(正)高等数学竞赛练习册答案

全国大学生数学竞赛委员会关于举办第三届全国大学生数学竞赛的通知各省、市、自治区数学会、解放军院校协作中心数学联席会：为了培养人才、服务教学、促进高等学校数学课程的改革和建设，增加大学生学习数学的兴趣，培养分析、解决问题的能力，发现和选拔数学创新人才，为青年学子提供一个展示基础知识和思维能力的舞台，经中国数学会批准，第三届全国大学生数学竞赛由上海同济大学承办。经全国大学生数学竞赛委员会研究确定，本届比赛分区预赛在2011年10月29日（星期六）上午9：00—11：30举行，决赛同济大学举行。的具体事宜通知如下：（1）参赛对象：于2012年3月份的第三周周六上午在现将竞赛大学本科二年级或二年级以上的在校大学生。竞赛分为非数学专业组和数学专业组(含数学与应用数学加非数学专业组的竞赛（2）竞赛内容：非数学专业组竞赛内容为本科高等数学内容（高等数学内容为理工科本科教学大纲规定的高等数学的教学内容）。数学专业组竞赛内容含数学分析、高等代、信息与计算科学专业的学生)。数学专业学生不得参。数和解析几何（均为数学专业本科教学大纲规定的教学内容），所占比重分别为50%、35%及15%左右。（3）奖项的设立：设赛区（一般以省、市、自治区作为赛区，军队院校为一个独立赛区）奖与全国决赛奖。赛区奖。按照重点学校与非重点学校，数学每个赛区的获奖总名额不超过总参赛人数的15%（其中一等奖、二等奖、三等奖分别占各类获奖总人数的20%、30%、50%）。冠名为“第三届全国大学生数学竞赛（**赛区）*等奖”。奖。参加全国少于5名（其中数学类2名，非数学最后入选名单由竞赛组织委员会批准。决赛阶段的评奖等级按绝对分数评奖。的获奖证书均加盖“中国数学会普及工作委员会”的公章，获奖证类专业与非数学类专业分别评奖。决赛决赛的总人数不超过300人。每个赛区参加决赛的名额不类3名）,由各赛区在赛区一等奖获得者中推选。分区预赛和决赛书由承办单位统一印制。每份获奖证书，承办单位收取工本费5元。（4）命题、阅卷、评奖工作：分区预赛和决赛的试题由全国大学生数学竞赛委员会统一组织专家命题。分区预赛的试卷印刷、保密、阅卷、评奖工作，由各区统一安排，由各赛个赛区的竞赛负责人统一部署。各赛区在考试结束后，当堂密封试卷，及时送交到赛区指定试卷评阅点集中阅卷。评奖工作由各赛区自行组织。决赛阶段的试卷印刷、保密、评阅工作在全国大学生数学竞赛委员会领导下，由承办单位组织进行。评奖工作由全国大学生数学竞赛委员会组织专家组评定。（5）决赛试题和获奖名单将在全国大学生数学竞赛网站上公布。中国数学会普及工作委员会二〇一一年五月十二日

一、函数、极限、连续（竞赛大纲）1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.4．数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.7．函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型.8．连续函数的性质和初等函数的连续性.9．闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).1-1实值函数F(x)和G(x)都定义在整个实数轴上，并且满足limF(x)=p，limG(x)=q，x→ax→p讨论：是否有limG(F(x))=q，若成立则证明，若不成立，请举例说明。x→a1-2设a>0，{x}满足：nx>0,x=1(x+a),n=0,1,2",2x0n+1nn证明：{x}收敛，并求limx。n→∞nn1-3设x>0,x=x2+x(n=1,2,...)，试计算lim(1++...+)。11+n+1nn+1x+1x1n1n→∞x121-4设x>0,x=1(n=1,2,...)，求limx。n→∞n3(1+x)nn1+3+xn1-5求极限lim2sin2n+cos2n。nn→∞1-6求极限lim1+bn+(b2/2)n(b>0)。nn→∞∑a=n(nx+k)(nx+k+1)(x>0)，求lima。1-7设nnn→∞k=1λ1-8求不等于0的数，使得I=limn(1)2005/[nλ−n−=]1/2006。λn→∞1-9设{a}满足lim1∑na=l，证明：n→∞nk=1nk（1）若limn(a−a)=0，则lima=l；nn−1nn→∞n→∞∑n→∞k=2（2）若lima=l，则I=limk(a−a)/n=0。nnkk−1n→∞1-10求极限limsin(xx)−sin(ax)a>。(1)a−aaxx→axx1-11求极限I=limn[arctan[ln(n+1)]−arctan(lnn)]。n→∞1-12若有数组{a,a,"a}满足01na+2a+22a2an−1+2nan−1n=0，nn+12+"+01123证明：alnnx+"+aln2x+alnx+a在(1,e2)内必有一个零点。n2101-13设xn+x=1在(0,1)中的根为a(n∈N)，试证明：a→1(n→∞)。nn∑(n+1)21，求x=limx。1-14nknn→∞k=n21-15设a>0，求liman+an+"an。n12mn→∞i∑∞1-16求a的和，其中a=1，a=1/(a+a+"+a)−2。n1n+112nn=1(1−sinx)(1−3sinx)"(1−nsinx)(1−sinx)n−1lim1-17x→π2xαlncosx⋅arctan4−x2lim1-18。βln(1−2x)⋅lncosxx→01-19limtann(π+2)4nn→∞π1-20limsin(n2+1)n→∞⎛⎜⎝a+xa+"+xa⎞⎟⎟⎠⎜x(a>0)1-21limn→∞12nni1+x1-22设x=4，x=，求limx。n−121nxnn→∞n−1x21-23设f(x)=n1+xn+()n，0x≥，求n→∞limf(x)。n2n⎧x(1+x),x≤0⎪⎪⎨πcosx21-24已知函数f(x)=，求f(x)的间断点，并说明其类型。⎪πsin−,x>0x24⎪⎩二、一元函数微分学（竞赛大纲）1.导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.2.基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性3.复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法4.高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数5.微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰...勒定理.6.洛必达求未定式极限.(L’Hospital)法则与7.函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘.其简单应用.率、曲率半径.8.函数最大值和最小值及9.弧微分、曲2-1设函数f具有一阶连续导数，"(0)存在，且'(0)=0，f(0)=0，ff⎧f(x),x≠0,x=0.g(x)=⎪⎨x⎪a,⎩（1）确定，使处处连续；ag(x)（2）对以上所确定的，证明a具有一阶连续导数.g(x)1⎡f(x)⎤2-2设f(x)在x=0的邻域具有二阶导数，且x→0lim1+x+=e3，试求x⎢⎥⎣⎦xf(0)，f′(0)及f′′(0).2-3设函数()在点0=处有定义，f(0)=1，且limln(1−x)+sinx⋅f(x)=0。证明：fxxx→0ex2−1′函数f(x)在点并求f(0)。x=0处可导，=+>，证明：存在常数A、B，使得当x→0+时，恒2-4设函数f(x)(1x)1x(x0)有f(x)=e+Ax+Bx2+o(x2)，并求常数A、B。2-5设f(x)在(−∞,+∞)内二阶可导，且f(x)0。′′≠θθ（1）证明：对于任何非零实数x，存在唯一的(x)(0<(x)<1)，使得+′θ。f(x)=f(0)xf(x(x))θ（2）求lim(x)。x→0α2-6求使不等式(1+1)n+α≤e≤(1+1)n+β对所有的自然数n都成立的最大的数nnβ和最小的数。2-7设x>0,x=x2+x(n=1,2,...)，试计算lim(1++...+)。11+n+1nn+1x+1x11n→∞x12n2-8设x>0,x=+n1(n=1,2,...)，求limx。3(1+x)n3+x1nnn→∞2-9设函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)>0，ξ′ξξf(a)f(a+b)<0，证明：至少存在一点∈(a,b)，使得f()=f()。2′′≥>2-10设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内二阶可导，且|f(x)|m0，m为常数，又f(a)=f(b)=0，证明：max|f(x)|≥m(b−a)2。8a≤x≤b−∞+∞上可微，且存在常数：2-11设f(x)在(,)k,b,k,b(k<k)，使得112212lim[f(x)−(kx+b)]=0，lim[f(x)−(kx+b)]=0，1122x→−∞x→+∞ξξk∈(k,k)，存在，使得f'()=k。12则对任意的2-12设f(x),g(x)在[a,b]上可取到f'(a)/g'(a)与f'(b)/g'(b)之间的一切值。导，且g'(x)≠0(x∈[a,b])，则函数f'(x)/g'(x)可abpq1/p+1/q=1，则ab≤+(a>0,b>0)。pq2-13设p>1,q>1，且2-14已知函数f(x)在[0,1]上三阶可导，且=−f(0)1,f(1)=0,f′(0)=0，证明：ξ∀x∈(0,1),∃∈(0,1),使f(x)=−1+x2+′′′ξf()。x2(x−1)3!′′≤2-15设函数f(x)在[0,1]上二阶可导，且满足|f(x)|1，f(x)在区间(0,1)内取得最大值。证明：|f(0)|+|f(1)|≤1。142-16设函数f(x)在(−∞,+∞)内二阶可导，且f(x)和f′′(x)在(−∞+∞,)内有界，证明：f′(x)在(−∞+∞,)内有界。2-17设函数f(x)在(−∞,+∞)内三阶可导，且f(x)和f′′′(x)在(−∞,+∞)内有界，f(x)和f′′(x)在(−∞,+∞)内有界′。证明：−∞+∞内有f(x)在(,)二阶导数，并且|f(x)|≤M，|f′′(x)|≤M，2-18设函数02−∞<x<+∞。证明：|f′(x)|≤2MM，−∞<x<+∞。022-19设0ab<<，证明：不等式<<1成立。ab2alnb−lnab−aa2+b22-20设f(x)=1/(xln2)−1/(2x−1)(x≠0)，f(0)=1/2，求f'(0)。2-21设f(x)=x3arcsinx,求f(2008)(0).+−−f(x,y)=4x4y2x22xyy−的极值。2-22求函数422π2-23已知t为常数，且maxcosx+x−t=，求t的值。x∈[0,2]π2-24（1）证明f(x)=xn+nx−2（n为正整数）在(0,+∞)上有唯一正根a；nn（2）计算lim(1+a)nnx→∞xxx2-25证明：对∀x∈R,1+x+++4>0。232!3!4!1⎛++⎞eee2x3xxsinx2-26求limx→0.⎠⎜⎟3⎝f(x)二阶导数，且lim=2，求f"(0)。x→01−cosx2-27已知f(x)具有连续的2-28设f(x)在点x的某领域内有五阶导数，且0f'(x)=f"(x)=f"'(x)=f(4)(x)=0，0000而f(5)(x)>0，问x是否为f(x)的极值点？（x，f(x)）的拐点？0000f(x)=1，且2-29设x→0f"(x)>0，证明：f(x)≥x。limx2-30设f"(x)<0，f(0)=0，证明：x>0，x>0，有对任意有12f(x+x)<f(x)+f(x)。12122-31设f(x)在[−1,1]上二次可导，若有f(−1)=0，f(0)=0，f(1)=1，ξξf"()=1。则存在∈(−1,1)，使得2-32设f(x)在[−1,1]上三次可导，若有f(−1)=f(0)=0，f(1)=1，f'(0)=0，ξξf"'()≥3。则存在∈(−1,1)，使得2-33设f(x)在(−∞,+∞)上可微，证明：若存在极限limf(x)=a，limxf'(x)=bx→+∞x→+∞则b=0。2-34计算极限lim1lnsinxx2xx→02-35设f(x)在(−∞,+∞)上可微，且满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,x,y∈(−∞,+∞)，f(x)=x2+f'(0)x。证明：2-36设f在上二阶可微，==，>，则方程f"(x)=0f'(a)f'−(b)0[a,b]f(a)f(b)0+在内至少有一个根.(a,b)2-37设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可微，且f(a)=f(b)=0，则在[a,b]上ϕ任一连续函数ξξϕξξ(x)，有∈(a,b)，使得f'()+()f()=0。2-38设f(x)在[a,+∞)上连续，在[a,+∞)上可导，且f'(x)>1，若f(a)<0，证明：方程f(x)=0在(a,a−f(a))内有唯一实根。12-39设f(x)在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，且f(1)=，f(2)=2，证明：存2ξ2f()。ξ在ξ∈(1,2)，使得f'()=ξ2-40设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=1，证明：存在ξηηη,∈(a,b)，使得eη−ξ[f()+f'()]=1。2-41设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0，对于x∈(0,1)，有|f'(x)|≤|f(x)|，证明：在[0,1]上f(x)≡0。2-42设f(x)在[0,1]上具有二阶连续导数，且有f(0)=f(1)=0，|f"(x)|≤A，x∈(0,1)，证明：|f'(x)|≤A。22-43设f(x)在[0,2]上具有三阶连续导数，且f(0)=1，f(2)=2，f'(1)=0，ξξ(0,2)内至少存在一点，使得|f"'()|≥3。证明：在2-44设f(x)在[0,1]上具有二阶导数，且满足条件f(x)≤a，f′′(x)≤b，其中a,b都是非负常数，c是(0,1)内的任一点，证明f′(c)≤2a+b2。⎛⎞12-45设⎜⎟=0.证明：∃∈(0,1)ξ，使′′′ξ|f()|≥24fC∈3[0,1],f(0)=1,f(1)=2,f'⎝⎠22-46设f(x)在(−∞,+∞)上具有三阶连续导数，且limf(x)=A（有限），x→∞limf"'(x)=0，证明：limf'(x)=limf"(x)=0。x→∞x→∞x→∞1111<nplnn，n>1,p≥1。np+1p2+112-47证明：n<−lnnnnnp+1−pp(p+1)2[]12-48lim1−cosx⋅cos2x"ncosnxx→0x22-49limn2(arctana−arctanan+1)n→∞n1x2+1−1+x2lim22-50(cosx−ex)sinx22x→02-51设函数y=y(x)由方程2y−2y2+2xy−x2=1确定，求y=y(x)的驻点，3并判断它是否为极值点。2-52如图所示，设a河宽为，一条船从岸边一点出发驶向对岸，船头总是指O向对岸与点相对的一点。假设在静水中船速为常数，河流中水的流速为常BVO1数，试求船过河所走的路线(曲线方程)；V2并讨论在什么条件下（1）船能到达对岸；（2）船能到达点B.三、一元函数积分学（竞赛大纲）1.原函数和不定积分的概念2.不定积分的基本性质、基本积分公式.3.定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式.4.不定积分和定积分的部积分法.5.有理函数6.广义积分7.定积分的.及其导数换元积分法与分、三角函数的有理式和简单无理函数的积分..应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值．∫3-1计算不定积分I=ln(x+1+x2)dx。1+x23-2计算∫dxcos(3+x)⋅sin(5+x).3-3设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内二阶可导，且f′′(x)≠0，满足关系式∫∫1xf(x)dx=0。证明：f(x)在[0,1]上恰好有两个零点。1f(x)dx=003-4设y=f(x)是区间[0,1]上的正值连续函数。ξξξ（1）证明：存在∈(0,1)，使得在区间[0,]上以f()为高的[,1]上以y=f(x)为曲边的（2）如果f(x)在（0,1）内可导，且f′(x)>−2f(x)，证明：（1）中的是矩形面积，等ξ于在区间曲边梯形面积；ξ唯x一的。∫3-5设在(−∞,+∞)内，函数f(x)连续，g(x)=f(x)xf(t)dt单调减少，证明：0f(x)≡0。ξ3-6设函数f(x)在[a,b]上二阶连续可导，证明：存在∈(a,b)，使∫(b−a)3f′′(ξ)。f(x)dx=(b−a)f()+bab+224a3-7设函数f(x)在[a,b]上有连续导数，在(a,b)内二阶可导，且f(a)=f(b)=0，∫bf(x)dx=0，证明：aξ′ξξ（1）在(a,b)内至少存在一点，使得f()=f()；ηηξ′′ηη（2）在(a,b)内至少存在一点，≠，使得f()=f()。3-8设函数f(x)在[0,1]上有连续的导数，且f(0)=f(1)=0。证明：∫{}′。|1f(x)dx|≤1max|f(x)|4x∈[0,1]03-9设函数f(x)在(0,+∞)内可微，且lim[f(x)+f′(x)]=0。证明：limf(x)=0。x→+∞x→+∞∫+∞3-10计算反常积分dx。−2ex(x2+1)220∫3-11计算定积分=1+x2I1ln(1+x)dx。0∫=∫xπ1+tanu23-12计算f(x)dx，其中f(x)xπ2du。102∫3-13设f′(x)=arcsin(x−1)2及f(0)=0，求1f(x)dx.0∫∫3-14设A=πcosxdx(x+2)2，将积分dx表示成A的表达式。