函数极限和连续

函数极限和连续1第一页，共三十七页，编辑于2023年，星期五

参考书目

1.《高等数学》（第六版）同济大学数学系，2.《高等数学》学习指导，同济大学编写的《高等数学》配套指导书。2第二页，共三十七页，编辑于2023年，星期五1.集合的表示:(1)列举法：A={a,b,c,d,e,f,g}。(2)描述法：M={(x,y)|x2+y2=1}。2.常用集合符号:

N表示自然数集合，简称自然数集。

R表示实数集合，简称实数集。

Z表示整数集合，简称整数集。

Q表示有理数集合，简称有理集。3.

关系：N

Z，Z

Q，Q

R。第一章函数、极限与连续3第三页，共三十七页，编辑于2023年，星期五1.开区间：(a,b)={x|a<x<b}。xOab(a，b)2.闭区间：[a,b]={x|axb}。xOab[a，b]3.半开区间：[a,b)={x|ax<b}及(a,b]={x|a<xb}xOab[a，b)xOab(a，b]区间:4.有限区间：上述三类区间称为有限区间。其中a和b称为区间的端点，b-a称为区间的长度。4第四页，共三十七页，编辑于2023年，星期五

xOa[a，+)xOb(-

，b](-,b]={x|xb}，(-,+)

整个数轴[a,+)={x|ax}，5.无限区间：xOb(-

，b)(-,b)={x|x<b}，(a,+)={x|a<x}，axO(a，+)5第五页，共三十七页，编辑于2023年，星期五邻域:

1.点

a

的邻域:以点a

为中心的任何开区间称为点

a

的邻域，记作U(a)。

2.点a

的邻域:称开区间(a-,a+)为点a

的邻域，记作U(a,)，U(a,)={x|a-<x<a+}={x||x-a|<}。其中点a

称为邻域的中心,

称为邻域的半径。3.去心邻域:记为(a,)={x|0<|x-a|<}。xOa-da+dU(a,)，xOa-da+d(a，d)a6第六页，共三十七页，编辑于2023年，星期五1.函数设数集D

R，则称映射为定义在D

上的函数，记为y=f(x)，xD

。其中x叫做自变量，y叫做因变量，D叫做函数的定义域。2.映射设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中的每个元素x，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为X到Y的映射，记作7第七页，共三十七页，编辑于2023年，星期五函数要素与定义域：1.f(x)

=sinx,x[0,1]

；2.圆的面积公式f(x)

=，x半径3.f(x)

=8第八页，共三十七页，编辑于2023年，星期五5.函数的值域：所有函数值的集合称为函数的值域W={y|y=f(x)，xD}。3.函数的定义域：

（1）给定定义域：y=f(x)，xD

；（2）实际定义域：根据函数表示的实际意义确定的定义域（3）自然定义域：使函数表达式（解析式）有意义的一切实数值集合。4.函数值：

当x取数值x0D时，与x0对应的y的数值称为函数y=f(x)在点x0处的函数值，记为f(x0)。9第九页，共三十七页，编辑于2023年，星期五称为，多值函数.注：1多值函数不是函数2不作特别声明的情况下，我们所说的函数指的都是单值函数。定义：多值函数10第十页，共三十七页，编辑于2023年，星期五分段函数:定义:用公式法表示函数时,有时需要在自变量不同的取值范围中用不同的表达式来表示一个函数,则称为分段函数.例1(符号函数)例2（绝对值函数）11第十一页，共三十七页，编辑于2023年，星期五例3称函数y=[x]为取整函数-5-4-3-2-1O12345

xy54321-1-2-3-4-5y=[x]计算下列取整函数值12第十二页，共三十七页，编辑于2023年，星期五2.函数的几种特性:1.奇偶性:为奇函数.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于轴对称任意两点及,当时,,恒有2单调性:在区间上有定义,如果对于上设函数为偶函数.13第十三页，共三十七页，编辑于2023年，星期五单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.(或)则称在区间上是单调增加的.减少的)(或(3).周期性:零常数,使得对任一有且恒成立，则称是周期函数。通常只的是函数最小的正周期.的定义域为.如果存在一个非设函数14第十四页，共三十七页，编辑于2023年，星期五图象特点：y=f(x)的图形在直线y=K1的下方。y=K1y=f(x)Oxy（4）有界性

1上界：若存在数K1，使对任一xX，有f(x)K1，则称函数f(x)在X上有上界，而称K1为函数f(x)在X上的一个上界。15第十五页，共三十七页，编辑于2023年，星期五

2.下界如果存在数K2，使对任一xX，有f(x)K2，则称函数f(x)在X上有下界，而称K2为函数f(x)在X上的一个下界。图形特点：函数y=f(x)的图形在直线y=K2的上方y=Ky=f(x)Oxy16第十六页，共三十七页，编辑于2023年，星期五有界函数的图形特点：函数y=

f(x)的图形在直线y=

-M和y=

M的之间。3有界：若存在数M，使对任一xX，有|f(x)|M，则称函数f(x)在X上有界；4无界：如果这样的M不存在，则称函数f(x)在X上是无界函数，就是说对任何M，总存在x1X，使|f(x)|>M。y=f(x)Oxyy=-Ky=K17第十七页，共三十七页，编辑于2023年，星期五Oxy12y=1/x函数f(x)=1/x在开区间(0,1)内是无界的。无界函数特点：函数f(x)=1/x在(0,1)内有下界，无上界。

此函数在(1,2)内是有界的。18第十八页，共三十七页，编辑于2023年，星期五DRDR习惯上,反函数x=(y)写成y=(x)=f1(x).1.反函数：设有函数y=f(x)(xD)，其值域R=f(D).若对于R中每一个y值,都可由方程f(x)=y确定唯一的x值:x=(y),称为y=f(x)的反函数,记作x=f-1(y),读“f逆”

。3.反函数与复合函数.19第十九页，共三十七页，编辑于2023年，星期五Oxyxy=f(x)yOxy-xxy=f(x)y结论：单调函数存在反函数求反函数解析式的方法：将原函数用x表示y转化为用y表示x，对x和y互换，得到的函数就是所求的反函数。

2.反函数存在的条件：什么样的函数存在反函数？20第二十页，共三十七页，编辑于2023年，星期五直接函数与反函数的图形关于直线对称.21第二十一页，共三十七页，编辑于2023年，星期五(2).复合函数:

.称为中间变量.记作的定义域为,函数定义1.1.3若函数在上有定义,而且.因此,对于这个值,通过函数有确定的值与之对应，这样,对于任一,通过有确定的的值和复合而成的复合函数.到一个以为自变量,为因变量的函数.称这个函数为与之对应,从而得22第二十二页，共三十七页，编辑于2023年，星期五例2求复合函数例1求复合函数23第二十三页，共三十七页，编辑于2023年，星期五基本初等函数1）幂函数2）指数函数3）对数函数4）三角函数5）反三角函数初等函数:基本初等函数经过有限次加、减、乘、除四则运算和有限次函数的复合运算所得到的并可用一个解析表达式表示的函数，称为初等函数.24第二十四页，共三十七页，编辑于2023年，星期五基本初等函数1.幂函数25第二十五页，共三十七页，编辑于2023年，星期五2.指数函数26第二十六页，共三十七页，编辑于2023年，星期五3.对数函数27第二十七页，共三十七页，编辑于2023年，星期五4.三角函数正弦函数28第二十八页，共三十七页，编辑于2023年，星期五余弦函数29第二十九页，共三十七页，编辑于2023年，星期五正切函数30第三十页，共三十七页，编辑于202