2023届北京市门头沟区中考一模数学试题含解析

2023年中考数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了（）A．米 B．米 C．米 D．米2．一、单选题如图中的小正方形边长都相等，若△MNP≌△MEQ，则点Q可能是图中的（）A．点A B．点B C．点C D．点D3．有以下图形：平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、菱形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．5个B．4个C．3个D．2个4．一个数和它的倒数相等，则这个数是（）A．1 B．0 C．±1 D．±1和05．在2018年新年贺词中说道：“安得广厦千万间，大庇天下寒士俱欢颜！2017年我国3400000贫困人口实现易地扶贫搬迁、有了温暖的新家．”其中3400000用科学记数法表示为（）A．0.34×107 B．3.4×106 C．3.4×105 D．34×1056．下列计算，正确的是（）A．a2•a2=2a2 B．a2+a2=a4 C．（﹣a2）2=a4 D．（a+1）2=a2+17．某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元/块的价格售出60块，第二个月起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了5.5万元．这批电话手表至少有（）A．103块 B．104块 C．105块 D．106块8．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有()A．5个 B．4个 C．3个 D．2个9．等腰三角形两边长分别是2cm和5cm，则这个三角形周长是（）A．9cmB．12cmC．9cm或12cmD．14cm10．下列关于x的方程中一定没有实数根的是（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点叠放在长方形的两条对边上，如果∠1=27°，那么∠2=______°12．如图，已知正八边形ABCDEFGH内部△ABE的面积为6cm1，则正八边形ABCDEFGH面积为_____cm1．13．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B在x轴的负半轴上，将线段AB绕点A逆时针旋转90°至AB'，点M是线段AB'的中点，若反比例函数y=（k≠0）的图象恰好经过点B'、M，则k=_____．14．如图，中，，，，，平分，与相交于点，则的长等于_____.15．如图,将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移,得到△A′B′C′,当两个三角形重叠部分的面积为32时,它移动的距离AA′等于________.16．如图，在平面直角坐标系中，点P(﹣1，a)在直线y＝2x+2与直线y＝2x+4之间，则a的取值范围是_____．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）如图1，三个正方形ABCD、AEMN、CEFG，其中顶点D、C、G在同一条直线上，点E是BC边上的动点，连结AC、AM.（1）求证：△ACM∽△ABE.（2）如图2，连结BD、DM、MF、BF，求证：四边形BFMD是平行四边形.（3）若正方形ABCD的面积为36，正方形CEFG的面积为4，求五边形ABFMN的面积.18．（8分）为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有两种型号的挖掘机,已知3台型和5台型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台型和7台型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台型挖掘机一小时的施工费用为300元,每台型挖掘机一小时的施工费用为180元．分别求每台型,型挖掘机一小时挖土多少立方米?若不同数量的型和型挖掘机共12台同时施工4小时,至少完成1080立方米的挖土量,且总费用不超过12960元．问施工时有哪几种调配方案,并指出哪种调配方案的施工费用最低,最低费用是多少元?19．（8分）如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ABC=∠BAD=90°，AD=BC，AC，BD相交于点G，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，过点B作BF∥CA交DA的延长线于点F，AE，BF相交于点H．图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明；（不添加任何辅助线）证明：四边形AHBG是菱形；若使四边形AHBG是正方形，还需在Rt△ABC的边长之间再添加一个什么条件？请你写出这个条件．（不必证明）20．（8分）如图，已知在△ABC中，AB=AC=5，cosB=，P是边AB上一点，以P为圆心，PB为半径的⊙P与边BC的另一个交点为D，联结PD、AD．（1）求△ABC的面积；（2）设PB=x，△APD的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△APD是直角三角形，求PB的长．21．（8分）甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下：甲：8，8，7，8，9乙：5，9，7，10，9（1）填写下表：平均数

