页，编辑于2023年，星期五定理2

设◦为S上的二元运算，

l和

r分别为S中关于运算的左和右零元，则

l

=

r=为S上关于◦运算的惟一的零元.[注意]当|S|2，单位元与零元是不同的；当|S|=1时，这个元素既是单位元也是零元.

零元惟一性定理7第七页，共二十二页，编辑于2023年，星期五定义3设◦为S上的二元运算,令e为S中关于运算的单位元.对于x∈S，如果存在yl(或yr)∈S使得

yl◦x=e（或x◦yr=e）则称yl(或yr)是x的左逆元（或右逆元）.关于◦运算，若y∈S既是x的左逆元又是x的右逆元，则称y为x的逆元.如果x的逆元存在，就称x是可逆的.可逆元素和逆元8第八页，共二十二页，编辑于2023年，星期五问题：设◦为S上的二元运算,令e为S中关于运算的单位元.对于x∈S，(1)如果x有左逆元yl，则x一定有右逆元yr

吗？例：SS为S上的所有映射的集合，则合成运算为SS上二元运算.

单射左可逆，满射右可逆.(2)若x既有左逆元yl又有右逆元yr

，则yl=yr?(3)若x有逆元，则逆元唯一吗？可逆元素和逆元9第九页，共二十二页，编辑于2023年，星期五定理3

设◦为S上可结合的二元运算,e为该运算的单位元,对于x∈S如果存在左逆元yl

和右逆元yr,则有yl=yr=y,且y是x的惟一的逆元.[说明]

对于可结合的二元运算，可逆元素x只有惟一的逆元，记作x1.逆元惟一性定理10第十页，共二十二页，编辑于2023年，星期五第2节半群与幺半群主要内容:半群与幺半群子半群、子幺半群、理想循环半群与循环幺半群11第十一页，共二十二页，编辑于2023年，星期五定义1(1)设(S,∘)是一个代数系统，如果运算∘满足结合律，则称(S,∘)为一个半群.(2)设(S,∘)是半群，若e∈S是关于∘运算的单位元，则称(S,∘)是一个幺半群，也叫做独异点.

有时也将独异点(S,∘)

记作(S,∘,e).(3)如果(幺)半群S中的运算∘满足交换律，则称(幺)半群S为交换(幺)半群或可换(幺)半群.(4)只含有有限个元素的(幺)半群S称为有限(幺)半群，否则称为无限(幺)半群.

通常把S的基数称为(幺)半群S的阶.2.1半群与幺半群12第十二页，共二十二页，编辑于2023年，星期五例1

(1)(N,+),(Z+,+),(Z,+),(Q,+),(R,+)都是半群，其中+是普通加法.这些半群中除(Z+,+)外都是幺半群.(2)设n是大于1的正整数，(Mn(R),+)和(Mn(R),·)都是半群，也都是幺半群，其中+和·分别表示矩阵加法和矩阵乘法.(3)(P(B),)为半群，也是幺半群，其中为集合对称差运算.实例13第十三页，共二十二页，编辑于2023年，星期五(4)(Zn,)为半群，也是幺半群，其中

Zn={[0],[1],…,[n1]},[x]={y|y∈Z,y≡x(modn)}为模n加法:[x][y]=[x＋y]

或者

[x][y]=(x＋y)modn

(5)(AA,◦)为半群，也是幺半群，其中◦为映射的合成运算.(6)(R*,◦)为半群，其中R*为非零实数集合，◦运算定义如下：x,yR*,x◦y=y.实例14第十四页，共二十二页，编辑于2023年，星期五[注意]

有单位元并不是半群的固有性质.在没有单位元的半群中可能有左单位元，或者有右单位元，而且左(右)单位元也可能不只一个，甚至可能有无穷多个.性质(1)有单位元的半群、无单位元的半群；(2)在没有单位元的半群中可能有左单位元；(3)在没有单位元的半群中可能有右单位元.15第十五页，共二十二页，编辑于2023年，星期五定理1

如果半群(S,∘)既有左单位元素又有右单位元素，则左单位元素与右单位元素相等，从而半群S有单位元素(即半群S成为幺半群)且单位元素是唯一的.定理2

有限半群(S,∘)为一个幺半群存在x,yS使得xS=S，Sy=S.性质[注](1)半群的正式研究始于二十世纪初.(2)自从1950年代，有限半群的研究在理论计算机科学中变得特别重要，因为在有限半群和有限自动机之间有自然的联系.16第十六页，共二十二页，编辑于2023年，星期五

在幺半群(S,∘,e)中可以定义非负整数次幂的运算.aS，a0=e,an+1=an

∘a,n≥0.定理3

设(S,∘,e)是一个幺半群，m,n是任意的非负整数，则(1)aS，am∘

an=am+n,(am)n=amn

.(2)若(S,∘,e)是可交换的，则

a,bS，(a∘b)n=an∘

bn.幂运算17第十七页，共二十二页，编辑于2023年，星期五子半群定义2

设(S,∘)是半群，B是S的一个非空子集.如果x,yB，有x∘yB，则称(B,∘)是(S,∘)的一个子半群，简称B是S的子半群.

定理4设(S,∘)是半群，B是S的一个非空子集.B是S的子半群

B∘B

B.x,yB，有x∘yB.

18第十八页，共二十二页，编辑于2023年，星期五子幺半群定义3

设(S,∘,e)是幺半群，P

S.如果eP且P是S的子半群，则称P是S的子幺半群.

定理5

设(S,∘,e)是幺半群，P

S.P是S的子幺半群

eP且

P∘P

P.eP且

x,yP，有x∘yP.

19第十九页，共二十二页，编辑于2023年，星期五子(幺)半群的实例例2(Z,×)是半群，也是幺半群，{0,1}Z，则({0,1},×)是(Z,×)是子半群，也是子幺半群.[注意](1)幺半群的子半群如果有单位元，且和幺半群的单位元相同，才能被称为子幺半群.换句话说，也就是幺半群的一个子半群如果有单位元，但和幺半群的单位元不同，它也不能被称为子幺半群.（会有这种情况吗？）例：2阶矩阵乘法半群{[ab;cd]}；子半群{[a0;00]}(2)幺半群有无单位元(不管此单位元是否和幺半群的单位元相同)的子半群.20第二十页，共二十二页，编辑于2023年，星期五子(幺)半群的性质性质1一个幺半群S的任意多个子幺半群的交集还是S的子幺半群.问题：“一个半群S的任意多个子半群的交集还是S

的子半群”成立吗？例：(Z,×)是半群，奇数半群？偶数半群？性质2

设(S,∘)是半群，A是S的一个非空子集，则S的一切包含A的子半群的交集也是S的子半群.设(S,∘,e)是幺半群，A是S的一个非空子集，则S的一切包含A的子幺半群的交集也是S的子幺半群.21第二十一页，共二十二页，编辑于2023年，星期五生成子(幺)半群定义