高中数学2-1学案：第二章 圆锥曲线与方程 2.4.1 抛物线的标准方程 含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2．4。1抛物线的标准方程[学习目标]1。掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念。2.会求简单的抛物线方程．知识点一抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l（F不在l上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．知识点二抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p>0）（eq\f(p,2),0）x＝－eq\f（p，2）y2＝－2px(p〉0）（－eq\f（p，2），0)x＝eq\f（p，2）x2＝2py(p>0）(0，eq\f（p，2))y＝－eq\f（p,2)x2＝－2py（p>0)(0，－eq\f（p，2））y＝eq\f(p，2）思考（1)抛物线的标准方程y2＝2px(p>0)中p的几何意义是什么？（2）平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗?答案（1)焦点到准线的距离．（2)不一定．当直线l经过点F时,点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线；l不经过点F时,点的轨迹是抛物线．题型一求抛物线的标准方程例1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．（1）焦点为(－2,0)；（2)准线为y＝－1;（3）过点A(2,3)；（4)焦点到准线的距离为eq\f（5,2)。解(1）由于焦点在x轴的负半轴上，且eq\f（p，2）＝2,∴p＝4，∴抛物线的标准方程为y2＝－8x.(2）∵焦点在y轴正半轴上,且eq\f(p，2)＝1，∴p＝2,∴抛物线的标准方程为x2＝4y。（3)由题意，抛物线方程可设为y2＝mx(m≠0）或x2＝ny（n≠0），将点A（2，3）的坐标代入，得32＝m·2或22＝n·3,∴m＝eq\f(9，2）或n＝eq\f(4,3）。∴所求抛物线的标准方程为y2＝eq\f（9,2)x或x2＝eq\f（4,3)y.(4)由焦点到准线的距离为eq\f(5，2）,可知p＝eq\f（5，2）。∴所求抛物线的标准方程为y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y。反思与感悟求抛物线方程,通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可．若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论．焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2＝ax（a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2＝ay（a≠0）．跟踪训练1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1）过点（3,－4);（2)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．解（1)方法一∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0）或x2＝－2p1y（p1>0)．把点(3，－4）的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y,得(－4）2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，即2p＝eq\f（16，3)，2p1＝eq\f(9,4）。∴所求抛物线的标准方程为y2＝eq\f(16,3）x或x2＝－eq\f（9,4)y.方法二∵点（3，－4）在第四象限,∴抛物线的方程可设为y2＝ax(a≠0）或x2＝by（b≠0）．把点(3，－4）分别代入,可得a＝eq\f(16，3），b＝－eq\f(9,4）.∴所求抛物线的标准方程为y2＝eq\f（16,3）x或x2＝－eq\f（9,4)y。(2）令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.∴抛物线的焦点为(0，－5)或（－15,0)．∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.题型二抛物线定义的应用例2如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点,又有点A（3，2），求PA＋PF的最小值,并求此时P点坐标．解如图，作PQ⊥l于Q，由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，由图可知，求PA＋PF的最小值的问题可转化为求PA＋d的最小值的问题．将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±eq\r（6)。∵eq\r（6)>2,∴A在抛物线内部．设抛物线上动点P到准线l：x＝－eq\f（1，2）的距离为d,由定义知PA＋PF＝PA＋d.由图可知，当PA⊥l时，PA＋d最小,最小值为eq\f（7,2）.即PA＋PF的最小值为eq\f（7,2)，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2.∴点P坐标为(2,2）．反思与感悟抛物线的定义在解题中的作用,就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等．跟踪训练2已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点,则点P到点A（0,2)的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值为________．答案eq\f(\r(17），2)解析如图，由抛物线定义知PA＋PQ＝PA＋PF，则所求距离之和的最小值转化为求PA＋PF的最小值，则当A、P、F三点共线时,PA＋PF取得最小值．又A（0，2）,F（eq\f（1,2)，0）,∴（PA＋PF）min＝AF＝eq\r(0－\f（1，2）2＋2－02)＝eq\f（\r(17）,2）.题型三抛物线的实际应用例3如图所示，一辆卡车高3m，宽1.6m，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口AB宽恰好是拱高CD的4倍，若拱口宽为am,求能使卡车通过的a的最小整数值．解以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系．则点B的坐标为eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(a，2)，－\f（a,4)）），设抛物线方程为x2＝－2py（p〉0），∵点B在抛物线上,∴eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(a,2)))2＝－2p·eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（a,4)）），解得p＝eq\f(a,2），∴抛物线方程为x2＝－ay.将点E(0.8，y)代入抛物线方程,得y＝－eq\f(0。64,a)。∴点E到拱底AB的距离为eq\f（a,4）－|y｜＝eq\f（a,4)－eq\f(0。64，a)>3.解得a〉12.21，∵a取整数,∴a的最小整数值为13。反思与感悟以抛物线为数学模型的实例很多，如拱桥、隧道、喷泉等，抛物线的应用主要解题步骤：（1)建立平面直角坐标系，求抛物线的方程；(2）利用方程求点的坐标．跟踪训练3如图所示,一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成,为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0。5米．（1）以隧道的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图），求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到0.1米)?解(1)依题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p>0），如图所示,因为点C（5，－5）在抛物线上，解得p＝eq\f(5,2)，所以该抛物线的方程为x2＝－5y.(2)设车辆高h米，则DB＝h＋0。5,故D(3.5,h－6。5)，代入方程x2＝－5y，解得h＝4。05，所以车辆通过隧道的限制高度为4。0米．1．抛物线y＝－eq\f(1,8)x2的准线方程是________．答案y＝2解析将y＝－eq\f（1，8）x2化为标准形式x2＝－8y，由此可知准线方程为y＝2.2．过抛物线y2＝8x的焦点作倾斜角为45°的直线,则被抛物线截得的弦长为________．答案16解析由y2＝8x得焦点坐标为(2，0),由此直线方程为y＝x－2，由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（y2＝8x，,y＝x－2）)联立得x2－12x＋4＝0,设交点为A（x1，y1)，B（x2,y2),由方程知x1＋x2＝12，∴弦长AB＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16。3．已知抛物线的顶点在原点,对称轴为x轴，焦点在双曲线eq\f（x2,4）－eq\f(y2,2）＝1上，则抛物线的方程为________．答案y2＝±8x解析由题意知，抛物线的焦点为双曲线eq\f(x2,4）－eq\f（y2,2）＝1的顶点,即为(－2，0)或（2，0)，所以抛物线的方程为y2＝8x或y2＝－8x.4．已知直线l1:4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________．答案2解析易知直线l2：x＝－1恰为抛物线y2＝4x的准线，如图所示,动点P到l2：x＝－1的距离可转化为PF的长度，其中F(1，0）为抛物线y2＝4x的焦点．由图可知，距离和的最小值，即F到直线l1的距离d＝eq\f(|4＋6|,\r(－32＋42)）＝2。5．若双曲线eq\f（x2,3)－eq\f(16y2,p2）＝1(p〉0）的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝________。答案4解析由双曲线eq\f（x2，3)－eq\f（16y2,p2)＝1得标准形式为eq\f(x2，3）－eq\f（y2，\f(p2,16)）＝1，由此c2＝3＋eq\f(p2，16)，左焦点为(－eq\r(3＋\f（p2，16）)，0）,由y2＝2px得准线为x＝eq\f（－p，2），∴－eq\r（3＋\f(p2，16)）＝－eq\f（p,2），∴p＝4。1.抛物线的定义中不要忽略条件：点F不在直线l上．2．确定抛物线的标准方程,从形式上看，只需求一个参数p