高中数学北师大版一学案：第三章 4 第2课时 对数的运算

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第2课时对数的运算学习目标1。掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.2。掌握换底公式及其推论.3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．知识点一对数运算性质思考有了乘法口诀,我们就不必把乘法还原成为加法来计算．那么，有没有类似乘法口诀的东西，使我们不必把对数式还原成指数式就能计算？梳理如果a〉0，a≠1，M〉0，N>0，则（1)loga（MN）＝____________________.（2)logaMn＝____________（n∈R）．（3)logaeq\f(M,N）＝____________________.知识点二换底公式思考1观察知识点一的三个公式，我们发现对数都是同底的才能用这三个公式．而实际上，早期只有常用对数表(以10为底)和自然对数表（以无理数e为底),可以查表求对数值．那么我们在运算和求值中遇到不同底的对数怎么办？思考2假设eq\f（log25，log23)＝x,则log25＝xlog23，即log25＝log23x,从而有3x＝5，再化为对数式可得到什么结论?梳理对数换底公式为logbN＝eq\f（logaN,logab)（a，b>0,a,b≠1，N>0)．特别地：logab·logba＝________（a>0，且a≠1,b>0,且b≠1）．类型一具体数字的化简求值例1计算：(1）log345－log35;（2)log2(23×45）；(3)eq\f（lg\r（27)＋lg8－lg\r（1000)，lg1.2）；（4)log29·log38.反思与感悟具体数的化简求值主要遵循2个原则：(1）把数字化为质因数的幂、积、商的形式．（2）不同底化为同底．跟踪训练1计算：（1）2log63＋log64;（2）（lg25－lgeq\f(1,4)）÷；(3)log43·log98；(4)log2.56.25＋lneq\r（e）－.类型二代数式的化简eq\x(命题角度1代数式恒等变形）例2化简logaeq\f（x2\r（y),\r（3，z)）。反思与感悟使用公式要注意成立条件，如lgx2不一定等于2lgx，反例：log10(－10)2＝2log10(－10）是不成立的．要特别注意loga（MN）≠logaM·logaN，loga(M±N）≠logaM±logaN。跟踪训练2已知y>0,化简logaeq\f（\r(x),yz)。eq\x(命题角度2用代数式表示对数）例3已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645。反思与感悟此类问题的本质是把目标分解为基本“粒子",然后用指定字母换元．跟踪训练3已知log23＝a,log37＝b，用a,b表示log4256.1．log5eq\f(1,3)＋log53等于()A．0B．1C．－1D．log5eq\f（10,3)2．设a，b,c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是()A．logab·logcb＝logcaB．logab·logca＝logcbC．loga(bc）＝logab·logacD．loga(b＋c)＝logab＋logac3．log29×log34等于(）A。eq\f（1,4)B。eq\f（1,2）C．2D．44．lg0。01＋log216的值是________．5．已知lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（lg\f（a，b）))2的值是________．1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数,换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．2．运用对数的运算性质应注意:(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．（2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．（3）在运算过程中避免出现以下错误：①logaNn＝(logaN)n，②loga(MN）＝logaM·logaN，③logaM±logaN＝loga(M±N）．

答案精析问题导学知识点一思考有．例如,设logaM＝m，logaN＝n，则am＝M,an＝N，∴MN＝am·an＝am＋n，∴loga(MN)＝m＋n＝logaM＋logaN。得到的结论loga(MN)＝logaM＋logaN可以当公式直接进行对数运算．梳理（1)logaM＋logaN（2)nlogaM(3）logaM－logaN知识点二思考1设法换为同底．思考2把3x＝5化为对数式为log35＝x,又因为x＝eq\f（log25，log23)，所以得出log35＝eq\f(log25，log23)的结论．梳理1题型探究例1解(1)log345－log35＝log3eq\f（45,5)＝log39＝log332＝2log33＝2.(2)log2(23×45)＝log2(23×210)＝log2(213）＝13log22＝13。（3）原式＝＝eq\f(\f(3,2）lg\f(12，10)，lg\f(12,10）)＝eq\f（3，2）.(4)log29·log38＝log2(32)·log3(23)＝2log23·3log32＝6·log23·eq\f（1，log23）＝6。跟踪训练1解（1)原式＝log632＋log64＝log6(32×4）＝log6（62)＝2log66＝2.（2）原式＝（lgeq\f(25，\f（1,4)))÷＝lg102÷10－1＝2×10＝20。（3）原式＝eq\f（lg3，lg4)·eq\f(lg8,lg9）＝eq\f(lg3，2lg2）·eq\f（3lg2，2lg3）＝eq\f（3,4）。(4）原式＝log2。5(2。5)2＋eq\f（1,2)－eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(64,1000）)）＝2＋eq\f(1，2）－eq\f(4，10）＝eq\f（21,10)。例2解∵eq\f(x2\r(y），\r(3，z）)>0且x2>0，eq\r(y)〉0，∴y〉0，z〉0.logaeq\f（x2\r(y),\r（3，z))＝loga(x2eq\r(y）)－logaeq\r(3,z）＝logax2＋logaeq\r(y）－logaeq\r（3，z)＝2loga|x|＋eq\f(1,2)logay－eq\f(1，3)logaz。跟踪训练2解∵eq\f（\r（x)，yz）〉0,y>0，∴x>0，z>0。∴logaeq\f(\r(x),yz)＝logaeq\r（x)－loga（yz)＝eq\f(1，2）logax－logay－logaz。例3解方法一∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b，于是log3645＝eq\f(log1845，log1836)＝eq\f（log189×5,log1818×2）＝eq\f（log189＋log185,1＋log182）＝eq\f（a＋b,1＋log18\f(18，9)）＝eq\f（a＋b，2－a).方法二∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b,于是log3645＝eq\f(log1845，log1836）＝eq\f(log189×5,log1818×2）＝eq\f（log189＋log185,2log1818－log189)＝eq\f(a＋b，2－a）.方法三∵log189＝a，18b＝5,∴lg9＝alg18,lg5＝blg18，∴log3645＝eq\f(lg45，lg36)＝eq\f(lg9×5,lg\f（182，9）)＝eq\f（lg9＋lg5,2lg18－lg9）＝eq\f（alg18＋blg18，2lg18－alg18)＝eq\f(a＋b,2－a）.跟踪训练3解∵log23＝a，则eq\f（1，a)＝log32,又∵log37＝b，∴log4256＝eq\f（log356,log342）＝eq\f（log37＋3log32,log37＋log32＋1）＝eq\f（ab＋3,ab＋a＋1).当堂训练1．A2．B［由logab·logcb＝eq\f(lgb，lga)·eq\f（lgb,lgc）≠logca,故A错；由logab·logca＝eq\f(lgb，lga)·eq\f（lga,lgc）＝eq\f(lgb，lgc)＝logcb。故选B.]3．D4．2解析lg0.01＋log216＝－2＋4＝2。5．2解析由已知得lga＋lgb＝2,