高中数学二学案：1.3.1　空间几何体的表面积

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1。3。1空间几何体的表面积学习目标1。通过对柱体、锥体、台体的研究,掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法.2。了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式;能运用柱体、锥体、台体的表面积公式进行计算和解决有关实际问题.3.培养空间想象能力和思维能力。知识点一直棱柱和正棱锥的表面积思考1直棱柱和正棱锥的特征是什么？思考2下图是直六棱柱的展开图,你能根据展开图归纳出直棱柱的侧面面积公式吗？思考3下图是正四棱锥的展开图,设底面周长为c,你能根据展开图，归纳出正n棱锥的侧面面积公式吗？思考4如何求多面体的表面积？梳理（1)直棱柱的侧面积①侧棱和底面________的棱柱叫做直棱柱.②直棱柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于直棱柱的底面周长c,宽等于直棱柱的高h,因此，直棱柱的侧面积是S直棱柱侧＝______.③底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱.(2)正棱锥的侧面积①如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是____________，那么称这样的棱锥为正棱锥。正棱锥的侧棱长都相等.②棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的,展开图的面积就是棱锥的侧面积。如果正棱锥的底面周长为c，斜高(即侧面等腰三角形底边上的高)为h′，它的侧面积是S正棱锥侧＝__________。知识点二正棱台的表面积思考1什么是正棱台？正棱台的侧面展开图是怎样的图形？思考2如图是正四棱台的展开图，设下底面周长为c，上底面周长为c′,你能根据展开图，归纳出正n棱台的侧面面积公式吗？思考3正棱台的侧面积除了用展开图的方法求外，你还有其他方法吗?棱台的表面积如何求？梳理正棱锥被________________________所截,截面和底面之间的部分叫做正棱台.与正棱锥的侧面积公式类似,若设正棱台的上、下底面的周长分别为c′,c,斜高为h′，则其侧面积是S正棱台侧＝________________。知识点三圆柱、圆锥、圆台的表面积思考1圆柱OO′及其侧面展开图如图所示,则其侧面积为多少？表面积为多少？思考2圆锥SO及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少?表面积为多少？思考3圆台OO′及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？梳理图形表面积公式旋转体圆柱底面积：S底＝ 侧面积：S侧＝ ，表面积:S＝ 圆锥底面积：S底＝,侧面积：S侧＝，表面积：S＝ 圆台上底面面积：S上底＝ ，下底面面积:S下底＝,侧面积：S侧＝ ，表面积:S＝ 类型一求多面体的侧面积和表面积例1正四棱台两底面边长分别为a和b(a<b).（1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积；（2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高.引申探究若四棱台的高是12cm，两底面边长之差为10cm,表面积为512cm2，求底面的边长。反思与感悟(1）求棱锥、棱台及棱柱的侧面积和表面积的关键是求底面边长,高，斜高，侧棱.求解时要注意直角三角形和梯形的应用.（2)正棱柱、正棱锥、正棱台的所有侧面都全等，因此求侧面积时，可先求一个侧面的面积,然后乘以侧面的个数.（3)棱台是由棱锥所截得到的,因此棱台的侧面积也可由大小棱锥侧面积作差得到。跟踪训练1已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高为3,求它的表面积.类型二求旋转体的表面积引申探究若本例条件改为：圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π，求圆台较小底面的半径.例2圆台的上、下底面半径分别为10cm和20cm。它的侧面展开图扇环的圆心角为180°,那么圆台的表面积是________cm2。(结果中保留π)反思与感悟(1)求圆柱、圆锥和圆台的侧面积和表面积,只需求出上、下底半径和母线长即可，求半径和母线长时常借助轴截面。（2）解答旋转体的侧面积与表面积问题可先把空间问题转化为平面问题，即在展开图内求母线的长，再进一步代入侧面积公式求出侧面积，进而求出表面积.(3）旋转体的轴截面是化空间问题为平面问题的重要工具,因为在轴截面中集中体现了旋转体的“关键量”之间的关系.在推导这些量之间的关系时要注意比例性质的应用.跟踪训练2若圆锥的母线长为2cm，底面圆的周长为2πcm，则圆锥的表面积为________cm2.类型三简单组合体的表面积例3牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体，尺寸如图所示（单位：m）,请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少篷布？（精确到0.01m2)反思与感悟(1)组合体的侧面积和表面积问题,首先要弄清楚它是由哪些简单几何体组成，然后再根据条件求各个简单组合体的基本量，注意方程思想的应用。(2）在实际问题中，常通过计算物体的表面积来研究如何合理地用料，如何节省原材料等,在求解时应结合实际，明确实际物体究竟是哪种几何体，哪些面计算在内，哪些面实际没有.跟踪训练3有两个相同的直棱柱，高为eq\f（2，a），底面三角形的边长分别为3a,4a，5a（a〉0)。用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中,表面积最小的是一个四棱柱，求a的取值范围.1。将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是________。2.已知一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π,则母线长为________.3.若正三棱锥的斜高是高的eq\f（2,3)eq\r(3)倍,则该正三棱锥的侧面积是底面积的________倍。4.已知一个正四棱柱的对角线的长是9cm,表面积等于144cm2，则这个棱柱的侧面积为________cm2。5.以圆柱的上底中心为顶点,下底为底作圆锥，假设圆柱的侧面积为6，圆锥的侧面积为5，求圆柱的底面半径。1.多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和。棱柱的表面积等于它的侧面积加底面积；棱锥的表面积等于它的侧面积加底面积；棱台的表面积等于它的侧面积加两个底的面积。2.有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解。而对于圆台有时需要将它还原成圆锥,再借助相似的相关知识求解。3.S圆柱表＝2πr(r＋l)；S圆锥表＝πr(r＋l)；S圆台表＝π（r2＋rl＋Rl＋R2)。