众数

中位数

方差

甲

8

8

0.4

乙

9

3.2

（2）教练根据这5次成绩，选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差．（填“变大”、“变小”或“不变”）．22．（10分）如图，在△ABC中，AD=15，AC=12，DC=9，点B是CD延长线上一点，连接AB，若AB=1．求：△ABD的面积．23．（12分）某学校2017年在某商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元；求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；2018年这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%．如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2910元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？24．如图，在等边△ABC中，点D是AB边上一点，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转60°后得到CE，连接AE．求证：AE∥BC．

参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、A【解析】

利用锐角三角函数关系即可求出小刚上升了的高度．【详解】在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AB=300米，BO=AB•sinα=300sinα米．故选A．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意构造直角三角形，正确选择锐角三角函数得出AB，BO的关系是解题关键．2、D【解析】

根据全等三角形的性质和已知图形得出即可．【详解】解：∵△MNP≌△MEQ，∴点Q应是图中的D点，如图，故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．3、C【解析】矩形，线段、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．共3个既是轴对称图形又是中心对称图形．故选C．4、C【解析】

根据倒数的定义即可求解.【详解】的倒数等于它本身，故符合题意.

故选：.【点睛】主要考查倒数的概念及性质.倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数.5、B【解析】

解：3400000=.故选B.6、C【解析】

解：A.故错误；B.故错误；C.正确；D.故选C．【点睛】本题考查合并同类项，同底数幂相乘；幂的乘方，以及完全平方公式的计算，掌握运算法则正确计算是解题关键．7、C【解析】试题分析：根据题意设出未知数，列出相应的不等式，从而可以解答本题．设这批手表有x块，550×60+（x﹣60）×500＞55000解得，x＞104∴这批电话手表至少有105块考点：一元一次不等式的应用8、C【解析】试题分析：过A作AE⊥BC于E，∵AB=AC=5，BC=8，∴BE=EC=4，∴AE=3，∵D是线段BC上的动点（不含端点B，C），∴AE≤AD＜AB，即3≤AD＜5，∵AD为正整数，∴AD=3或AD=4，当AD=4时，E的左右两边各有一个点D满足条件，∴点D的个数共有3个．故选C．考点：等腰三角形的性质；勾股定理．9、B【解析】当腰长是2cm时，因为2+2<5，不符合三角形的三边关系，排除；当腰长是5cm时，因为5+5>2，符合三角形三边关系，此时周长是12cm．故选B．10、B【解析】

根据根的判别式的概念,求出△的正负即可解题.【详解】解:A.x2-x-1=0,△=1+4=50,∴原方程有两个不相等的实数根,B.,△=36-144=-1080,∴原方程没有实数根,C.,,△=10,∴原方程有两个不相等的实数根,D.,△=m2+80,∴原方程有两个不相等的实数根,故选B.【点睛】本题考查了根的判别式,属于简单题,熟悉根的判别式的概念是解题关键.二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、57°.【解析】

根据平行线的性质和三角形外角的性质即可求解.【详解】由平行线性质及外角定理，可得∠2＝∠1+30°=27°+30°=57°.【点睛】本题考查平行线的性质及三角形外角的性质.12、14【解析】

取AE中点I，连接IB，则正八边形ABCDEFGH是由8个与△IDE全等的三角形构成．【详解】解：取AE中点I，连接IB．则正八边形ABCDEFGH是由8个与△IAB全等的三角形构成．∵I是AE的中点，∴S△IAB=12S则圆内接正八边形ABCDEFGH的面积为：8×3=14cm1．

故答案为14．【点睛】本题考查正多边形的性质，解答此题的关键是作出辅助线构造出三角形．13、12【解析】

根据题意可以求得点B'的横坐标，然后根据反比例函数y=（k≠0）的图象恰好经过点B'、M，从而可以求得k的值．【详解】解：作B′C⊥y轴于点C，如图所示，∵∠BAB′=90°，∠AOB=90°，AB=AB′，∴∠BAO+∠ABO=90°，∠BAO+∠B′AC=90°，∴∠ABO=∠BA′C，∴△ABO≌△BA′C，∴AO=B′C，∵点A（0，6），∴B′C=6，设点B′的坐标为（6，），∵点M是线段AB'的中点，点A（0，6），∴点M的坐标为（3，），∵反比例函数y=（k≠0）的图象恰好经过点M，∴＝，解得，k=12，故答案为：12.【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．14、3【解析】

