小升初之数论专题

数论[知识关键点]小学升初考试中数论问题，经常包括整数整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数分解与分拆。主要结论有：1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r（0≤r＜b），且q，r是唯一。尤其地，假如r=0，那么a=bq。这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a约数，a是b倍数。2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。3．唯一分解定理：每一个大于1自然数n都能够写成质数连乘积，即其中p1＜p2＜…＜pk为质数，a1，a2，…，ak为自然数，而且这种表示是唯一。（1）式称为n质因数分解或标准分解。4．约数个数定理：设n标准分解式为（1），则它正约数个数为：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（ak+1）。5．整数集离散性：n与n+1之间不再有其余整数。所以，不等式x＜y与x≤y-1是等价。下面，我们将按数论题内容来分类讲解。第一节整除【专题简析】：在数整除中要熟记数整除特点，在用整除知识来处理相关试题时候要注意首先确定末尾那个数字，在确定其余数字。数整除特征数特点被2整除一个整数个位是0,2,4,6,8中某一个被3（或者9）整除一个整数各位数字之和能被3（或者9）整除被5整除一个整数末尾不是5就是0被4(或者25)整除一个整数末两位能被4(或者25)整除被8(或者125)整除一个整数末三位能被8(或者125)整除被11整除一个整数奇数数位上数字之和与偶数数位上数字之和差（较大数减较小数）能被11整除被7(或者11或者13)整除一个整数末三位与末三位以前数字所组成数之差（较大数减较小数）能【例题精讲】例1.老师买了72本相同价格书，当初没有记住书单价，只用铅笔记下了用总钱数，回到学校后其中有两个数字已经含糊不清了，总钱数成了□13.7□元，你能帮忙补上□中数字吗？练习1.马虎采购员，买了72只桶，洗衣服时将购货发票洗烂了，只能依稀看到72只桶共□67.9□元，□内字迹已经看不清楚，请帮他算一下一共多少钱？例2.在算式中，不一样字母代表不一样数，相同字母代表相同数，求这个五位数是多少？练习2.一个六位数，他个位数字是6，将6移动到最前面，所得数是原数4倍，求这个六位数。例3.从0,3,5,7,这4个数中任选3个，组成没有重复数字三位数，在组成数中能同时被2、3、5整除数有多少个？练习3.从1、2、3、4、5中任取3个数组成没有重复数字三位数，在这些三位数中能同时被2和9整除数有多少个？【综合练习】1.学校李老师一共买了28支价格相同钢笔，共付人民币9□.2□元，已知□处数字相同，请问每支铅笔多少钱？已知是45倍数，求全部满足条件六位数。小明在一张纸上写下了一个没有重复数字五位数，9□4□5，其中十位数字和千位数字都看不清楚了，但已知这个数能被75整除，那么满足上述条件五位数中，最大一个数是多少？4.在25□79这个数□内填上一个数字，使这个数能被11整除，问□应填几？五位数能被3整除，它末三个数字组成数能被2整除，求这个五位数？6.已知六位数□8919□能被33整除，那么这个六位数是多少？7.一个六位数23□56□是88倍数，这个数除以88商多少？8.有一个整数，用它去除70、110、160等到三个余数之和是50，求此整数。有一个正整数是一个有位数，且是9倍数，数字之和是A,A数字之和是B，B数字之和是C,求C是多少？

第二节质数与合数应用【专题简析】依照质数、合数意义，解答与质数合数关于问题，学习这部分内容，首先要记住20以内、100以内质数，有利于顺利解题。【例题精讲】例1分别判断251，539是质数还是合数？例2A是一个质数，而且A+6，A+8，A+12，A+14都是质数，试求出满足要求最小质数A。例3如图，四个小三角形顶点处有6个圆圈，假如在这些圆圈中分别填上6个质数，它们和是20。而且每个小三角形顶点圆圈数之和相等，问这6个质数积是多少？【基础练习】1．试判断507，619，667是质数还是合数？2．（1）假如两个质数和是1999，那么这两个质数积是多少？