πsinxcosxx+1200∫3-15求定积分exdx。π21sinx+1+cosxπ43-16设f(x),g(x)都是[0,a]上的连续函数，且对任意x∈[0,a]，恒有f(x)=f(a−x),g(x)+g(a−x)=k，其中k为常数，证明：∫∫f(x)g(x)dx=kf(x)dx。aa200∫3-17求定积分=π4tan2nxdx。I2n03-18计算极限lim1[n2−1+2n2−22+...+(n−1)n2−(n−1)2]。n→∞n33-19求极限lim[n+nn→∞(n+1)2(n+2)2+"+n(n+n)2]。3-20求lim[(1+)(1+)"(1+n)]nn→∞121。nnn∑n23-21求lim。nn→∞j=1n2+j2∫3-22f(x)在[0,1]上可导，且f(0)=0，又f(x)满足关系f′(x)1f(x)dx=25，0求f(x)。3-23求所有(0,+∞)上的正连续函数g(x)，使得∀x>0有∫∫x[g(t)]2dt=1(xg(t)dt)2。x12003-24问：是否存在区间[0,1]上连续的正函数f(x)，使得下面的三个式子同时成立∫1f(x)dx=1,∫xf(x)dx=a,∫x2f(x)dx=a2，其中a为常数。110003-25设f′′(x)在[0,1]上连续，且f(0)=f(1)=0，求证：（1）∫f(x)dx=1∫x(x−1)f′′(x)dx；11200（2）∫f(x)dx≤1maxf′′(x)。1120≤x≤10π3-26设f(x)在[0,2]上具有一阶连续导数，且f′(x)≥0，求证：对任意自然数n有∫2πf(x)sinnxdx≤2[f(2)f(0)]。π−n0∫3-27设f(x)为[0,1]上的非负连续函数，且f(x)≤1+2xf(t)dt，证明：20f(x)≤1+x，x∈[0,1]。≤′≤且f(0)=0，证明：3-28设f(x)在[0,1]上可导，0f(x)1∫(1f(x)dx)2∫≥1f3(x)dx。00∫3-29设a≤1，求I(a)=x−aexdx的最大值。1−1∫，求3-30设F(x)是f(x)的一个原函数，且F(0)=1,F(x)f(x)=cos2x|f(x)|dx.π0+∞上可导，f(0)=0，且其反函数为3-31设f(x)在[0,)g(x)，若∫f(x)g(t)dt=x2ex，求。f(x)0∫d1cos(ln)dx，其中n为自然数。x3-32计算I=1−2nπdxe3-33设f(x)在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，f(0)=0,0≤f′(x)≤1，∫求证：[∫f(x)dx]2≥1f3(x)dx100∫试求dx3-34设y=y(x)是由方程y(x−y)2=x所确定的隐函数，I=x−3y.∫I=2+2+"+2+xdx（其中有n重）。3-35求不定积分3-36设f(x)是(−∞,+∞)上严格递增的可微函数，且F'(x)=f(x)，g(x)是f(x)的反函数，用F(x)，g(x)表示g(x)的原函数G(x)。3-37设有抛物线l:y=ax2+bx+c(a<0)，且l过两点(0,0)，(1,2)，试求a,b,c11的值，使得曲线l与曲线l:−x2+2x所围成的平面区域之面积S最小。12∫xdx7。3-38证明：I=limn3n→∞=2n1+x245n∫−1xa−x2dx(a>1)3-39计算积分1−11⎡⎤⎥⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞n2123n222"⎜+⎟⎜+⎟⎜+⎟⎜+⎟⎢3-40求极限⎜lim1→∞111⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟2⎣⎝n⎠⎝n⎠⎝n⎠⎝n⎠⎦222n3-41求lim⎜⎛1++⎞+⋅⋅⋅+n+n⋅n⎟⎠111n+nn+2nn+3n⎝x→∞∫∫∫∫1⎛⎝，则有⎜yf(x)f(y)f(t)dt⎟⎞dy⎤dx=⎜1f(x)dx⎟⎠⎞⎡⎛x⎢⎣⎝。3-42设f(x)∈C[0,1]31⎠⎦⎥60000∫3-43设f(x)在[a,b]上一阶导数连续，f(a)=f(b)=0，且bf2(x)dx=1，则有：a∫∫⎛⎜⎞⎛⎟⎞>1。4⎟⎜⎠⎝b[f'(x)]2dxbx2f2(x)dx⎠⎝aa3-44设f(x)在[0,+∞)上单调减少的连续函数，证明：∫x(x2−3t2)f(t)dt≥0。0∫3-45设f(x)在(−∞,+∞)上一阶导数连续，且有+∞x2f2(x)dx<+∞，−∞∫+∞[f'(x)]2dx<+∞，证明:−∞∫∫ftdt⎟(x≥0).