数列大题专题训练

数列大题专题训练)数列大题专题训练)/NUMPAGES24数列大题专题训练)数列大题专题训练)数列大题专题训练1．已知数列{}、{}满足：.(1)求;(2)求数列{}的通项公式；(3)设，求实数a为何值时恒成立．2．在平面直角坐标系中，已知、、，满足向量与向量共线，且点都在斜率6的同一条直线上.（1）试用与n来表示；（2）设，且12，求数中的最小值的项.3．在公差为d（d≠0）的等差数列{an}和公比为q的等比数列{bn}中，已知a1=b1=1，a2=b2，a8=b3.（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）令，求数列{cn}的前n项和Tn.4、在数列(1)求证：数列是等比数列；（2）设数列得公比为，（3）求5．设数列；（1）证明：数列是等比数列；（2）设数列的公比求数列的通项公式；6．已知定义在R上的单调函数y=f(x)，当x<0时，f(x)>1，且对任意的实数x、y∈R，有f(x+y)=f(x)f(y)，（Ⅰ）求f(0)，并写出适合条件的函数f(x)的一个解析式；（Ⅱ）数列{an}满足,①求通项公式an的表达式；②令，试比较Sn与Tn的大小，并加以证明.7.设Sn是正项数列的前n项和，且，（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）的值8．已知二次函数满足条件：①；②的最小值为.(1)求函数的解析式；(2)设数列的前项积为,且,求数列的通项公式；(3)在(2)的条件下,若是与的等差中项,试问数列中第几项的值最小?求出这个最小值。9、设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.（1）若a11=0,S14=98,求数列｛an｝的通项公式；（2）在（1）的条件下求的表达式并求出取最大值时的值（3）若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的数列｛an｝的通项公式10、设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列．（Ⅰ）求数列的通项公式．（Ⅱ）令求数列的前项和．11．已知等比数列分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且（Ⅰ）求；（Ⅱ）设，求数列12、已知（m为常数，m>0且）设是首项为4，公差为2的等差数列.（Ⅰ）求证：数列{an}是等比数列；（Ⅱ）若bn=an·，且数列{bn}的前n项和Sn，当时，求Sn；（Ⅲ）若cn=，问是否存在m，使得{cn}中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由.13．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足（Ⅰ）判断是否为等差数列？并证明你的结论；（Ⅱ）求Sn和an20070209（Ⅲ）求证：2007020914．已知数列（I）若存在一个实数的值（II）在（I）的条件下，求出数列15.设数列{}的前项和为，且满足=2-，=1，2，3，….(Ⅰ)求数列{}的通项公式；(Ⅱ)若数列{}满足=1，且，求数列{}的通项公式；(Ⅲ)设，求数列{}的前项和.参考答案1.解：（1)∵∴（2）∵∴∴数列{}是以－4为首项，－1为公差的等差数列∴∴(3)∴∴由条件可知恒成立即可满足条件设a＝1时，恒成立,a>1时，由二次函数的性质知不可能成立a<l时，对称轴f(n)在为单调递减函数．∴∴a<1时恒成立综上知：a≤1时，恒成立2．解：（1）∵点都在斜率为6的同一条直线上， 于是数列是等差数列，故……3分 共线， 当n=1时，上式也成立. 所以………………8分（2）把代入上式， 得 ， ∴当n=4时，取最小值，最小值为………………13分3．解：（1）由条件得：…………6分（2）①②①－②：即∴…………14分4．解：（1）由已知，即有由解得所以当①②①－②得综上所述，知因此是等比数列；（2）由（1）知则所以因此，是等差数列，且（3）＝＝＝5．解：（1）由相减得：是等比数列 …………4分（2）， …………8分（3）， ① ②①－②得：，，所以： …………14分6．