答案精析问题导学知识点一思考1直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱；正棱锥：底面是正多边形,顶点在底面的正投影是底面中心．思考2S直棱柱侧面积＝ch,即直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积．思考3S正棱锥侧面积＝eq\f(1,2)nah′＝eq\f（1，2)ch′，即正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半．思考4一般地,我们可以把多面体展开成平面图形，求出展开图中各个小多边形的面积，然后相加即为多面体的表面积．梳理（1)①垂直②ch（2)①底面中心②eq\f(1，2)ch′知识点二思考1正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台．正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形．思考2S正棱台侧面积＝eq\f(1,2)n（a＋a′）h′＝eq\f（1，2)（c＋c′）h′。思考3可以用求两个正棱锥侧面积之差的方法得出．棱台的表面积等于侧面积与底面积的和．梳理平行于底面的平面eq\f(1，2)（c＋c′)h′知识点三思考1S侧＝2πrl，S表＝2πr(r＋l)．思考2底面周长是2πr，利用扇形面积公式得S侧＝eq\f(1，2）×2πrl＝πrl，S表＝πr2＋πrl＝πr（r＋l)．思考3由题图知,圆台的侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长,则，eq\f（x，x＋l)＝eq\f（r，R），解得x＝eq\f（r,R－r)l。S扇环＝S大扇形－S小扇形＝eq\f（1,2）(x＋l)×2πR－eq\f（1，2)x×2πr＝π[(R－r)x＋Rl]＝π(r＋R)l，所以S圆台侧＝π(r＋R）l，S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2）．梳理2πr22πrl2πr（r＋l)πr2πrlπr（r＋l)πr′2πr2π（r′l＋rl）π(r′2＋r2＋r′l＋rl)题型探究例1解（1)如图所示,设O1、O分别上、下底面的中心，过C1作C1E⊥AC于E,过E作EF⊥BC，连结C1F，则C1F为正四棱台的斜高．由题意知∠C1CO＝45°，CE＝CO－EO＝CO－C1O1＝eq\f（\r(2)，2)（b－a)．在Rt△C1CE中，C1E＝CE＝eq\f(\r（2）,2)(b－a）,又EF＝CE·sin45°＝eq\f（1,2）(b－a)，∴C1F＝eq\r(C1E2＋EF2）＝eq\r（\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f（\r(2),2）b－a））2＋\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f（1，2)b－a))2）＝eq\f(\r(3），2)（b－a)．∴S侧＝eq\f(1,2）（4a＋4b）×eq\f(\r(3)，2)(b－a）＝eq\r（3）（b2－a2)．（2）∵S侧＝S底，S底＝a2＋b2，∴eq\f（1,2)(4a＋4b)·h斜＝a2＋b2,∴h斜＝eq\f(a2＋b2，2a＋b).又EF＝eq\f(b－a，2）,∴h＝eq\r(h\o\al（2，斜)－EF2）＝eq\f（ab,a＋b）.引申探究解如图,设上底面边长为xcm，则下底面边长为(x＋10）cm，在Rt△E1FE中，EF＝eq\f(x＋10－x，2）＝5（cm）．∵E1F＝12cm，∴斜高E1E＝13cm.∴S侧＝4×eq\f(1,2）（x＋x＋10）×13＝52（x＋5),S表＝52(x＋5)＋x2＋（x＋10）2＝2x2＋72x＋360。∵S表＝512cm2，∴2x2＋72x＋360＝512，解得x1＝－38(舍去)，x2＝2.∴x2＋10＝12.∴正四棱台的上、下底面边长分别为2cm、12cm.跟踪训练1解如图，设PO＝3,PE是斜高，∵S侧＝2S底，∴4·eq\f（1，2)·BC·PE＝2BC2，∴BC＝PE.在Rt△POE中，PO＝3，OE＝eq\f(1，2)BC＝eq\f（1,2）PE，∴9＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(PE,2)））2＝PE2，∴PE＝2eq\r（3）.∴S底＝BC2＝PE2＝(2eq\r（3))2＝12，S侧＝2S底＝2×12＝24，∴S表＝S底＋S侧＝12＋24＝36。例21100π引申探究解设圆台较小底面的半径为r，则另一底面半径为3r，由题意知母线长l＝3,∵S侧＝π（r＋3r)×3＝84π，∴r＝7。跟踪训练23π例3解上部分圆锥体的母线长为eq\r(1。22＋2。52)m，其侧面积为S1＝π×eq\f（5,2)×eq\r(1.22＋2.52)（m2）．下部分圆柱体的侧面积为S2＝π×5×1.8(m2)．∴搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为S＝S1＋S2＝π×eq\f（5,2)×eq\r（1。22＋2.52)＋π×5×1。8≈50.05(m2)．跟踪训练3解两个相同的直棱柱拼成一个三棱柱或四棱柱，有四种情况：四棱柱有一种，边长为5a的边重合在一起，表面积为24a2＋28。三棱柱有三种,边长为4a的边重合在一起，表面积为24a2＋32；边长为3a的边重合在一起，表面积为24a2＋36；两个相同的直三棱柱竖直放在一起，表面积为12a2＋48。最小的是一个四棱柱,即24a2＋28<12a2＋48，即a2<eq\f（5，3)，又a>0，∴0〈a〈eq\f（\r(15），3)。∴a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（0，\f(\r(15)，3））)。当堂训练1．2π2.