【课堂设计】2015-2016学年高中数学（北师大版必修五）课时作业1-4数列在日常经济生活中的应用

§4数列在日常经济生活中的应用课时目标1.能够利用等差数列、等比数列解决一些实际问题.2.了解“零存整取”，“定期自动转存”及“分期付款”等日常经济行为的含义．1．有关储蓄的计算储蓄与人们的日常生活密切相关，计算储蓄所得利息的基本公式是：利息＝本金×存期×利率．根据国家规定，个人所得储蓄存款利息，应依法纳税，计算公式为：应纳税额＝利息全额×税率．(1)整存整取定期储蓄一次存入本金金额为A，存期为n，每期利率为p，税率为q，则到期时，所得利息为：________，应纳税为________，实际取出金额为：________________.(2)定期存入零存整取储蓄每期初存入金额A，连存n次，每期利率为p，税率为q，则到第n期末时，应得到全部利息为：_________.应纳税为：______________，实际受益金额为__________________．2．分期付款问题贷款a元，分m个月将款全部付清，月利率为r，各月所付款额到贷款全部付清时也会产生利息，同样按月以复利计算，那么每月付款款额为：_______________________.一、选择题1．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使最大的三份之和的eq\f(1,7)是较少的两份之和，则最小的一份的量为()A.eq\f(5,3)B.eq\f(10,3)C.eq\f(5,6)D.eq\f(11,6)2．某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为()A．1.14aBC．10a(1.15－1)D．11a(1.153．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还()A.eq\f(a(1＋γ),(1＋γ)5－1)万元B.eq\f(aγ(1＋γ)5,(1＋γ)5－1)万元C.eq\f(aγ(1＋γ)5,(1＋γ)4－1)万元D.eq\f(aγ,(1＋γ)5)万元4．某工厂总产值月平均增长率为p，则年平均增长率为()A．pB．12pC．(1＋p)12D．(1＋p)12－15．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝eq\f(1,2)n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最大的生产期限是()A．5年B．6年C．7年D．8年二、填空题6．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2010年产生的垃圾量为a吨．由此预测，该区2015年的垃圾量为________吨．7．一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面一层放了120支，这个V形架上共放了______支铅笔．8．银行一年定期储蓄存款年息为r，三年定期储蓄存款年息为q，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q的值应略大于________．三、解答题9．家用电器一件，现价2000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月付款一次，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少？(1.00812＝1.1)．10．假设某市2009年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年年底(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2009年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？(1.085≈1.47)能力提升11．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn(万件)近似地满足Sn＝eq\f(n,90)(21n－n2－5)(n＝1,2，…，12)．按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是()A．5月、6月B．6月、7月C．7月、8月D．8月、9月12．某企业投资1000万元用于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与广告投入方能保持原有的利润增长率，问经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标？(取lg2＝0.3)从实际问题转化为数列问题，极易出现弄错数列的项数，因此一定要仔细审题，弄清楚数列中的项与实际问题中的时间(例如年份)之间的对应关应．尤其是首项a1代表的实际含义一定要弄清楚．§4数列在日常经济生活中的应用答案知识梳理1．(1)nApnApqnAp(1－q)＋A(2)eq\f(1,2)n(n＋1)Apeq\f(1,2)n(n＋1)Apqeq\f(1,2)n(n＋1)Ap(1－q)2.eq\f(ar(1＋r)m,(1＋r)m－1)作业设计1．