高中数学2-1学案：3.2.2 空间线面关系的判定（一）平行关系

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精3．2.2空间线面关系的判定（一)平行关系[学习目标]1.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系。2。能用向量方向证明有关线、面位置关系的一些定理.3.能用向量方法判断一些简单的空间线面的平行关系．知识点空间平行关系的向量表示(1)线线平行设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1），b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2（λ∈R)．（2）线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1),平面α的法向量为u＝（a2，b2，c2)，则l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(3）面面平行设平面α，β的法向量分别为u＝（a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2），则α∥β⇔u∥v⇔u＝λv⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2（λ∈R)．思考1．用向量法如何证明线面平行？答案证平面外的直线的方向向量与平面内一条直线的方向向量平行或直线的方向向量与平面的法向量垂直即可．2．直线l的方向向量是惟一的吗？答案不惟一．题型一证明线线平行问题例1已知直线l1与l2的方向向量分别是a＝（2，3,－1），b＝（－6，－9，3)．证明:l1∥l2.证明∵a＝（2,3，－1)，b＝（－6,－9，3），∴a＝－eq\f（1，3）b，∴a∥b，即l1∥l2.反思与感悟两直线的方向向量共线时,两直线平行;否则两直线相交或异面．跟踪训练1已知在四面体ABCD中,G、H分别是△ABC和△ACD的重心，则GH与BD的位置关系是________．答案平行解析设E、F分别为BC和CD的中点，则eq\o(GH，\s\up6(→））＝eq\o（GA,\s\up6(→)）＋eq\o(AH,\s\up6(→))＝eq\f(2,3）(eq\o（EA,\s\up6(→)）＋eq\o（AF,\s\up6(→）)）＝eq\f(2,3）eq\o(EF，\s\up6(→））,所以GH∥EF,所以GH∥BD。题型二证明线面平行问题例2在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC,E是PC的中点．证明：PA∥平面EDB。证明如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设PD＝DC＝a.方法一连结AC,交BD于点G，连结EG,依题意得D（0，0，0），A(a,0,0),P（0，0，a)，E（0，eq\f(a,2），eq\f（a，2）)．因为四边形ABCD是正方形,所以G是此正方形的中心，故点G的坐标为(eq\f（a，2），eq\f(a,2），0)，所以eq\o（EG,\s\up6(→））＝(eq\f（a,2)，0，－eq\f(a，2)）．又eq\o（PA，\s\up6(→)）＝（a，0，－a），所以eq\o（PA,\s\up6(→))＝2eq\o（EG,\s\up6（→)），这表明PA∥EG.而EG⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB.方法二设平面BDE的法向量为n＝（x，y，z),eq\o(DE，\s\up6(→））＝（0,eq\f(a，2），eq\f(a,2）)，eq\o(EB,\s\up6（→))＝(a，eq\f(a,2），－eq\f(a,2）),则有eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DE,\s\up6(→))＝0，，n·\o（EB,\s\up6(→））＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a，2)y＋z＝0,，ax＋\f（y，2）－\f（z，2)＝0，）)即eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（y＋z＝0，,2x＋y－z＝0。）)令y＝－1，则eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,，z＝1。))所以n＝(1，－1，1)，又eq\o(PA,\s\up6（→))＝(a,0，－a)，所以n·eq\o(PA，\s\up6（→))＝（1,－1，1)·（a,0，－a）＝a－a＝0.所以n⊥eq\o（PA，\s\up6(→）).所以PA∥平面EDB。方法三假设存在实数λ，μ使得eq\o(PA,\s\up6（→)）＝λeq\o(DE,\s\up6（→)）＋μeq\o(EB，\s\up6(→)),即（a，0,－a）＝λ（0，eq\f(a,2)，eq\f(a,2）)＋μ（a,eq\f（a，2)，－eq\f(a,2）),则有eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝μa,，0＝λ·\f（a,2）＋μ·\f（a，2）＝\f（a，2)λ＋μ,,－a＝λ·\f（a，2）－μ·\f（a，2)，））解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（λ＝－1，,μ＝1。))所以eq\o(PA，\s\up6（→))＝－eq\o(DE，\s\up6（→））＋eq\o（EB，\s\up6(→））,所以PA∥平面BDE。反思与感悟通过证明平面内的一个向量与直线的方向向量平行来证明线面平行，需要特别说明直线的方向向量不在平面内；通过证明平面的法向量与直线的方向向量垂直来证明直线与平面平行，求解法向量的赋值与运算一定要准确；本题应用共面向量定理证明线面平行转化为判定eq\o(PA，\s\up6（→)）＝λeq\o(DE,\s\up6(→)）＋μeq\o(EB,\s\up6(→）)中λ和μ是否存在的问题．跟踪训练2如图，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E,F分别是线段AB，BC的中点．判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD.解∵PA⊥平面ABCD,∠BAD＝90°，AB＝1，AD＝2，如图，建立空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0），B（1,0，0)，F（1，1，0），D(0,2，0）．不妨令P(0，0，t)，∴eq\o（PF,\s\up6(→))＝（1，1，－t)，eq\o(DF,\s\up6(→）)＝(1，－1,0）,设平面PFD的法向量为n＝(x，y，z),由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（n·\o(PF,\s\up6(→）)＝0，，n·\o（DF,\s\up6(→))＝0，）)得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋y－tz＝0，,x－y＝0，）)令z＝1，解得x＝y＝eq\f（t,2)，∴n＝（eq\f（t,2)，eq\f(t,2），1)．设点G的坐标为（0，0，m），又E（eq\f（1,2），0,0)，则eq\o(EG,\s\up6(→)）＝（－eq\f(1，2)，0，m)．要使EG∥平面PFD,只需eq\o(EG，\s\up6（→）)·n＝0，即(－eq\f（1,2）)×eq\f(t,2)＋0×eq\f(t，2)＋m×1＝0，即m－eq\f(t,4)＝0，解得m＝eq\f(1，4)t，从而满足AG＝eq\f（1，4）AP的点G即为所求．题型三证明平面和平面平行问题例3如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、M、N分别是正方体六个表面的中心，试确定平面EFG和平面HMN的位置关系．解如图，建立空间直角坐标系D—xyz,设正方体的棱长为2，易得E(1，1，0)，F(1,0,1）,G（2,1，1)，H（1，1,2)，M（1,2,1)，N(0，1,1）．∴eq\o（EF，\s\up6（→)）＝（0，－1，1），eq\o（EG，\s\up6(→））＝(1，0,1),eq\o(HM,\s\up6(→))＝（0,1，－1），eq\o(HN,\s\up6(→)）＝（－1，0，－1)．设m＝（x1，y1，z1)，n＝（x2，y2，z2）分别是平面EFG，平面HMN的法向量，由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（m·\o（EF,\s\up6(→))＝0，m·\o（EG，\s\up6(→))＝0））得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(－y1＋z1＝0,,x1＋z1＝0,）)令x1＝1，得m＝（1，－1,－1）．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(HM，\s\up6(→)）＝0，,n·\o（HN,\s\up6(→））＝0,)）得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（y2－z2＝0,,－x2－z2＝0，））令x2＝1，得n＝（1，－1，－1）．∴m＝n,故m∥n,即平面EFG∥平面HMN。反思与感悟证明面面平行的方法设平面α的法向量为n1＝（a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2),则α∥β⇔n1∥n2⇔(a1,b1，c1）＝k(a2,b2，c2）（k∈R）．跟踪训练3设平面α的法向量为(1，3，－2），平面β的法向量为(－2，－6，k），若α∥β,则k＝________。答案4解析∵α∥β，∴(1,3,－2）＝λ(－2,－6，k），∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(－2λ＝1，，λk＝－2，))∴λ＝－eq\f（1，2),k＝4.1．若A（1,0，－1)，B(2，1,2）在直线l上,则直线l的一个方向向量是________．(填序号)①(2，2,6）②（－1,1，3)③(3,1,1)④（－3，0,1）答案①解析∵A,B在直线l上，∴eq\o(AB，\s\up6（→））＝(1,1，3），与eq\o（AB,\s\up6(→））共线的向量（2,2,6)可以是直线l的一个方向向量．2．设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b,若a·b＝0,则下列结论正确的是________．(填序号）①l∥α ②l⊂α③l⊥α ④l⊂α或l∥α答案④解析∵a·b＝0，∴l⊂α或l∥α.3．已知线段AB的两端点坐标为A（9，－3，4)，B（9,2，1)，则与线段AB平行的坐标平面是________．答案平面yOz解析因为eq\o（AB,\s\up6(→))＝(9,2，1)－（9，－3,4）＝(0,5,－3)，所以AB∥平面yOz。4．若平面α、β的法向量分别为n1＝（1，2，－2），n2＝（－3，－6，6)，则平面α，β的位置关系是________．答案平行解析∵n2＝－3n1，∴n1∥n2，∴α∥β。5。如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M、P、Q分别为棱AB、CD、BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等,则①A1M∥D1P；②A1M∥B1Q；③A1M∥平面DCC1D1；④A1M∥平面D1PQB1。以上结论中正确的是__________．(填序号）答案①③④解析∵eq\o(A1M，\s\up6（→)）＝eq\o（AM，\s\up6（→））－eq\o(AA1，\s\up6(→））＝eq\o（DP,\s\up6(→))－eq\o(DD1，\s\up6（→））＝eq\o(D1P,\s\up6（→）)，∴A1M∥D1P.∵D1P⊂平面D1PQB1，∴A1M∥平面D1PQB1。又D1P⊂平面DCC1D1，∴A1M∥平面DCC1D1.∵B1Q为平面DCC1D1的斜线,∴B1Q与D1P不平行，∴A1M与B1Q不平行．用向量方法证明空间中的平行关系(1)线线平行设直线l1、l2的方向向量分别是a、b，则要证明l1∥l2，只需证明a∥b，即a＝kb（k∈R）．(2）线面平行①设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α,只需证明a⊥u，即a·u＝0.②根据线面平行的判定定理：“如果直线(平面外)与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行"，要证明一条直线和一个平面平行,也可以在