高中数学2-2学案：1.4 导数在实际生活中的应用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学习目标1。了解导数在解决实际问题中的作用.2。掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．知识点生活中的优化问题1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为__________．2．利用导数解决优化问题的实质是____________．3．解决优化问题的基本思路是：上述解决优化问题的过程是一个典型的________过程．类型一面积、容积的最值问题例1请你设计一个包装盒，如图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝xcm.(1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2)最大，则x应取何值？（2)若广告商要求包装盒容积V（cm3)最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．反思与感悟(1）这类问题一般用面积公式,体积公式等作等量关系，求解时应选取合理的边长x作自变量，并利用题目中量与量之间的关系表示出其他有关边长,这样函数关系式就列出来了．(2)这类问题中，函数的定义域一般是保证各边（或线段）为正，建立x的不等式（组)求定义域．跟踪训练1某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O，半径为100m，并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B。市园林局计划在△ABM内进行绿化．设△ABM的面积为S(单位：m2），∠AON＝θ（单位：弧度）．(1）将S表示为θ的函数；(2)当绿化面积S最大时,试确定点A的位置，并求最大面积．类型二利润最大问题例2已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元,且R(x)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（10.8－\f（1,30）x2，0〈x≤10,,\f(108，x)－\f（1000,3x2），x>10。)）（1)求年利润W（万元)关于年产量x（千件)的函数解析式；(2）当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大,并求出最大值．反思与感悟解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有（1）利润＝收入－成本;(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练2某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x(单位:元/千克）满足关系式y＝eq\f（a，x－3)＋10(x－6)2，其中3<x<6,a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（1）求a的值;（2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大．类型三费用(用材)最省问题例3已知A、B两地相距200km，一只船从A地逆水行驶到B地,水速为8km/h，船在静水中的速度为vkm/h(8〈v≤v0）．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v＝12km/h时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？反思与感悟（1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式,准确求导,结合实际作答．（2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大（小）值,那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．跟踪训练3为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm)满足关系：C（x)＝eq\f（k,3x＋5）（0≤x≤10）,若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f（x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为________．2．某产品的销售收入y1（万元）是产品x(千台)的函数，y1＝17x2；生产总成本y2(万元）也是x的函数,y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大,应生产________千台．3．将一段长100cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆形，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________cm.4．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x（单位：元,0≤x≤21）的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件．（1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：（1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f（x）；(2）求函数的导数f′（x）,解方程f′(x）＝0；(3）比较函数在区间端点和使f′（x）＝0的点的数值的大小，最大(小）者为最大(小）值．2．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路．另外需要特别注意：（1）合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；（2）与实际问题相联系；（3）必要时注意分类讨论思想的应用．提醒：完成作业1。4

