数学中考三轮复习《探索与表达规律》解答题专题训练　

数学中考三轮复习《探索与表达规律》解答题专题训练（附答案）1．如图是某月的日历，在此日历上用一个正方形圈出9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．（1）图中圈出的9个数的平均数是多少？直接写结果．（2）若用正方形圈出此日历中的任意9个数中，位于中心位置的数是m，那么这9个数的和是多少？这9个数的平均数是多少？（3）若用正方形圈出此日历中的9个数，这9个数的和有可能是225吗？试说明理由．2．黑洞原本是天文学中的概念，用来表示这样一种天体：它的引力场非常强，任何物体甚至是光，被它吸入就再也休想逃脱出来．数学中的数字黑洞是指自然数经过某种数学运算之后陷入一种循环的境况．任意取一个数，分别求出：它所含偶数的个数、奇数的个数、以及这两个数的和，用所得的三个数依次做一个三位数的百位、十位和个位数字；对这个三位数重复前面的做法，得到一个新的三位数，如此进行下去，求最后得到的循环不变的数字．3．在学习了有理数的加减法之后，老师讲解了例题﹣1+2﹣3+4+……﹣2021+2022的计算思路为：将两个加数组合在一起作为一组；其和为1，共有1011组，所以结果为+1011．根据这个思路学生改编了下列几题：（1）计算：①1﹣2+3﹣4+……+2021﹣2022＝②1﹣3+5﹣7+……+2021﹣2023＝（2）蚂蚁在数轴的原点O处，第一次向右爬行1个单位，第二次向右爬行2个单位，第三次向左爬行3个单位，第四次向左爬行4个单位，第五次向右爬行5个单位，第六次向右爬行6个单位，第七次向左爬行7个单位……按照这个规律，第1024次爬行后蚂蚁在数轴什么位置？4．阅读下列材料：1×2＝（1×2×3﹣0×1×2）；2×3＝（2×3×4﹣1×2×3）；3×4＝（3×4×5﹣2×3×4）；由以上三个等式相加，可得：1×2+2×3+3×4＝×3×4×5＝20．读完以上材料，请你计算下列各题：（1）1×2+2×3+3×4+…+19×20（写出过程）．（2）猜想：1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）＝．（3）探究计算：1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+17×18×19．5．观察有规律的整数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，…按照如图所示的方式排成的数阵．（1）按照该数阵呈现的规律排下去，那么第n行共有个数，其中最左侧的一个是，最右侧的一个是（用含有n的代数式表示）；（2）按照该数阵呈现的规律排下去，那么第10行从左数第9个数是；（3）第n行所有数字之和是（用含有n的代数式表示）．6．观察：32﹣12＝8×1；52﹣32＝8×2；72﹣52＝8×3；92﹣72＝8×4……观察上面的一系列等式，你能发现什么规律？用代数式表示这个规律，并用这个规律计算20232﹣20212的值．7．在生活中，人们经常通过一些标志性建筑确定位置，在数学中往往也是这样．（1）将正整数如图1的方式进行排列：小明同学通过仔细观察，发现每一行第一列的数字有一定的规律，所以每一行第一列的数字可以作为标志数，于是他认为第七行第一列的数字是，第7行、第5列的数字是．（2）方法应用观察下面一列数：1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，…并将这列数按照如图2方式进行排列：按照上述方式排列下去，问题1：第10行从左边数第9个数是；问题2：第n行有个数；（用含n的代数式表示）问题3：数字2023在第行，从左边数第个数．8．【问题提出】|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+…+|a﹣2019|最小值是多少？【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．|a|的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离．那么|a﹣1|可以看做a这个数在数轴上对应的点到1的距离；|a﹣1|+|a﹣2|就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究|a﹣1|+|a﹣2|的最小值．我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示：（1）如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．（2）如图②，a在1和2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1．（3）如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．【问题解决】（1）|a﹣2|+|a﹣5|的几何意义是．请你结合数轴探究：|a﹣2|+|a﹣5|的最小值是．（2）|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|的几何意义是．请你结合数轴探究：|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|的最小值是，并在图④的数轴上描出得到最小值时a所在的位置，由此可以得出a为．（3）求出|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+|a﹣4|+|a﹣5|的最小值．