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文档简介
学必求其心得,业必贵于专精学必求其心得,业必贵于专精学必求其心得,业必贵于专精1。3。1空间几何体的表面积学习目标1。通过对柱体、锥体、台体的研究,掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法.2。了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式;能运用柱体、锥体、台体的表面积公式进行计算和解决有关实际问题.3.培养空间想象能力和思维能力。知识点一直棱柱和正棱锥的表面积思考1直棱柱和正棱锥的特征是什么?思考2下图是直六棱柱的展开图,你能根据展开图归纳出直棱柱的侧面面积公式吗?思考3下图是正四棱锥的展开图,设底面周长为c,你能根据展开图,归纳出正n棱锥的侧面面积公式吗?思考4如何求多面体的表面积?梳理(1)直棱柱的侧面积①侧棱和底面________的棱柱叫做直棱柱.②直棱柱的侧面展开图是矩形,这个矩形的长等于直棱柱的底面周长c,宽等于直棱柱的高h,因此,直棱柱的侧面积是S直棱柱侧=______.③底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱.(2)正棱锥的侧面积①如果一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的正投影是____________,那么称这样的棱锥为正棱锥。正棱锥的侧棱长都相等.②棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的,展开图的面积就是棱锥的侧面积。如果正棱锥的底面周长为c,斜高(即侧面等腰三角形底边上的高)为h′,它的侧面积是S正棱锥侧=__________。知识点二正棱台的表面积思考1什么是正棱台?正棱台的侧面展开图是怎样的图形?思考2如图是正四棱台的展开图,设下底面周长为c,上底面周长为c′,你能根据展开图,归纳出正n棱台的侧面面积公式吗?思考3正棱台的侧面积除了用展开图的方法求外,你还有其他方法吗?棱台的表面积如何求?梳理正棱锥被________________________所截,截面和底面之间的部分叫做正棱台.与正棱锥的侧面积公式类似,若设正棱台的上、下底面的周长分别为c′,c,斜高为h′,则其侧面积是S正棱台侧=________________。知识点三圆柱、圆锥、圆台的表面积思考1圆柱OO′及其侧面展开图如图所示,则其侧面积为多少?表面积为多少?思考2圆锥SO及其侧面展开图如图所示,则其侧面积为多少?表面积为多少?思考3圆台OO′及其侧面展开图如图所示,则其侧面积为多少?表面积为多少?梳理图形表面积公式旋转体圆柱底面积:S底= 侧面积:S侧= ,表面积:S= 圆锥底面积:S底=,侧面积:S侧=,表面积:S= 圆台上底面面积:S上底= ,下底面面积:S下底=,侧面积:S侧= ,表面积:S= 类型一求多面体的侧面积和表面积例1正四棱台两底面边长分别为a和b(a<b).(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°,求棱台的侧面积;(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和,求它的高.引申探究若四棱台的高是12cm,两底面边长之差为10cm,表面积为512cm2,求底面的边长。反思与感悟(1)求棱锥、棱台及棱柱的侧面积和表面积的关键是求底面边长,高,斜高,侧棱.求解时要注意直角三角形和梯形的应用.(2)正棱柱、正棱锥、正棱台的所有侧面都全等,因此求侧面积时,可先求一个侧面的面积,然后乘以侧面的个数.(3)棱台是由棱锥所截得到的,因此棱台的侧面积也可由大小棱锥侧面积作差得到。跟踪训练1已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍,高为3,求它的表面积.类型二求旋转体的表面积引申探究若本例条件改为:圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,求圆台较小底面的半径.例2圆台的上、下底面半径分别为10cm和20cm。它的侧面展开图扇环的圆心角为180°,那么圆台的表面积是________cm2。(结果中保留π)反思与感悟(1)求圆柱、圆锥和圆台的侧面积和表面积,只需求出上、下底半径和母线长即可,求半径和母线长时常借助轴截面。(2)解答旋转体的侧面积与表面积问题可先把空间问题转化为平面问题,即在展开图内求母线的长,再进一步代入侧面积公式求出侧面积,进而求出表面积.(3)旋转体的轴截面是化空间问题为平面问题的重要工具,因为在轴截面中集中体现了旋转体的“关键量”之间的关系.在推导这些量之间的关系时要注意比例性质的应用.跟踪训练2若圆锥的母线长为2cm,底面圆的周长为2πcm,则圆锥的表面积为________cm2.类型三简单组合体的表面积例3牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体,尺寸如图所示(单位:m),请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少篷布?(精确到0.01m2)反思与感悟(1)组合体的侧面积和表面积问题,首先要弄清楚它是由哪些简单几何体组成,然后再根据条件求各个简单组合体的基本量,注意方程思想的应用。(2)在实际问题中,常通过计算物体的表面积来研究如何合理地用料,如何节省原材料等,在求解时应结合实际,明确实际物体究竟是哪种几何体,哪些面计算在内,哪些面实际没有.跟踪训练3有两个相同的直棱柱,高为eq\f(2,a),底面三角形的边长分别为3a,4a,5a(a〉0)。用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情形中,表面积最小的是一个四棱柱,求a的取值范围.1。将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是________。2.已知一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半,且侧面积是32π,则母线长为________.3.若正三棱锥的斜高是高的eq\f(2,3)eq\r(3)倍,则该正三棱锥的侧面积是底面积的________倍。4.已知一个正四棱柱的对角线的长是9cm,表面积等于144cm2,则这个棱柱的侧面积为________cm2。5.以圆柱的上底中心为顶点,下底为底作圆锥,假设圆柱的侧面积为6,圆锥的侧面积为5,求圆柱的底面半径。1.多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和。棱柱的表面积等于它的侧面积加底面积;棱锥的表面积等于它的侧面积加底面积;棱台的表面积等于它的侧面积加两个底的面积。2.有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面,就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解。而对于圆台有时需要将它还原成圆锥,再借助相似的相关知识求解。3.S圆柱表=2πr(r+l);S圆锥表=πr(r+l);S圆台表=π(r2+rl+Rl+R2)。