（2）假如三个质数和是130，那么这三个质数积最大是多少？3．写出50以内5个连续自然数，要求每个数都是合数。4.A是一个质数，且A+4，A+6，A+10都是质数，试求出满足要求最小质数A。5．把一个一位数质数A，写在另一个两位质数B后面，得到一个三位数，这个三位数是A119倍，求A和B。6．把一个两位质数写在另一个两位质数后面，得到一个四位数，它能被这两个质数之和二分之一整除，试求出全部这么质数对。7．填出下面加法算式中6个质数。8质9+质6质1质质质【拓展提升】1．（1）写出5个质数，按从大到小次序排列，每相邻两数差是12。（2）写出7个连续自然数，要求每个数都是合数。2．判断数1是质数还是合数？3．判断数1111…121111…1是质数还是合数。1998个11998个14.判断－是质数还是合数。5.a,b,c都是质数，c是一位数，且a×b＋c=1993，那么a＋b＋c和是多少？6．一个长方体，它正面和上面面积之和是299平方厘米，假如它长、宽、高都是质数，那么这个长方体体积是多少？7．有标号是1—9数字9张卡片，甲、乙、丙三人每人拿了3张卡片，甲3张卡片数积是48，乙3张卡片上数和是15，丙3张卡片上数积是63，问甲、乙、丙各拿了哪3张卡片？8．把1—10这10个数字围成一个圆圈，使每相邻两个数和都是质数。9．有一个数，假如它数字倒排以后，所得数仍是这个数，这个数称为回数，如1991就是这么年份，回数具备以下两个性质：（1）1991是一个回数；（2）1991是一个两位质数回数和一个三位质数回数积。在10到之间10中，除了1991外，具备性质（1）（2）年份有哪些？10．有四个相同瓶子里分别装有不一样重量酒，每瓶与其余各瓶分别合称一次，重量分别是8，9，10，11，12，13千克。已知4只空瓶重量之和及酒重量之和均是质数，最重两瓶内共有多少酒？

第三节分解质因数【专题简析】分解质因数经常利用在实际生活中，在许多竞赛题中初看起来极难，但他都与乘积关于，对于这类题目我们能够用分解质因数方法来解答，所以掌握并灵活应用分解质因数知识能解答许多通常方法不能解答问题。要注意是在分解质因数过程中“2”是很尤其，他是质数中唯一一个偶数，而且还经常结合数奇偶性来考。注意特例（1001=7×11×13）【例题精讲】例1.将12个苹果平均分成若干份，共有多少种分法？练习1.有60个同学分成人数相等小组去慰问解放军叔叔，每组不少于6人，不多于15人，那么共有多少种分法？例2.五个连续自然数乘积是15120.那么这五个自然数和是多少？练习.有4个小孩，恰好一个比一个大一岁，4人年纪积是3024，问这4个孩子中最大有多少岁？例3.在下面算式里，里数字各不相同，求这四个数字和。□□×□□□=1995练习3.下面四张小纸片各盖上了一个数字，假如这四个数字是连续偶数，请完整下面算式。□□×□□=5760例4.一个两位数除310余37，这个数能够是多少？练习4.237除以一个两位数，所得余数是6，满足这个条件两位数有哪些？例5.（质数与合数）两个质数和是39，求这两个质数积。练习5.两个质数和是99，求这两个数积。例6.有4个人他们都属虎，年纪之积是27664，求这4个人年纪分别是多少？练习6.有6个人，他们都属龙，年纪之积是17597125，那么他们年纪之和是多少？例7.十个非零且不相等自然数和是，那么这十个非零自然数条约数最大是多少？例8.一个正整数能分成3个不一样质数积，假如这3个质数平方和是150，求这个正整数？练习8：一个正整数能分成3个不一样质数积，假如这3个质数平方和是1710，求这个正整数？例9.有三个数字能组成6个不一样三位数，这6个数和是2886，求这6个三位数中最小一个是多少？练习9：有3个数字能组成6个不一样3位数，这6个数和是1776，求这6个三位数中最小一个是多少？【综合练习】甲数比乙数大9，两个数积是792，求甲乙两数分别是多少？四个连续奇数积是19305，求这四个奇数和。3、在下面算式框内各填上一个数字，使算式成立。×=19954.5100除以一个三位数，余数是95，这个三位数最大是多少？5.三个质数和是80，求这三个质数积。6.已知三个质数平方和是7950，求这三个质数积。7.已知两个数和是60，最小公倍数是273，求此两数分别是多少？8.今有三个质数，他们平方和是7950，求这三个质数积。9.有四个数字能组成6个不一样四位数，这6个数和是39996，求这6个三位数中最小一个是多少10.主人对客人说：“院子里有三个小孩，他们年纪之积等于72，年纪之和恰恰是我家楼号，楼号你是知道，你能求出这些孩子年纪吗？”客人想了一下说：“我还不能确定答案！”他站起来，走到窗前，看了看楼下孩子，说：“有两个很小孩子，我知道他们年纪了！”请问，主人家楼号是多少？三个孩子年纪分别是多少？

