高中数学北师大版三学案：第三章 概率 2.2　建立概率模型

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2.2建立概率模型［学习目标]1.根据需要会建立合理的概率模型,解决一些实际问题。2。理解概率模型的特点及应用．知识点古典概率模型1．在建立概率模型时,把什么看作是一个基本事件（即一个试验结果）是人为规定的，如果每次试验有一个并且只有一个基本事件出现，只要基本事件的个数是有限的，并且它们的发生是等可能的,就是一个古典概型．2．从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，而所得到的古典概型的所有可能结果越少，问题的解决就变得越简单．3．在求古典概型的概率时，我们往往要列举基本事件，树状图法是进行列举的一种常用方法．题型一用树状图求概率例1甲、乙、丙、丁四名学生按任意次序站成一排，试求下列事件的概率：(1）甲在边上；（2)甲和乙都在边上；（3)甲和乙都不在边上．解利用树状图来列举基本事件，如图所示．由树状图可看出共有24个基本事件．(1）甲在边上有12种情形：(甲,乙，丙，丁），(甲,乙，丁，丙)，（甲，丙，乙，丁)，(甲，丙，丁,乙），(甲，丁,乙,丙)，（甲，丁，丙，乙），（乙，丙，丁，甲），(乙，丁，丙，甲)，（丙，乙，丁，甲），(丙，丁，乙，甲），(丁，乙，丙,甲），（丁,丙，乙，甲）．故甲在边上的概率为P＝eq\f（12,24)＝eq\f（1，2）。(2）甲和乙都在边上有4种情形：(甲,丙,丁,乙)，(甲，丁，丙，乙)，（乙，丙,丁，甲),(乙，丁,丙,甲)，故甲和乙都在边上的概率为P＝eq\f（4，24）＝eq\f(1，6）.(3）甲和乙都不在边上，有4种情形：（丙，甲，乙，丁)，（丙，乙，甲，丁），(丁，甲，乙，丙)，（丁，乙，甲，丙）,故甲和乙都不在边上的概率为P＝eq\f(4，24)＝eq\f(1，6）.反思与感悟对于一些比较复杂的古典概型问题，一般可以通过分类，有序地把事件包含的情况分别罗列出来，从而清晰地找出满足条件的情况，在列举时一定要注意合理分类,才能做到不重不漏，结果明了,而树状图则是解决此类问题的较好方法．跟踪训练1甲、乙两同学下棋,胜一盘得2分，和一盘各得1分，负一盘得0分．连下三盘,得分多者为胜，求甲获胜的概率．解甲同学的胜负情况画树状图如下：每盘棋都有胜、和、负三种情况,三盘棋共有3×3×3＝27种情况．设“甲获胜"为事件A，甲获胜的情况有：三盘都胜，得6分有1种情况，两胜一和得5分有3种情况,两胜一负得4分有3种情况，一胜两和得4分有3种情况，共10种情况．故甲获胜的概率为P(A）＝eq\f(10,27）.题型二由列表法求概率例2某乒乓球队有男乒乓球运动员4名、女乒乓球运动员3名，现要选一男一女两名运动员组成混合双打组合参加某项比赛，试列出全部可能的结果；若某女乒乓球运动员为国家一级运动员，则她参赛的概率是多少？解由于男运动员从4人中任意选取，女运动员从3人中任意选取,为了得到试验的全部结果，我们设男运动员为A，B,C，D,女运动员为1，2,3,我们可以用一个“有序数对"来表示随机选取的结果．如(A,1)表示：第一次随机选取从男运动员中选取的是男运动员A，从女运动员中选取的是女运动员1，可用列表法列出所有可能的结果．如下表所示，设“国家一级运动员参赛”为事件E。女结果男123A（A，1）(A,2）(A，3）B(B,1）（B，2)(B,3)C（C,1）(C,2)(C,3）D（D,1）（D,2)（D,3）由上表可知，可能的结果总数是12个．设女运动员1为国家一级运动员，她参赛的可能事件有4个，故她参赛的概率为P(E)＝eq\f(4，12)＝eq\f(1，3).反思与感悟列表法的优点是准确、全面、不易漏掉，对于试验的结果不是太多的情况，都可以采用此方法．跟踪训练2在一次数学研究性实践活动中，兴趣小组做了两个均匀的正方体玩具,组长同时抛掷2个均匀的正方体玩具（各个面上分别标上数字1、2、3、4、5、6)后,让小组成员求:(1）两个正方体朝上一面数字相同的概率是多少？(2）两个正方体朝上一面数字之积为偶数的概率是多少？解两个玩具正面向上的情况如下表：1234561（1,1）（1，2)(1，3)（1,4)(1，5）（1，6）2(2,1)（2，2)（2,3)（2，4）（2，5）(2,6）3(3,1)（3,2)(3,3）（3，4)(3,5)(3，6）4(4，1）（4,2)（4,3)(4,4）（4，5)(4,6）5（5,1）(5,2)（5，3）（5，4）（5，5)(5,6）6（6，1)（6，2）(6,3）(6，4）(6，5)(6，6）(1）事件“两个正方体朝上一面数字相同的情况”只有6种，故它的概率是eq\f(6,36)＝eq\f（1，6）.（2）事件“两个正方体朝上一面数字之积为偶数的情况”有27种,如表中有下划线的情况，即两个正方体朝上一面数字之积为偶数的概率为eq\f(27，36）＝eq\f(3,4).