A[设公差为d(d>0)，则5份分别为20－2d,20－d,20,20＋d,20＋2d，则7(20－2d＋20－d)＝20＋(20＋d)＋(20＋2d)，解得d＝eq\f(55,6)，最小的一份为20－eq\f(55,3)＝eq\f(5,3).]2．D[注意去年产值为a，今年起5年内各年的产值分别为1.1a1．12a,1.13a,∴1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝3．B[设每年偿还x万元，则：x＋x(1＋γ)＋x(1＋γ)2＋x(1＋γ)3＋x(1＋γ)4＝a(1＋γ)5，∴x＝eq\f(aγ(1＋γ)5,(1＋γ)5－1).]4．D[设1月份产值为1，年平均增长率为x，依题意得eq\f((1＋p)12[1－(1＋p)12],1－(1＋p))＝eq\f(1－(1＋p)12,1－(1＋p))(1＋x)，∴x＝(1＋p)12－1.]5．C[由题意知第一年年产量为a1＝eq\f(1,2)×1×2×3＝3；以后各年年产量为an＝f(n)－f(n－1)＝3n2，∴an＝3n2(n∈N＋)，令3n2≤150，得1≤n≤5eq\r(2)，∴1≤n≤7，故生产期限最长为7年．]6．a(1＋b)57．7260解析从下向上依次放了1,2,3，…，120支铅笔，∴共放了铅笔1＋2＋3＋…＋120＝7260(支)．8.eq\f(1,3)[(1＋r)3－1]解析设本金为1，按一年定期存款，到期自动转存收益最大，三年总收益为(1＋r)3－1；若按三年定期存款，三年的总收益为3q，为鼓励储户三年定期存款，应使3q>(1＋r)3－1.即q>eq\f(1,3)[(1＋r)3－1]．9．解方法一设每期应付款x元．第1期付款与到最后一次付款所生利息之和为x(1＋0.008)11(元)．第2期付款与到最后一次付款所生利息之和为x(1＋0.008)10(元)，…第12期付款没有利息．所以各期付款连同利息之和为x(1＋1.008＋…＋1.00811)＝eq\f(1.00812－1,1.008－1)x，又所购电器的现价及其利息之和为2000×1.00812，于是有eq\f(1.00812－1,1.008－1)x＝2000×1.00812.解得x＝eq\f(16×1.00812,1.00812－1)＝176(元)．即每期应付款176元．方法二设每期应付款x元，则第1期还款后欠款2000×(1＋0.008)－x第2期还款后欠款(2000×1.008－x)×1.008－x＝2000×1.0082－1.008x－x，…第12期还款后欠款2000×1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1)x，第12期还款后欠款应为0，所以有2000×1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1)x＝0.∴x＝eq\f(2000×1.00812,\f(1.00812－1,1.008－1))＝176(元)．即每期应还款176元．10．解(1)设中低价房面积构成数列{an}，由题意可知{an}是等差数列．其中a1＝250，d＝50，则Sn＝250n＋eq\f(n(n－1),2)×50＝25n2＋225n.令25n2＋225n≥4750，即n2＋9n－190≥0，而n是正整数，∴n≥10.∴到2018年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米．(2)设新建住房面积构成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列．其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×1.08n－1.由题意可知an>0.85bn，有250＋(n－1)·50>400×1.08n－1×0.85.由1.085≈1.47解得满足上述不等式的最小正整数n＝6，∴到2014年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.11．C解析n个月累积的需求量为Sn，∴第n个月的需求量为an＝Sn－Sn－1＝eq\f(n,90)(21n－n2－5)－eq\f(n－1,90)[21(n－1)－(n－1)2－5]＝eq\f(1,30)(－n2＋15n－9)．an>1.5，即满足条件，∴eq\f(1,30)(－n2＋15n－9)>1.5，6<n<9(n＝1,2,3，…，12)，∴n＝7或n＝8.(可直接代入各个选项进行验证得出答案)12．解设该项目逐年的项目资金数依次为a1，a2，a3，…，an.则由已知an＋1＝an(1＋25%)－200(n∈N＋)．即an＋1＝eq\f(5,4)an－200.令an＋1－x＝eq\f(5,4)(an－x)，即an＋1＝eq\f(5,4)an－eq\f(x,4)，由eq\f(x,4)＝200，∴x＝800.∴an＋1－800＝eq\f(5,4)(an－800)(n∈N＋)故数列{an－800}是以a1－800为首项，eq\f(5,4)为公比的等比数列．∵a1＝1000(1＋25%)－200＝1050.∴a1－800＝250，∴an－800＝250eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))n－1.∴an＝800＋250eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs