函数的单调性与导数

3.3.1函数的单调性与导数萨拉齐第二中学段银东（第一课时）1.函数：数学模型

研究函数的性质（1）定义域

（2）增减性

（3）最值分布2.（1）导数的定义

（2）导数的几何意义及物理意义归纳总结：

我们已经知道,曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.

yxo11－1aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<0定义:一般地,设函数y=f(x)在某个区间（a，b）内有导数,如果在这个区间内>0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的增函数;如果在这个区间内<0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的减函数.由上我们可得以下的结论:如果在某个区间内恒有,则为常数.3.3.1函数的单调性与导数萨拉齐第二中学段银东（第二课时）

（一）利用导数讨论函数单调性的步骤:

练习1:求函数y=2x3+3x2-12x+1的单调区间.答案:递增区间是和;递减区间是(-2,1).

几何画板演示3.3.1函数的单调性与导数萨拉齐第二中学段银东（第三课时）故f(x)在(-∞,1)和(3,+∞)内是增函数,在(1,3)内是减函数.10331yx而我们可以从右边的函数的图象看到上面的结论是正确的.例1

讨论f(x)=x3-6x2+9x-3的单调性.解:f'(x)=3x2-12x+9令3x2-12x+9>0,解得x>3或x<1,因此,当或时,f(x)是增函数.令3x2-12x+9<0,解得1<x<3,因此,当时,f(x)是减函数.解:定义域是(0,+∞)

由解得0<x<1,故f(x)的递减区间是(0,1).说明:函数的单调区间必定是定义域的子区间,故求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义域。

(1)函数的单调性也叫函数的增减性；(2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概念。这个区间是定义域的子集。(3)单调区间：针对自变量x而言的。若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间；若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。

以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1<x2的前提下,比较f(x1)<f(x2)与的大小,在函数y=f(x)比较复杂的情况下,比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.四、综合应用:例1:确定下列函数的单调区间:(1)f(x)=x/2+sinx;解:(1)函数的定义域是R,令,解得令,解得因此,f(x)的递增区间是:

递减区间是:练习1:确定函数的单调区间.解:令注意到故f(x)的递增区间是(0,100).同理由得x>100,故f(x)的递减区间是(100,+∞).说明:(1)由于f(x)在x=0处连续,所以递增区间可以扩大到[0,100)(或[0,100]).(2)虽然在x=100处导数为零,但在写单调区间时,

都可以把100包含在内.例2:设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定a的取值范围,并求其单调区间.解:若a>0,对一切实数恒成立,此时f(x)只有一个单调区间,矛盾.若a=0,此时f(x)也只有一个单调区间,矛盾.若a<0,则,易知此时f(x)恰有三个单调区间.故a<0,其单调区间是:单调递增区间:单调递减区间:和五、小结:1.在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解决问题的过程中,只能在函数的定义域内,通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.2.在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数等于零的点外,还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.3.注意在某一区间内>(<)0只是函数f(x)在该区间上为增(减)函数的充分不必要条件.6.利用导数的符号来判断函数的单调区间,是导数几何意义在研究曲线变化规律的一个应用,它充分体现了数形结合的思想.5.若函数f(x)在开区间(a,b)上具有单调性.则当函数f(x)时在闭区间[a,b]上连续,那么单调区间可以扩大到闭区间[a,b]上.4.利用求导的方法可以证明不等式,首先要根据题意构造函数,再判断所设函数的单调性,利用单调性的定义,证明要证的不等式.当函数的单调区间与函数的定义域相同时,我们也可用求导的方法求函数的值域.（4）.对数函数的导数:（5）.指数函数的导数:

（3）.三角函数：（1）.常函数：(C)/

0,(c为常数)；

（2）.幂函数：(xn)/

nxn1一复习回顾：1.基本初等函数的导数公式2.导数的运算法则（1）．函数的和或差的导数

(u±v)/＝u/±v/.

（3）．函数的商的导数（）

/=(v≠0)。（2）．函数的积的导数

(uv)/＝u/v+v/u.函数y=f(x)在给定区间G上，当x1、x2∈G且x1＜x2时函数单调性判定单调函数的图象特征yxoabyxoab1）都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在G上是增函数；2）都有f(x1)＞f(x2)，则f(x)在G上是减函数；若f(x)在G上是增函数或减函数，增函数减函数则f(x)在G上具有严格的单调性。G称为单调区间G=(a,b)二、复习引入:(1)函数的单调性也叫函数的增减性；(2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概念。这个区间是定义域的子集。(3)单调区间：针对自变量x而言的。若函数在此区间上是增函数