答案精析问题导学知识点1．优化问题2．求函数最值3．数学建模题型探究例1解(1)由题意知包装盒的底面边长为eq\r（2)xcm，高为eq\r（2)(30－x)cm，所以包装盒侧面积为S＝4eq\r(2）x×eq\r(2）(30－x）＝8x（30－x)≤8×（eq\f（x＋30－x，2))2＝8×225，当且仅当x＝30－x，即x＝15时，等号成立，所以若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大，则x＝15。(2）包装盒容积V＝2x2·eq\r（2)(30－x)＝－2eq\r(2)x3＋60eq\r(2）x2（0<x<30），所以V′＝－6eq\r(2)x2＋120eq\r（2)x＝－6eq\r(2)x（x－20)．令V′>0，得0〈x<20；令V′〈0,得20<x<30。所以当x＝20时,包装盒容积V取得最大值，此时包装盒底面边长为20eq\r（2）cm，高为10eq\r(2）cm，包装盒的高与底面边长的比值为eq\f（1，2).跟踪训练1解（1)如图，BM＝AOsinθ＝100sinθ，AB＝MO＋AOcosθ＝100＋100cosθ,则S＝eq\f(1,2）MB·AB＝eq\f(1,2)×100sinθ×(100＋100cosθ)＝5000（sinθ＋sinθcosθ),θ∈（0，π)．（2）S′＝5000(2cos2θ＋cosθ－1)＝5000(2cosθ－1）(cosθ＋1）．令S′＝0，得cosθ＝eq\f(1，2)或cosθ＝－1（舍去）,此时θ＝eq\f（π，3)。当θ＝eq\f（π，3）时，S取得最大值，Smax＝3750eq\r（3）m2，此时AB＝150m，即点A到北京路一边l的距离为150m。例2解（1)当0〈x≤10时,W＝xR(x）－（10＋2.7x）＝8.1x－eq\f（x3，30）－10，当x>10时，W＝xR（x）－（10＋2.7x)＝98－eq\f（1000,3x)－2。7x,∴W＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（8。1x－\f（x3，30）－10,0<x≤10，,98－\f（1000,3x）－2.7x，x>10。））(2）①当0＜x＜10时，由W′＝8.1－eq\f(x2，10)＝0，得x＝9，且当x∈(0，9)时,W′＞0；当x∈(9,10)时,W′＜0.∴当x＝9时，W取最大值，且Wmax＝8.1×9－eq\f(1，30）×93－10＝38.6。②当x＞10时，W＝98－eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1000，3x）＋2.7x））≤98－2·eq\r（\f(1000，3x)·2.7x)＝38，当且仅当eq\f(1000，3x)＝2。7x,即x＝eq\f(100，9）时，W＝38,故当x＝eq\f（100,9）时，W取最大值38.综合①②知，当x＝9时，W取得最大值38。6万元．故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元．跟踪训练2解（1)因为x＝5时，y＝11,所以eq\f(a,2)＋10＝11，所以a＝2.（2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝eq\f(2,x－3）＋10（x－6）2,所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3）［eq\f（2,x－3）＋10(x－6）2］＝2＋10(x－3）（x－6）2，3<x<6.从而，f′（x）＝10[（x－6）2＋2(x－3)（x－6)]＝30（x－4)(x－6)．于是，当x变化时，f′(x)，f（x）的变化情况如下表:x（3，4)4（4,6）f′（x）＋0－f(x）单调递增极大值42单调递减由上表可得，x＝4是函数f（x)在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点．所以，当x＝4时，函数f(x）取得最大值，且最大值等于42.所以当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．例3解设每小时的燃料费为y1，比例系数为k(k〉0)，则y1＝kv2，当v＝12时，y1＝720,∴720＝k·122,得k＝5。设全程燃料费为y，由题意，得y＝y1·eq\f（200，v－8)＝eq\f（1000v2，v－8)，∴y′＝eq\f(2000vv－8－1000v2，v－82)＝eq\f(1000v2－16000v,v－82）.令y′＝0,得v＝16，∴当v0≥16，即v＝16km/h时全程燃料费最省,ymin＝32000(元);当v0〈16,即v∈(8,v0]时,y′〈0，即y在(8，v0]上为减函数，∴当v＝v0时，ymin＝eq\f（1000v\o\al(2，0),v0－8)(元)．综上，当v0≥16时，v＝16km/h全程燃料费最省,为32000元；当v0<16，即v＝v0时全程燃料费最省，为eq\f(1000v\o\al(2,0），v0－8）元．跟踪训练3解(1)设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为C（x)＝eq\f（k,3x＋5），再由C（0）＝8,得k＝40，因此C（x)＝eq\f（40,3x＋5），而建造费用为C1（x)＝6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x)＝20C(x)＋C1(x）＝20×eq\f（40,3x＋5）＋6x＝eq\f（800,3x＋5）＋6x（0≤x≤10）．(2）f′(x)＝6－eq\f(2400,3x＋52），令f′(x)＝0，即eq\f(2400，3x＋52)＝6。解得x＝5,x＝－eq\f(25,3)（舍去），当0〈x<5时，f′(x）〈0，当5<x<10时,f′（x）〉0，故x＝5为f（x）的最小值点，对应的最小值为f（5）＝6×5＋eq\f（800,15＋5）＝70.当隔热层修建5cm厚时,总费用达到最小值70万元．达标检测1．42．63.eq\f（100π,4＋π)4．解（1)设商品降价x元,则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期的获利为f（x)，则有f(x)＝(30－x－9）（432＋kx2)＝(21－x)（432＋kx2)．由已知条件，得24＝k×22，于是有k＝6.所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈［0，21]．（2)根