如图，延长CE、DE，分别交AB于G、H，由∠BAD=∠ADE=60°可得三角形ADH是等边三角形，根据等腰直角三角形的性质可知CG⊥AB，可求出AG的长，进而可得GH的长，根据含30°角的直角三角形的性质可求出EH的长，根据DE=DH-EH即可得答案.【详解】如图，延长CE、DE，分别交AB于G、H，∵∠BAD=∠ADE=60°，∴△ADH是等边三角形，∴DH=AD=AH=5，∠DHA=60°，∵AC=BC，CE平分∠ACB，∠ACB=90°，∴AB==8，AG=AB=4，CG⊥AB，∴GH=AH=AG=5-4=1，∵∠DHA=60°，∴∠GEH=30°，∴EH=2GH=2∴DE=DH-EH=5=2=3.故答案为：3【点睛】本题考查等边三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，熟记30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质并正确作出辅助线是解题关键.15、4或8【解析】

由平移的性质可知阴影部分为平行四边形，设A′D=x，根据题意阴影部分的面积为(12−x)×x，即x(12−x)，当x(12−x)=32时，解得：x=4或x=8，所以AA′=8或AA′=4。【详解】设AA′=x,AC与A′B′相交于点E，∵△ACD是正方形ABCD剪开得到的，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠A=45∘，∴△AA′E是等腰直角三角形，∴A′E=AA′=x，A′D=AD−AA′=12−x，∵两个三角形重叠部分的面积为32，∴x(12−x)=32，整理得,x−12x+32=0，解得x=4,x=8，即移动的距离AA′等4或8.【点睛】本题考查正方形和图形的平移，熟练掌握计算法则是解题关键·.16、【解析】

计算出当P在直线上时a的值，再计算出当P在直线上时a的值，即可得答案．【详解】解：当P在直线上时，，当P在直线上时，，则．故答案为【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握函数图象经过的点，必能使解析式左右相等．三、解答题（共8题，共72分）17、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）74.【解析】