答案精析问题导学知识点一思考1直棱柱:侧棱和底面垂直的棱柱;正棱锥:底面是正多边形,顶点在底面的正投影是底面中心.思考2S直棱柱侧面积=ch,即直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积.思考3S正棱锥侧面积=eq\f(1,2)nah′=eq\f(1,2)ch′,即正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半.思考4一般地,我们可以把多面体展开成平面图形,求出展开图中各个小多边形的面积,然后相加即为多面体的表面积.梳理(1)①垂直②ch(2)①底面中心②eq\f(1,2)ch′知识点二思考1正棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面之间的部分叫做正棱台.正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形.思考2S正棱台侧面积=eq\f(1,2)n(a+a′)h′=eq\f(1,2)(c+c′)h′。思考3可以用求两个正棱锥侧面积之差的方法得出.棱台的表面积等于侧面积与底面积的和.梳理平行于底面的平面eq\f(1,2)(c+c′)h′知识点三思考1S侧=2πrl,S表=2πr(r+l).思考2底面周长是2πr,利用扇形面积公式得S侧=eq\f(1,2)×2πrl=πrl,S表=πr2+πrl=πr(r+l).思考3由题图知,圆台的侧面展开图是扇环,内弧长等于圆台上底周长,外弧长等于圆台下底周长,则,eq\f(x,x+l)=eq\f(r,R),解得x=eq\f(r,R-r)l。S扇环=S大扇形-S小扇形=eq\f(1,2)(x+l)×2πR-eq\f(1,2)x×2πr=π[(R-r)x+Rl]=π(r+R)l,所以S圆台侧=π(r+R)l,S圆台表=π(r2+rl+Rl+R2).梳理2πr22πrl2πr(r+l)πr2πrlπr(r+l)πr′2πr2π(r′l+rl)π(r′2+r2+r′l+rl)题型探究例1解(1)如图所示,设O1、O分别上、下底面的中心,过C1作C1E⊥AC于E,过E作EF⊥BC,连结C1F,则C1F为正四棱台的斜高.由题意知∠C1CO=45°,CE=CO-EO=CO-C1O1=eq\f(\r(2),2)(b-a).在Rt△C1CE中,C1E=CE=eq\f(\r(2),2)(b-a),又EF=CE·sin45°=eq\f(1,2)(b-a),∴C1F=eq\r(C1E2+EF2)=eq\r(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)b-a))2+\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)b-a))2)=eq\f(\r(3),2)(b-a).∴S侧=eq\f(1,2)(4a+4b)×eq\f(\r(3),2)(b-a)=eq\r(3)(b2-a2).(2)∵S侧=S底,S底=a2+b2,∴eq\f(1,2)(4a+4b)·h斜=a2+b2,∴h斜=eq\f(a2+b2,2a+b).又EF=eq\f(b-a,2),∴h=eq\r(h\o\al(2,斜)-EF2)=eq\f(ab,a+b).引申探究解如图,设上底面边长为xcm,则下底面边长为(x+10)cm,在Rt△E1FE中,EF=eq\f(x+10-x,2)=5(cm).∵E1F=12cm,∴斜高E1E=13cm.∴S侧=4×eq\f(1,2)(x+x+10)×13=52(x+5),S表=52(x+5)+x2+(x+10)2=2x2+72x+360。∵S表=512cm2,∴2x2+72x+360=512,解得x1=-38(舍去),x2=2.∴x2+10=12.∴正四棱台的上、下底面边长分别为2cm、12cm.跟踪训练1解如图,设PO=3,PE是斜高,∵S侧=2S底,∴4·eq\f(1,2)·BC·PE=2BC2,∴BC=PE.在Rt△POE中,PO=3,OE=eq\f(1,2)BC=eq\f(1,2)PE,∴9+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PE,2)))2=PE2,∴PE=2eq\r(3).∴S底=BC2=PE2=(2eq\r(3))2=12,S侧=2S底=2×12=24,∴S表=S底+S侧=12+24=36。例21100π引申探究解设圆台较小底面的半径为r,则另一底面半径为3r,由题意知母线长l=3,∵S侧=π(r+3r)×3=84π,∴r=7。跟踪训练23π例3解上部分圆锥体的母线长为eq\r(1。22+2。52)m,其侧面积为S1=π×eq\f(5,2)×eq\r(1.22+2.52)(m2).下部分圆柱体的侧面积为S2=π×5×1.8(m2).∴搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为S=S1+S2=π×eq\f(5,2)×eq\r(1。22+2.52)+π×5×1。8≈50.05(m2).跟踪训练3解两个相同的直棱柱拼成一个三棱柱或四棱柱,有四种情况:四棱柱有一种,边长为5a的边重合在一起,表面积为24a2+28。三棱柱有三种,边长为4a的边重合在一起,表面积为24a2+32;边长为3a的边重合在一起,表面积为24a2+36;两个相同的直三棱柱竖直放在一起,表面积为12a2+48。最小的是一个四棱柱,即24a2+28<12a2+48,即a2<eq\f(5,3),又a>0,∴0〈a〈eq\f(\r(15),3)。∴a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(\r(15),3)))。当堂训练1.2π2.
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