+∞['()]⎛⎝⎞⎛⎞12⎠1xfx≤⎜+∞tf2(t)⎟⎜(1)()4222⎠⎝xx∫+∞f2(x)dx2+∞x2f2(x)dx−∞≤⎜∫∫+∞[f'(x)]2dx⎟⎠2(x≥0)⎛⎞⎛⎞11⎟⎜2(2)⎝⎠⎝−∞−∞3-46求I=limxsin(xπ+t)dt。∫x→+∞03-47设f(x)在[1,+∞)上可微，f(1)=1，若有f'(x)=1/(x2+f2(x))(1≤x<∞)，π则limf(x)<1+。4x→+∞∫dx3-48计算积分I=(a>1)。1−1(a−x)1−x2ax−sinxln(1+t2)3-49确定a,b,c，使得lim=c≠0。∫x→0xdttb∑n→∞i=1(n+k)(n+k+1)。n43-50求极限limn∫1π，证明：0≤x≤时，f(x)≤3-51设f(x)=x(t−t2)sinntdt(n∈N)。(n+2)(n+3)03-52设f(x)在[−2a,2a](a>0)上具有连续导数，计算1∫I=lima[f(t+a)−f(t−a)]dt.a→0+4a2−a∫x5⋅sin4x1+x23-53计算1[()"+sinx]dx。cos2x−1∫sin(2n+1)xdx。sinxπ3-54计算积分20∫1+∞3-55计算积分(1+xn)(1+x2)dx。03-56设f(x)在[a,b]上连续且单调增加，证明∫a+bbf(x)dx。∫bxf(x)dx≥2aa3-57设f(x)在[a,b]上具有连续导数，证明：∫∫bf(x)dx|+b|f'(x)|dx≥max|f(x)|1|b−aa≤x≤baaπ3-58设f'(x)在[0,2]上连续，且0f'(x)>，证明：对任意n有：∫2|f(x)sinnxdx|≤[f(2)−f(0)]。ππ2n013-59设实值函数F(x)满足F(1)=1，并且对于x≥1，若F'(x)=x2+F2(x)πlimF(x)存在，并且小于1+。4证明：x→∞∫3-60设f(u)∈C2，且F(x,y)=yf(xyz)dz，求F(x,y)。xxLy1=−（0≤x≤1）、x轴和y所围成的平面区域被曲线3-61假设曲线：1x2L：2y=ax分为面积相等的的两部分，其中a是大于零的常数，试确定a的值。2[]ππ3-62求曲线y=xsinx,x∈,2与x轴围成的平面图形绕y轴旋转所得的旋转体体积。3-63设在区间(−∞,+∞)连续，F(x)=21af(x)∫x+af(t)dt(a>0),G(x)=∫f(t)dt,xx−a0试解答下列问题：（1）用G(x)表示F(x)；（2）求F′(x)；limF(x)==f(x)（3）求证：；a→0[]M、m,（4）设在−+内的最大值和最小值分别是求证：xa,xaf(x)F(x)−f(x)≤M−m.四、多元函数微分学（竞赛大概念、二元函数的几何意义.2.二元函数的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质.3.多元函数偏导数和充分条件.纲）1.多元函数的极限和连续的全微分、全微分存在的必要条件和4.多元复合函数、隐函数的求导法.5.二阶偏导数、方向导数和梯度.6.空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.7.二元函数的二阶泰勒公式.8.多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.4-1设z=z(x,y)二阶连续可微，并且满足方程A∂+2B∂+C∂=0，其中，22∂∂xy2z∂y2zz∂x2αβαβB2−AC>0，若令u=x+y,v=x+y，试确定常数,的值，使原方程变为∂=0，并求出z(x,y)。2∂u∂vz⎧⎪y−y2arctan,xy≠0，当xx2arctan4-2设f(x,y)=xy=0时，求xyf(x,y)。⎨xyxy=0⎪⎩04-3设函数满足与，，求u(x,2x)，u(x,2x)=xu(x,2x)=x2u(x,y)u−u=0xxyyx，（表示对的一阶偏导数，其他类推）xx.u(x,2x)xyu(x,2x)uyyuxx4-4在曲面(xy+y2z+z2x)2+(x−y+z)=0上点（0,0,0）处的切平面内求一点P，2使点。P到点A（2,1,2）和点B（-3,1,-2）的距离的平方和最小xy22(x−)+y2=1内部的椭圆+=1的面积最4-5求a,b的值，使得包含在圆12ab22小（a>0，b>0,a≠b）。π4-6设椭球面切平面。