题型三“有无放回"的古典概型例3从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．解每次取出一个,取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即（a1，a2)，(a1,b1)，（a2,a1)，（a2,b1)，(b1，a1)，(b1,a2）．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．总的事件个数为6，而且可以认为这些基本事件是等可能的．用A表示“取出的两件中恰有一件次品”这一事件，所以A＝｛(a1，b1），(a2,b1)，（b1，a1)，（b1，a2)｝．因为事件A由4个基本事件组成，所以P(A）＝eq\f(4，6)＝eq\f（2,3）。反思与感悟“有放回”与“不放回”问题的区别在于：对于某一试验，若采用“有放回”抽样，则同一个个体可能被重复抽取，而采用“不放回"抽样,则同一个个体不可能被重复抽取．跟踪训练3一个盒子里装有完全相同的四个小球，分别标上1,2，3,4这4个数字，今随机地抽取两个小球，如果：(1)小球是不放回的;(2）小球是有放回的．求两个小球上的数字为相邻整数的概率．解设事件A：两个小球上的数字为相邻整数．则事件A包括的基本事件有(1,2),（2,3），(3，4),（4，3)，(3,2）,(2,1）共6个．（1）不放回取球时,基本事件有(1，2),（1,3）,(1,4),(2，1），（2，3），（2，4），（3,1），（3,2），(3,4)，(4,1）,（4，2)，（4，3）共12种．故P（A）＝eq\f（6，12）＝eq\f（1，2)。(2）有放回取球时，基本事件有(1,1)，(1，2），(1,3），(1,4）,(2，1),（2，2)，(2，3)，(2,4），(3，1），（3,2)，(3，3),(3，4），(4,1），（4，2），（4，3），（4,4）共16种．故P(A）＝eq\f(6，16）＝eq\f（3，8).1．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是eq\f(1，2),甲获胜的概率是eq\f（1，3)，则甲不输的概率为(）A.eq\f(5,6） B.eq\f（2，5)C.eq\f(1,6) D。eq\f（1,3)答案A解析先确定甲不输包含的基本事件,再根据概率公式计算．事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为eq\f（1,2）＋eq\f(1，3)＝eq\f(5,6).2．一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏,让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行,若卡片按从左到右的顺序排成“1314”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为(）A.eq\f（1,12) B.eq\f（5,12)C。eq\f（7,12） D。eq\f（5，6）答案A解析由题意知，基本事件个数有12个,满足条件的基本事件就一个,故所求概率为P＝eq\f（1,12）.3．甲乙两人随意入住两间空房，则两人各住一间房的概率是(）A。eq\f(1，3) B.eq\f(1,4）C.eq\f(1,2) D。eq\f(2,3）答案C解析设两间房分别为A，B,则基本事件有（A，A）,（A，B），(B，A)，(B,B）共计4种，则两人各住一间房包含（A,B)，(B，A）两个基本事件，故选C.4．从{1，2,3，4,5｝中随机选取一个数为a，从｛1,2，3｝中随机选取一个数为b,则b〉a的概率是（)A。eq\f(4,5) B.eq\f（3，5)C.eq\f(2,5) D。eq\f(1，5）答案D解析设Ω＝｛(a，b）|a∈{1,2，3，4,5｝，b∈{1,2，3}}，包含的基本事件总数n＝15，事件“b〉a”为{(1,2），(1，3），(2，3）}，包含的基本事件数m＝3.其概率P＝eq\f(3，15)＝eq\f（1，5).5．三张卡片上分别写上字母E，E，B。将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为________．答案eq\f（1,3）解析三张卡片的排列方法有EEB，EBE,BEE共3种，则恰好排成英文单词BEE的概率为eq\f（1，3).1。建立概率模型的要求：把什么看作是一个基本事件（即一个试验结果)是人为规定的，它要求每次试验有一个并且只有一个基本事件出现．2．建立概率模型的作用：一方面，对于同一个实际问题，我们有时可以通过建立不同的“模型”