(1)根据四边形ABCD和四边形AEMN都是正方形得，∠CAB=∠MAC=45°，∠BAE=∠CAM，可证△ACM∽△ABE；（2）连结AC，由△ACM∽△ABE得∠ACM=∠B=90°，易证∠MCD=∠BDC=45°，得BD∥CM,由MC=BE，FC=CE，得MF=BD，从而可以证明四边形BFMD是平行四边形；（3）根据S五边形ABFMN=S正方形AEMN+S梯形ABFE+S三角形EFM求解即可.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEMN都是正方形，∴，∠CAB=∠MAC=45°，∴∠CAB-∠CAE=∠MAC-∠CAE，∴∠BAE=∠CAM，∴△ACM∽△ABE.（2）证明：连结AC因为△ACM∽△ABE，则∠ACM=∠B=90°，因为∠ACB=∠ECF=45°，所以∠ACM+∠ACB+∠ECF=180°，所以点M,C,F在同一直线上，所以∠MCD=∠BDC=45°，所以BD平行MF，又因为MC=BE，FC=CE，所以MF=BC=BD，所以四边形BFMD是平行四边形（3）S五边形ABFMN=S正方形AEMN+S梯形ABFE+S三角形EFM=62+42+（2+6）4+26=74.【点睛】本题主要考查了正方形的性质的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，综合性比较强，有一定的难度．18、（1）每台型挖掘机一小时挖土30立方米,每台型挖据机一小时挖土15立方米；（2）共有三种调配方案．方案一:型挖据机7台,型挖掘机5台；方案二:型挖掘机8台,型挖掘机4台；方案三:型挖掘机9台,型挖掘机3台．当A型挖掘机7台,型挖掘机5台的施工费用最低,最低费用为12000元．【解析】分析：（1）根据题意列出方程组即可；（2）利用总费用不超过12960元求出方案数量，再利用一次函数增减性求出最低费用．详解：(1)设每台型,型挖掘机一小时分别挖土立方米和立方米,根据题意,得解得所以,每台型挖掘机一小时挖土30立方米,每台型挖据机一小时挖土15立方米．(2)设型挖掘机有台,总费用为元,则型挖据机有台．根据题意,得，因为，解得，又因为,解得,所以．所以,共有三种调配方案．方案一:当时,,即型挖据机7台,型挖掘机5台；方案二:当时,,即型挖掘机8台,型挖掘机4台；方案三:当时,,即型挖掘机9台,型挖掘机3台．,由一次函数的性质可知,随的减小而减小,当时，，此时型挖掘机7台,型挖掘机5台的施工费用最低,最低费用为12000元．点睛：本题考查了二元一次方程组和一次函数增减性，解答时先根据题意确定自变量取值范围，再应用一次函数性质解答问题．19、(1)详见解析；（2）详见解析；（3）需要添加的条件是AB=BC．【解析】试题分析：（1）可根据已知条件，或者图形的对称性合理选择全等三角形，如△ABC≌△BAD，利用SAS可证明．（2）由已知可得四边形AHBG是平行四边形，由（1）可知∠ABD=∠BAC，得到△GAB为等腰三角形，▱AHBG的两邻边相等，从而得到平行四边形AHBG是菱形．试题解析：（1）解：△ABC≌△BAD．证明：∵AD=BC，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BA，∴△ABC≌△BAD（SAS）．（2）证明：∵AH∥GB，BH∥GA，∴四边形AHBG是平行四边形．∵△ABC≌△BAD，∴∠ABD=∠BAC．∴GA=GB．∴平行四边形AHBG是菱形．（3）需要添加的条件是AB=BC．点睛：本题考查全等三角形，四边形等几何知识，考查几何论证和思维能力，第（3）小题是开放题，答案不唯一．20、（1）12（2）y=（0＜x＜5）（3）或【解析】试题分析：（1）过点A作AH⊥BC于点H，根据cosB=求得BH的长，从而根据已知可求得AH的长，BC的长，再利用三角形的面积公式即可得；（2）先证明△BPD∽△BAC，得到=，再根据，代入相关的量即可得；（3）分情况进行讨论即可得.试题解析：（1）过点A作AH⊥BC于点H，则∠AHB=90°，∴cosB=，∵cosB=，AB=5，∴BH=4，∴AH=3，∵AB=AC，∴BC=2BH=8，∴S△ABC=×8×3=12（2）∵PB=PD，∴∠B=∠PDB，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠C=∠PDB，∴△BPD∽△BAC，∴，即，解得=，∴，∴，解得y=（0＜x＜5）；（3）∠APD＜90°，过C作CE⊥AB交BA延长线于E，可得cos∠CAE=，①当∠ADP=90°时，cos∠APD=cos∠CAE=，即，解得x=；②当∠PAD=90°时，，解得x=，综上所述，PB=或.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、底在同一直线上且高相等的三角形面积的关系等，结合图形及已知选择恰当的知识进行解答是关键.21、（1）填表见解析；（2）理由见解析；（3）变小．【解析】

（1）根据众数、平均数和中位数的定义求解：（2）方差就是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定.（3）根据方差公式求解：如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差变小．【详解】试题分析：试题解析：解：（1）甲的众数为8，乙的平均数=（5+9+7+10+9）=8，乙的中位数为9.故填表如下：平均数

众数

中位数

方差

甲

8

8

8

0.4

乙

8

9

9

3.2

（2）因为他们的平均数相等，而甲的方差小，发挥比较稳定，所以选择甲参加射击比赛；（3）如果乙再射击1次，命中8环，平均数不变，根据方差公式可得乙的射击成绩的方差变小．考点：1.方差；2.算术平均数；3.中位数；4.众数．22、2.【解析】试题分析：由勾股定理的逆定理证明△ADC是直角三角形，∠C=90°，再由勾