求：Σ:x+3y2+z2=1，为Σ在第一卦限内的2π（1）使与三坐标平面所围成的四面体的体积最小的切点坐标；π（2）使与三坐标平面截出的三角形面积最小的切点坐标。4-7设函数f(u)可导且f′(u)≠0，证明：旋转曲面z=f(x2+y2)的法线与转轴相交。4-8设f(x,y)在R2中连续，f(0,0)=0，f(x,y)存在偏导数，且当x+y≤5时，22|gradf|≤1，证明：|f(1,2)|≤5。4-9在平面上给一边长分别为a、b、c的三角形，在它上面做无数个定高h的锥体，求侧面积最小的锥体。4-10设ΔABC为正三角形，边长为a，P为ΔABC内任意一点，由P向三边引D、E、F。试求ΔDEF的面积最大值。垂线与三边的交点分别为4-11设函数f(x,y)可微，f′(x,y)=−f(x,y),f(0,)=1，且满足πx2⎡⎤n⎦limf(0,y1)=ecoty，求f(x,y)。+⎣nf(0,y)n→∞五、多元函数积分学（竞赛大纲）1.二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).2.两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.3.格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.4.两类曲面积分的概念5.高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和6.重积分曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、、性质及计算、两类曲面积分的关系.旋度的概念及计算.、曲线积分和曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)5-1计算下述积分：∫∫y−x2dxdy，D其中D是矩形区域x≤1，0≤y≤2。∫∫15-2设fx∈C0+∞且满足方程f(t)=e()[,)，求f(t)。+π4t2f(x2+y2)dxdy2x2+y2≤4t25-3将均匀的抛物形体Ω:x2+y2≤z≤1放在水平桌面上，证明：当形体处于稳θ=arctan3。定平衡时，它的轴线与桌面的夹角为2∫∫ππ5-4设D:xy1+≤，证明：≤sin(x2+y2)3dxdy≤2。22611655D{}∫∫5-5设D=(x,x)|0≤x≤2,0≤y≤2，（1）计算B=xy−1dxdy；（2）设f(x,y)∫∫∫∫D在D上连续，且有f(x,y)dxdy=0,xyf(x,y)dxdy=1，试证：存在DDξηξη(,)∈D，使得|f(,)|≥1。B∫∫f(x)在[0,1]上连续，证明：1edxye−f(y)dy≥1。f(x)5-6设函数00{5-7已知∫2sin(x2)dx=a,求sin(x−y)2dxdy，其中D=(x.y)x≤1,y≤1。∫∫}0D∫∫adxbemax{b2x2,a2y2}dy。5-8计算00∫ππxydxfyxdy[()cos−]+['()sin−]，其中ACB为连接5-9计算曲线积分fyACBππB(3,4)的线段AB之下方的任意路线，且该路线与线段AB所围成点A(,2)与点的图形的面积为1，f(x)是连续可导的函数。5-10求曲线积分I=∫(exsiny−b(x+y))dx+(excosy−ax)dy，其中a与b为L正常数，L为从点A（2a，0）沿曲线O（0,0）的弧。y=2ax−x2到点w∫∫5-11计算(x−y)dxdy+(y−z)xdydz，其中Σ为柱面x+y2=1及平面2Σz=0,z=3所围成的空间闭区域Ω的边界曲面的外侧。5-12求曲线lnx+lny=1所围成的平面图形的面积。⎧=zey⎨(1≤y≤2z)绕轴旋转一周所成曲面的下5-13设曲面为曲线=x0⎩S侧，计算曲面积分∫∫I=4zxdydz−2zdzdx+(1−z2)dxdyS∫∫∫5-14计算(x+y+z)2dV，其中Ω:+y2+z2≤1。x2a2b2c2Ωv∫⎧x+y2+z2=a2，a>0。2⎨[(x2)(y3)2]ds++−，其中Γ:x+y+z=0⎩5-15计算ΓI=2w∫∫5-16计算(x2+2y2+3z2)dS，其中Σ:x+y2+z2=2y。2Σ⎧+≥+xy2,zxy2，计算曲面积分f(x,y,z)dS，其⎪∫∫225-17已知函数f(x,y,z)=中Σ:x2+y2+z2=2。⎨⎩0,z<x2+y2⎪Σ∫∫5-18计算曲面积分I=(y2−2y)dzdx+(z+1)2dxdy，其中，Σ为曲面z=x+y22Σ被平面z=1与z=2截下的那部分的外侧。