第四节余数问题【专题简析】在整数除法中，当不能整除时，就产生余数。a÷b=c……d(0<d<b)是带余除法基本形式。假如两个自然数a,b同除以自然数m，所得余数相同，称作a与b对于模m同余，记作a≡b（modm）。如17与32被5除，余数都是2，即17≡32（mod5）。【例题精讲】例1被除数、除数、商与余数之和是1100，已知余数是9，商是18，求被除数和除数。例2写出除109后余4全部两位数。例3有一个不等于1整数，它除967，1000，得到相同余数，那么这个整数是多少？例4在1与3000之间同时被3，5，7除都余2数有多少个？例5自然数16510，14893和14167除以m余数相同，求m最大值。【基础练习】1．用一个两位数除961，余数为36，求这个两位数。2．719除以一个两位数，余数4，问这么两位数有多少个？3．两个数相除，商为8，余数为16，被除数、除数与商和是555，除数是几？4.求111…11被13除余数。个15.求2579×367＋3325×1303－255×853除以11余数。6.自然数a（a〉1）除124，200，352后得到相同余数，这个自然数最大是几？7.在1—1000之间同时被2，3，7除都余1数有多少个？8.自然数a除以4余1，自然数b除以4余2，那么a+b和除以4余几？【拓展提升】1．用47去除某数余13，被除数与商之和为8605，求被除数。2．小红在计算一道除法题时，把被除数211错写成121，结果商少了10，而余数相同，求该除法题中除数。1363除以一个数，商59，且除数比余数大17，求除数和余数。4．有一个整数分别去除721，271，127，都有余数，三个余数之和是44，求这个数。5．一个十几岁女孩，把母亲年纪写在自己年纪之前组成一个四位数，在这个数上加上母女两人岁数之和是3658，问女孩和母亲各多少岁？写出5个大于零不一样自然数，使其中任意三个自然数和能被3整除，这5个自然数和最小是多少？437×437×…×437－40除以23余数是多少？1994个4378.把310粒糖果分给五（1）班同学，假如每个同学分得相同数量糖果后还余下37粒且不够继续分，那么全班有多少人？9．求3232＋6464＋8888被4除余数。10．分数化成小数后，小数点后面第8888位上数字是几？11.今天是星期天，再过19591999天是星期几？12．求11512＋7880＋3320除以11余数。13．用弃九法检验下面运算是事正确。（1）12567×89345=（2）3684×667=245722814.计算1333＋2×1333＋3×1333＋…＋1333×1333被7除余数。15假如一个101位数333…3N555…5，这个数能被7整除，那么N等于多少？50个350个5

第五节数论常见考题分析【常考题型1：奇偶性及应用】模拟题1：有一本500页书，从中任意撕下20张纸，这20张纸上全部面码之和能否是1999？模拟题2：试找出两个整数，使大数与小数之和加上大数与小数之差，再加上1000等于1999．假如找得出来，请写出这两个数，假如找不出来，请说明理由．模拟题3：桌子上有11个开口向上杯子，现在允许每次同时翻动其中6个，问能否经过若干次翻动，使得11个杯子开口全都向下？模拟题4：甲，乙，丙三名选手参加长跑比赛．起跑后甲处于第一位置，在整个比胜过程中，甲与乙，甲与丙位置次序共交换13次．比赛结果甲是第几名？【常考题型2：整数整除】模拟题1：已知自然数A各个数位上数码之和与3A各个数位上数码之和相等，证实A必能被9整除。模拟题2：两个四位数A275和275B乘积能被72整除，求A和B。模拟题3：是一个三位数。它百位数字是4，+9能被7整除，-7能被9整除，那么是多少？模拟题4：要使六位数能被36整除，而且所得商最小，那么A=_______，B=________C=_______【常考题型3：质数、合数与分解质因数】模拟题1：一个5位数，它各位数字和为43，且能被11整除，求全部满足条件5位数？