2023届陕西省西安市第四十八中学等2校高三下学期2月联考数学（理）试题（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat16页2023届陕西省西安市第四十八中学等2校高三下学期2月联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出集合，然后根据集合的并集运算可得答案.【详解】因为，所以，所以．故选：B2．已知复数z满足，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，然后根据条件建立方程求解即可.【详解】设，则，则，解得，故．故选：C3．某社区有1500名老年居民、2100名中青年居民和1800名儿童居民．为了解该社区居民对社区工作的满意度，现采用分层抽样的方法从这些居民中抽取一个容量为n的样本，若中青年居民比老年居民多抽取20人，则（

）A．120 B．150 C．180 D．210【答案】C【分析】根据分层抽样的方法计算即可.【详解】由题可知，解得．故选：C4．已知定义在上的函数的大致图像如图所示，是的导函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分、两种情况求解即可.【详解】若，则单调递减，图像可知，，若，则单调递增，由图像可知，故不等式的解集为．故选：C5．在正方体中，分别为的中点，则直线与夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】结合正方体的几何特征作出直线与所成的角，解三角形即可得答案.【详解】如图，取的中点M．连接，由于分别为的中点，故,而,即四边形为平行四边形，故,所以，则或其补角即为与所成的角．不妨设，则，即为等腰三角形，故，则直线与夹角的余弦值为，故选：D6．定义在R上的奇函数满足，当时，，则（

）A． B． C．1 D．3【答案】B【分析】先求出函数的周期，再根据对称性求解.【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以，解得，又，所以，则，即是以4为周期的周期函数，；故选:B.7．已知椭圆的左、右焦点分别为，M为C上一点，若的中点为，且的周长为，则C的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据的周长可得，由的中点坐标求得M坐标，代入椭圆方程可得关系式，解方程可得的值，即可求得答案【详解】因为的周长为，所以，则，又,的中点为，所以M的坐标为，故，则，结合，，解得，所以椭圆C的标准方程为，故选：A8．设等差数列{}的前n项和为，若，则当取得最大值时，＝（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【分析】根据条件，利用等差数列的性质可得出，，即可求解.【详解】在等差数列{}中，由，得，则，又，∴，，则当取得最大值时，．故选：C9．将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上恰有2个零点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意得，由得，由在上恰有2个零点，得，即可解决.【详解】由题可知，，先将函数的图象向右平移个单位长度，得，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得，当时，，因为在上恰有2个零点，所以，解得.所以的取值范围为，故选：B10．设O为坐标原点，是双曲线的左、右焦点，已知双曲线C的离心率为，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，则（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】不妨设，求出，然后算出可得答案.【详解】不妨设，则，．由余弦定理可得，，所以，所以．故选：A11．已知正三角形的边长为6，，，且，则点到直线距离的最大值为（