v∫5-19计算，其中L为不通过原点O(0,0)的简单光滑闭曲线，且L(xy)dx+(x+4y)dy−x2+4y2L为逆时针方向。5-20设函数f(x,y)在闭区域D:x2+y2≤1上有二阶连续偏导数，且∫∫，证明：(x+y)dxdy=π。∂f∂f∂∂∂2f+∂2f=e−(x2+y2)∂x2∂y2xy2eD5-21设曲面Σ为球面x2+y2+z2=a2，M(x,y,z)是空间中任意一点，计算0000曲面积分w∫∫，其中，=(x−x)2+(y−y)2+(z−z)2。ρdSρ000Σ∫5-22设f(0)=3，试确定可微函数f(x)使曲线积分(1+y)f(x)dx+(f(x)+x)dyL与路径无关。∫∫σf(t)在[0,+∞)上可导，且满足f(t)=eπt2+f(x2+y2)d，其中，5-23设函数DD:x2+y2≤t2。求f(t)。5-24设函数f(t)在[0,+∞)上连续，Ω(t)={(x,y,z)∈R3|x2+y2+z2≤t2,z≥0}，S(t)是Ω(t)的表面，D(t)是Ω(t)在xoy平面上的投影区域，L(t)是D(t)的边界曲线，已知当t∈(0,+∞)时，恒有vw∫∫∫L(t)=∫∫f(x2+y2)d+f(x2+y2)x2+y2ds+(x2+y2+z2)dS，S(t)x2+y2+z2dV∫∫∫σD(t)Ω(t)求f(t)的表达式。六、无穷级数（竞赛大纲）1.常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.2.几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz)判别法.3.任意项级数的绝对收敛与条件收敛.4.函数项级数的收敛域与和函数的概念.5.幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数.6.幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幂级数的和函数的求法.幂级数展开式.8.函数的傅里叶(Fourier)系数与数在[-l，l]上的傅里叶级数、函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数7.初等函数的傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函∑∞an!n6-1讨论级数(a>0)的敛散性。nnn=16-2设函数f(x)在x=0的某领域内具有二阶连续导数，且lim=0，证明：f(x)xx→0∑∞级数f(1)绝对收敛。nn=1∑∞6-3证明：级数条件收敛。−(1)nn+(−1)nn=2∑，求的值∫∞6-4设ax|sinx|dx,n=1,2,...=π。nann2n0n=16-5讨论级数1−1+1−1+...+−1+...的收敛性。(2n)x12n−132x4x∫ϕϕ6-6设函数(x)在(,)−∞+∞连续，周期为，且(x)dx=0，函数11f(x)在[0,1]0∑∫∞ϕa=上有连续导数，设f(x)(nx)dx，求证：级数a收敛。12nn0n=1∑∞6-7对实数p，讨论级数的收敛域。xnnplnnn=2∑证明：级数收敛的∑∞+{}∞6-8设正数列a单调增加，充要条件是级数1n+...anaaa2n=1nn=11n收敛。∑∞6-9设a=4,a=1,a=n(n−1)a,n≥2，（1）求幂级数axn的和函数S(x)；01n−2nnn=0（2）求S(x)的极值。∑∑∞−(1)n3n+1n=0∞6-10求幂级数x3n的收敛域与和函数，并求的和。−(1)n3n+1n=0∑∞6-11求幂级数的和函数S(x)。x4n(4n)!n=0∑∞6-12将函数f(x)=arctan展开成x的幂级数，并求级数的和。(1)n2n+1n=0−1−2x1+2x∑6-13求lim1n([2n]−2[n])。n→∞nk=1kk∫=n+1dx，n=1,2,...,其中p为正数，证明：（1）当p>1时，级数6-14设anπxp+1sinxn∑∑∞∞a绝对收敛；（2）当0<p≤1时，级数a收敛。nnn=0n=0∑⎛⎞∞n3π6-15分析级数sin⎜⎟的收敛性。⎝n2+1⎠n=16-16设函数F(x)是函数f(x)的一个原函数，且F(0)=1,F(x)f(x)=cos2x，∑∫∞a=nπ|f(x)|dx,n=1,2,...,求幂级数xn的收敛域与和函数。annn2−10n=2∑⎛−⎞∑n∞x1∞⎜⎟⎟的收敛区间，并讨论端点的敛散性，其中(−1)na发n6-17求幂级数⎜⎝a+1⎠n=0n=0n散，且0<a<a(n∈N)。n+1