模拟题2：将4个不一样数字排在一起，能够组成24个不一样四位数（4×3×2×1=24）。将这24个四位数按从小到大次序排列话，第二个是5倍数；按从大到小排列话，第二个是不能被4整除偶数；按从小到大排列第五个与第二十个差在3000-4000之间。请求出这24个四位数中最大一个。（7543）模拟题3：已知□△×△□×□〇×☆△=□△□△□△，其中□、△、〇、☆分别表示不一样数字，那么四位数〇△□☆是多少？（7132）模拟题4：A、B两数都只含有质因数3和2，它们最大条约数是36．已知A有12个约数，B有8个约数，那么A+B=______.【常考题型4：约数与倍数】模拟题1：在一根长木棍上，有三种刻度线，第一个刻度线将木棍分成10等份，第二种刻度线把木棍分成12等份，第三种刻度线把木棍分成15等份，假如沿每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？模拟题2：已知3☆7×2□△4是891倍数，其中☆、□、△各代表一个不一样数字，那么三位数☆□△代表是多少？模拟题3：甲、乙两数最小公倍数是90，乙、丙两数最小公倍数是105，甲、丙两数最小公倍数是126，那么甲数是多少?模拟题4：李老师率领一班学生去种树,学生恰好被平均分成四个小组,总共种树667棵,假如师生每人种棵数一样多,那么这个班共有学生_____人.【常考题型5：余数问题】模拟题1：有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，3个余数和是25.这3个余数中最大一个是多少？模拟题2：一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件数。模拟题3：一个大于1自然数去除300，243，205时，得到相同余数，则这个自然数是______模拟题4：一个大于10自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余8，那么满足条件自然数最小为多少【常考题型6：位值原理】模拟题1：将一个三位数数字重新排列，在所得到三位数中，用最大减去最小，恰好等于原来三位数，求原来三位数。模拟题2：一个三位数，它等于抹去它首位数字之后剩下两位数4倍于25之差，求这个数模拟题3：a，b，c分别是0～9中不一样数码，用a，b，c共可组成六个三位数字，假如其中五个数字之和是2234，那么另一个数字是几？模拟题4：有一个三位数，假如把数码6加写在它前面，则可得到一个四位数，假如把6加写在它后面，则也能够得到一个四位数，且这两个四位数之和是9999，求原来三位数。【常考题型7：完全平方数】模拟题1：一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。模拟题2：求证：四个连续整数积加上1，等于一个奇数平方模拟题3：求证：11,111,1111,……这串数中没有完全平方数模拟题4：甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊卖价又恰为n元，全部卖完后，两人分钱方法以下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮番，拿到最终，剩下不足十元，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应该补给乙多少元？【综合练习】1、小明爷爷钓鱼回来，小明问：“爷爷您今天钓了多少鱼呀?”爷爷说：“我今天甩出鱼杆和提起鱼杆共100次，可是有17次提起鱼杆时没钓着鱼，其余每提一次就钓了一条鱼，你说我今天钓了多少鱼呀?2、有12张卡片，其中有三张上面写着1，三张写着3，三张写着5，三张写着7．问：能否从中选出五张，使它们上面数字之和为20？为何？3、有些四位数是7倍数，且将它从中间划分成前后两个两位数时，前面数能被3整除，后面数能被5整除，那么全部这么数中最小一个是多少？4、三位数百位、十位和个位数字分别是5，和，将它连续重复写99次成为：。假如此数能被91整除，那么这个三位数是多少？5、从左向右编号为1至1991号1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为1