）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】由结合得出点在线段上运动，进而得出点到直线距离的最大值.【详解】因为，所以，所以．如图，设，，则．因为，，所以点在线段上运动，显然，当点与点重合时，点到直线的距离取得最大值．故选：D12．若函数有两个极值点，，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求导，根据函数有两个极值点，，由在上有两个不等实根，求得a的范围，进而再根据，得到的范围，再由，得到，利用导数法求解.【详解】因为，所以，令，因为函数有两个极值点，，所以函数在上有两个不等实根，则，解得，因为，且，，所以，且，所以，．令函数，，则在上恒成立，故在上单调递增，则，即的取值范围为．故选：A【点睛】关键点睛：本题关键是根据题意，由在上有两个不等实根，求得a的范围，进而再根据，得到的范围而得解.二、填空题13．设满足约束条件，则的最大值为__________.【答案】6【分析】作出可行域，根据的几何意义，即可得出最大值.【详解】画出可行域解可得，.由图可知，当直线经过点时，取得最大值6.故答案为：.14．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”出自《庄子·天下》，其中蕴含着数列的相关知识，已知长度为4的线段，取的中点C，以为直径作圆（如图①），该圆的面积为，在图①中取的中点D，以为直径作圆（如图②），图②中所有圆的面积之和为，以此类推，则________．【答案】【分析】求得，确定各圆的面积成以为首项，为公比的等比数列，即可求得答案.【详解】由题意可知，，后一个圆的半径为前一个圆半径的一半，故各圆的面积成以为首项，为公比的等比数列，故，故答案为：15．设m为正整数，展开式中二项式系数的最大值为a，展开式中二项式系数的最大值为b，若，则展开式中的常数项为__________．【答案】15【分析】根据条件求出，然后可得答案.【详解】由题可知，．因为，所以，即，解得，故展开式中的常数项为．故答案为：16．某圆锥的底面半径为1，高为3，在该圆锥内部放置一个正三棱柱，则该正三棱柱体积的最大值为__________．【答案】/【分析】作出对应的图形，设正三棱柱上底面外接圆的半径为r，利用题意得出三棱柱的高，，进而求出体积的表达式，利用导数求出体积的最值即可.【详解】如图，设正三棱柱上底面外接圆的半径为r，三棱柱的高为h,根据题意作出圆锥的轴截面，由可得，则该三棱柱的高，，则该三棱柱的体积，，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；所以时，V取得最大值，且最大值为．故答案为：.三、解答题17．猜灯谜是我国一种民俗娱乐活动．某社区在元宵节当天举行了猜灯谜活动，工作人员给每位答题人提供了10道灯谜题目，答题人从中随机选取4道灯谜题目作答，若答对3道及以上灯谜题目，答题人便可获得奖品．已知甲能答对工作人员所提供的10道题中的6道．(1)求甲能获得奖品的概率；(2)记甲答对灯谜题目的数量为X，求X的分布列与期望．【答案】(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）结合题意，利用古典概型的概率计算公式即可求解；（2）根据题意先求出X的可能取值，再求出每一个值对应的概率，列出分布列，带入期望的公式即可求解.【详解】（1）由题可知，甲能获得奖品的概率．（2）由题可知，X的取值可能为0，1，2，3，4，则，，，，，X的分布列为01234．18．如图，在三棱锥中，，O为的中点．(1)证明：平面．(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据等腰三角形得到，再利用三角形全等得到，进而利用线面垂直的判定即可证明；（2）以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，分别求出平面和平面的法向量，利用空间向量的夹角公式进而求解.【详解】（1）因为，O为的中点，所以，因为，所以．又，所以，所以．因为平面平面，所以平面（2）以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．因为，所以，则，贝．设平面的法向量为，则令，得．设平面的法向量为，则令，得．由向量的夹角公式可得：，由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．19．在中，点D在边上，且．(1)若平分，求的值；(2)若成递增的等比数列，，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）运用余弦定理求出的关系，再运用正弦定理求解；（2）运用余弦定理求出AB，BC的值，再求出，用面积公式计算即可.【详解】（1）设，则，因为平分，所以，设，则，在中，，在中，，由，得，；（2）因为成递增的等比数列，，所以，在中，，在中，，因为，所以，整理得，又，所以，解得或，若，则，不符合题意，若，则，符合题意，此时，则的面积.20．已知抛物线的焦点为F，圆，过C上一点作C的切线，该切线经过点．(1)求C的方程；(2)若与C相切的直线l，与E相交于P，Q两点，求面积的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，然后可建立方程求出；（2）设l与C相切于点，然后求出切线的方程，然后求出、点到l的距离，然后表示出面积，然后可得答案.【详解】（1）由，得，则．设该切线的斜率为k，则．由题可知，，因为该切线经过点，所以，解得，故C的方程为．（2）设l与C相切于点，则l的方程为，即．由（1）可知，E的方程为．则圆心到l的距离．因为l与E相交，所以，整理得．．点到l的距离，的面积，当且仅当时，等号成立，故面积的最大值为．21．已知函数．(1)若，证明：．(2)若，且，证明：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）将问题等价转化为，令函数，对函数求导，利用单调性进而得证；（2）对函数二次求导得到，再利用零点存在性定理得到，将问题等价转化为证明，进而证明.【详解】（1）因为，所以等价于．令函数，则．当时，，则，故在上单调递增．当时，，故．即．（2）因为，所以，则．令函数，则．当时，单调递减，当时单调递增．因为，所以．当时，单调递减，当时，单调递增．因为，所以．又，所以．要证，只需证，即．因为，所以．显然，故．【点睛】利用导数证明不等式的常见形式是，一般可构造“左减右”的函数，即先将不等式移项，构造函数，转化为证不等式，进而转化为证明，因此只需在所给区间内判断的符号，从而得到函数的单调性，并求出函数的最小值即可.22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；(2)过曲线上任意一点作与直线的夹角为45°的直线，且与交于点，求的最小值.【答案】(1)曲线的普通方程为；直线的直角坐标方程为.(2)【分析】（1）对曲线的参数方程消去参数，可得曲线的普通方程；将代入的极坐标方程中，可得直线的直角坐标方程；（2）设，利用点到直线的距离公式和三角函数的性质求解即可.【详解】（1）曲线的参数方程为（为参数），由，消去参数，可得曲线的普通方程为.将代入直线的极坐标方程中，可得直线的直角坐标方程为.（2）设，则点到的距离其中.