解：（I）由题意，令y=0，x<0，得f(x)[1－f(0)]=0，∵x<0时，f(x)>1.∴1－f(0)=0.f(0)=1.…………2分适合题意的f(x)的一个解析式为f(x)=()x.………………4分（II）①由递推关系知f(an+1)·f(－2－an)=1，即f(an+1－2－an)=f(0).∵f(x)的R上单调，∴an+1－an=2，（n∈N*），…………6分又a1=1，故an=2n－1.……………………7分②bn=,Sn=b1+b2+…+bn=+()3+…+()2n－1欲比较Sn与的大小，只需比较4n与2n+1的大小.由=1，2，3代入可知4n>2n+1，猜想4n>2n+1.……10分下用数学归纳法证明（i）当n=1时，41>2×1+1成立（ii）假设当n=k时命题成立，即4k>2k+1当n=k+1时，4k+1=4×4k>4(2k+1)=8k+4=2(k+1)+1+6k+1>2(k+1)+1，说明当n=k+1时命题也成立.由（i）（ii）可知，4n>2n+1对于n∈N*都成立.故Sn>.………………12分注：证明4n>2n+1，除用数学归纳法证明以外，还可用其它方法证明，如：4n=(1+3)n=1+7．解（Ⅰ）当n=1时，解出a1=3 ,…………1分又4sn=an2+2an－3 ①当时4sn－1=+2an-1－3 ②①－②,即………3分∴,（）……5分是以3为首项，2为公差的等差数列…7分（Ⅱ） ③又 ④…………9分④－③…………11分…………13分…………14分8．解：(1)由题知:,解得,故.………3分(2),………………5分,,…………………7分又满足上式.所以.…8分(3)若是与的等差中项,则,………9分从而,得.…………10分因为是的减函数,所以当,即时,随的增大而减小,此时最小值为;当,即时,随的增大而增大,此时最小值为.…………12分又,所以,即数列中最小,且.…………14分9、解：由得解得： 3分 4分 6分令得 8分当时，取得最大值 9分（3）法一：由a1≥6，a11＞0，S14≤77得： 10分（4）（5） 12分代入（2）、（3）得： 14分10．解：（Ⅰ）由已知得………………2分 解得． 设数列的公比为，由，可得．………4分又，可知，即，解得．由题意得．．…………7分故数列的通项为．（Ⅱ）由于 由（1）得 又 是等差数列．…………10分 故．……14分11．解：（I）依题意 …………2分 …………4分 …………5分（II） …………6分 …………7分 …………9分 …………12分12、解：（Ⅰ）由题意即∴……2分∴∵m>0且，∴m2为非零常数，∴数列{an}是以m4为首项，m2为公比的等比数列…………4分（Ⅱ）由题意，当∴①…………6分①式两端同乘以2，得②…………7分②－①并整理，得=10分（Ⅲ）由题意要使对一切成立，即对一切成立，①当m>1时，成立；…………12分②当0<m<1时，∴对一切成立，只需，解得，考虑到0<m<1，∴0<m<综上，当0<m<或m>1时，数列{cn }中每一项恒小于它后面的项.14分13．解证：（Ⅰ）………1分当n≥2时，………………2分故是以2为首项，以2为公差的等差数列.………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得…5分当n≥2时，…………6分当n=1时，………………8分（Ⅲ）1°当n=1时，成立…………9分2°假设n=k时，不等式成立，即成立则当n=k+1时，即当n=k+1时，不等式成立由1°，2°可知对任意n∈N*不等式成立.（Ⅲ）另证：14．解：（1）假设存在实数无关的常数。故存在实数为等差数列. ………………6分（II）由（I）可得①②①－②得 ………………12分15.解：(Ⅰ)∵n=1时，a1+S1=a1+a1=2∴a1=1……(1分)∵Sn=2-an即an+Sn=2∴an+1+Sn+1=2两式相减：an+1-an+Sn+1-Sn=0即an+1-an+an+1=0故有2an+1=an∵an≠0∴(n∈N*)……(3分)所以，数列{an}为首项a1=1，公比为的等比数列.an=(n∈N*)(4分)(Ⅱ)∵bn+1=bn+an(n=1，2，3，…)∴bn+1-bn=()n-1……(5分)得b2-b1=1b3-b2=b4-b3=()2……bn-bn-1=()n-2(n=2，3，…)……