单因子试验设计

单因子试验设计第一页，共四十八页，编辑于2023年，星期五

单因子试验是只包含一个试验因子的试验，也是最常见最简单的一种试验。 单因子试验经常采用完全随机设计，或随机区组设计。

它的数据分析要涉及到效应模型、参数估计、方差分析、多重比较、正态性检验、方差齐性检验等多种方法。这也是学习复因子试验的基础。我们从一个例子开始来介绍单因子试验。2.1单因子试验第二页，共四十八页，编辑于2023年，星期五

例:

茶是一种大众饮品，它含有叶酸（一种维生素B），今要研究各地的绿茶中叶酸的含量是否有显著差异？ 问题中，绿茶是一个因子，用A表示。 选定四个产地的绿茶，记为A1,A2,A3,A4，它是因子A的四个水平。为测定试验误差，需要重复。

各水平重复数相等的设计称为平衡设计.各水平重复数不等的设计称为不平衡设计.

如今我们选用不平衡设计，即A1,A2,A3,A4分别制作了7,5,6,6个样品，共有24个样品等待测试。一个例子第三页，共四十八页，编辑于2023年，星期五这里一次测试就是一次试验，试验次序要随机化。把试验结果“对号入坐”，填写试验结果。第四页，共四十八页，编辑于2023年，星期五在一个试验中只考察一个因子A及其r个水平A1，A2，…，Ar．在水平Ai下重复mi次试验，总试验次数n=m1+m2+…+mr．

记yij是第i个水平下的第j次重复试验的结果，这里i

——水平号，j——重复号．经过随机化后，所得的n个试验结果列于表2.2.1．表2.2.1单因子试验的数据第五页，共四十八页，编辑于2023年，星期五A1.正态性：在水平Ａi下的数据yi1,yi2,…,yimi是来自正态总体

的一个样本，i=1,2…,r。A2.方差齐性：r个正态总体的方差相等，即：

。A3.随机性：所有数据yij都相互独立。

图2.2.1单因子试验所涉及的多个正态总体第六页，共四十八页，编辑于2023年，星期五r个水平均值

是否彼此相等？

这要用单因子方差分析方法来研究假如r个均值不全相等，哪些均值间的差异是重要的？

这要用多重比较的方法来研究第七页，共四十八页，编辑于2023年，星期五其中

是因子A的第i个水平下第j次试验结果；

是因子A的第i个水平的均值，是待估参数；

是因子A的第i个水平下第j次试验误差，它们是相互独立同分布的随机变量。由此可知：单因子试验的三项基本假定用到试验数据yij上去，可得到如下统计模型：第八页，共四十八页，编辑于2023年，星期五由于 ，诸最小二乘法是使所有的偏差 的平方和

即四个产地绿茶的叶酸含量平均值为8.27,7.50,5.82,6.35它是第i个水平下的平均值。譬如，在例2.1.1中，由表2.1.2可得.达到最小，用微分法立即可得诸的最小二乘估计是：第九页，共四十八页，编辑于2023年，星期五2.2单因子方差分析第十页，共四十八页，编辑于2023年，星期五第十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期五第十二页，共四十八页，编辑于2023年，星期五第十三页，共四十八页，编辑于2023年，星期五第十四页，共四十八页，编辑于2023年，星期五第十五页，共四十八页，编辑于2023年，星期五第十六页，共四十八页，编辑于2023年，星期五第十七页，共四十八页，编辑于2023年，星期五第十八页，共四十八页，编辑于2023年，星期五第十九页，共四十八页，编辑于2023年，星期五2.3多重比较第二十页，共四十八页，编辑于2023年，星期五多重比较方法第二十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期五多重比较方法第二十二页，共四十八页，编辑于2023年，星期五多重比较方法在上例的均值比较中，各自的

t

用各自的来计算：1、最小显著差数法（LSD法）m

为重复数，S2e为误差项的方差第二十三页，共四十八页，编辑于2023年，星期五多重比较方法2、新复极差法（SSR法或称邓肯q检验）(1)计算抽样误差：(2)计算比较标准：第二十四页，共四十八页，编辑于2023年，星期五多重比较方法3、Tukey法（HSD法或称图基q检验）(1)计算抽样误差：(2)计算比较标准：第二十五页，共四十八页，编辑于2023年，星期五2.4效应模型第二十六页，共四十八页，编辑于2023年，星期五第二十七页，共四十八页，编辑于2023年，星期五第二十八页，共四十八页，编辑于2023年，星期五第二十九页，共四十八页，编辑于2023年，星期五第三十页，共四十八页，编辑于2023年，星期五第三十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期五第三十二页，共四十八页，编辑于2023年，星期五第三十三页，共四十八页，编辑于2023年，星期五第三十四页，共四十八页，编辑于2023年，星期五第三十五页，共四十八页，编辑于2023年，星期五2.5正态性检验在单因子方差分析中，对试验的结果有三项假定：（1）相互独立性；（2）正态性；（3）方差齐性。若在试验过程中很好的实现随机化，则试验结果的相互独立性一般可以得到满足。而正态性和方差齐性则不太容易满足，需要另外寻求统计检验方法。若检验后正态性和方差齐性不能满足，还要寻求补救方法——数据变换，使数据具有完全或近似正态性和方差齐性。第三十六页，共四十八页，编辑于2023年，星期五检验数据资料是否服从正态分布。正态分布检验有多种方法：1）偏度、峰度、Q-Q图、正态概率纸检验2）卡方拟合优度检验3）Shapiro-Wilk检验4）经验分布拟合优度检验1、正态分布检验正态性检验第三十七页，共四十八页，编辑于2023年，星期五1）偏度、峰度、Q-Q图、正态概率纸检验比较直观，但有些粗略。2）卡方拟合优度检验分组不同，拟合的结果可能不同。需要有足够大的样本含量。对于连续型变量的优度拟合，卡方检验并不是理想的方法。正态性检验第三十八页，共四十八页，编辑于2023年，星期五将数据排序后一分为二折返配对，计算差值，查系数表ak(n)，构造W

统计量。Shapiro-WilkW

统计量2、Shapiro-Wilk检验法（小样本

8≤n≤50）正态性检验第三十九页，共四十八页，编辑于2023年，星期五统计量W的取值范围为[0,1]在原假设

H0：数据服从正态分布下，统计量W应该接近于1，反之应接近于0，在给定显著性水平α下，使得：其拒绝域为：2、Shapiro-Wilk检验法（小样本

8≤n≤50）正态性检验第四十页，共四十八页，编辑于2023年，星期五由样本计算得到经验分布函数Fn(x)与原假设指定的正态分布F0(x)之间的差异进行检验。1）Kolmogorov-SmirnovD

统计量比较实际频数与理论频数的累积概率间的差距，找出最大距离D，根据D

值来进行检验。3、几种经验分布拟合优度检验（大样本

>50）正态性检验第四十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期五2）Cramer-vonW

2

统计量3）Anderson-DarlingA

2

统计量正态性检验第四十二页，共四十八页，编辑于2023年，星期五2.6