（4）求出|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+…+|a﹣2019|的最小值．【拓展应用】请在图⑤的数轴上表示出a，使它到2，5的距离之和小于4，并直接写出a的范围．9．探索规律：观察下面由组成的图案和算式，解答问题：1+3＝4＝221+3+5＝9＝321+3+5+7＝16＝421+3+5+7+9＝25＝52（1）请计算1+3+5+7+9+11＝；（2）请计算1+3+5+7+9+…+19＝；（3）请计算1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）＝；（4）请用上述规律计算：21+23+25+…+99．10．我们知道1+2+3+……+n＝，则1+2+3+……+10＝．【问题提出】那么12+22+32+……+n2的结果等于多少呢？【阅读理解】在图1所示的三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12；第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22，…；第n行n个圆圈中数的和为n+n+n+…+n，即n2．这样，该三角形数阵中共有个圆圈，所有圆圈中数的和可表示为．【规律探究】将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第n﹣1行的第一个圆圈中的数分别为n﹣1，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3（12+22+32+…+n2）＝，因此，12+22+32+…+n2＝．【解决问题】（1）．根据以上发现，计算：＝．（2）．试计算112+122+132+……+202，请写出计算步骤．11．观察下列等式＝1﹣，＝，＝将以上三个等式两边分别相加得：++＝1﹣++＝1﹣＝（1）猜想并写出：＝（2）直接写出下列各式的计算结果：①+++…+＝②+++…+＝（3）探究并计算：+++…+．12．观察图形，解答问题：（1）按下表已填写的形式填写表中的空格：图①图②图③三个角上三个数的积1×（﹣1）×2＝﹣2（﹣3）×（﹣4）×（﹣5）＝﹣60三个角上三个数的和1+（﹣1）+2＝2（﹣3）+（﹣4）+（﹣5）＝﹣12积与和的商﹣2÷2＝﹣1（2）请用你发现的规律求出图④中的数y和图⑤中的数x．13．人们经常利用图形的规律来计算一些数的和、如在边长为1的网格图1中，从左下角开始，相邻的黑折线围成的面积分别是1，3，5，7，9，11，13，15，17…，它们有下面的规律：1+3＝22；1+3+5＝32；1+3+5+7＝42；1+3+5+7+9＝52；…（1）请你按照上述规律，计算1+3+5+7+9+11+13的值，并在图1中画出能表示该算式的图形；（2）请你按照上述规律，计算第n条黑折线与第n﹣1条黑折线所围成的图形面积；（3）请你在边长为1的网格图2中画出下列算式所表示的图形1+8＝32；1+8+16＝52；1+8+16+24＝72；1+8+16+24+32＝92．14．图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面﹣层有一个圆圈，以下各层均比上﹣层多一个圆圈，一共堆了n层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为1+2+3+…+n＝．如果图1中的圆圈共有12层，（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是；（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数﹣23，﹣22，﹣21，…，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和．15．已知单项式﹣a、2a2、﹣3a3、4a4，…按一定的规律排列，请解答下列问题：（1）第5个单项式是；（2）试写出第2021个单项式；第2022个单项式；（3）试写出第n个单项式．16．仔细观察下列三组数：第一组：﹣1，8，﹣27，64，﹣125，…．第二组：1，﹣4，9，﹣16，25，…第三组：﹣2，﹣8，﹣18，﹣32，﹣50，…（1）第一组的第6个数是；（2）第二组的第n个数是；（3）分别取每一组的第10个数，计算这三个数的和．17．如图所示，将一串有理数按一定规律排列，探索下列问题：（1）在A处的数是正数还是负数？（2）负数排在A、B、C、D中的什么位置？（3）第2021个数排在对应于A、B、C、D中的什么位置？18．数学兴趣小组活动上，宇阳同学用围棋棋子按照某种规律摆成如图所示的“100”字样．（1）按照这种规律，第5个“100”字样的棋子个数是，第n个“100”字样的棋子个数是；（2）若有2022个这样的棋子，按这种摆法是否正好摆成一个“100”，若能，求摆出是第几个“100”？若不能，说明理由．19．观察图：下列每一幅图都是由一些单位长度均为1的黑方格和白方格按一定的规律组成（下面所有方格均指的单位为1的小方格）．（1）根据规律，第4个图中共有个方格，其中黑方格个．（2）第n个图形中，白方格共有个．（用n表示，n为正整数）（3）有没有可能黑方格比白方格恰好少2022个，如果有，求出是第几个图形；如果没有，请说明理由．20．用同样大小的两种不同颜色（白色．灰色）的正方形纸片，按如图方式拼成长方形．[观察思考]第（1）个图形中有2＝1×2张正方形纸片；第（2）个图形中有2×（1+2）＝6＝2×3张正方形纸片；第（3）个图形中有2×（1+2+3）＝12＝3×4张正方形纸片；第（4）个图形中有2×（1+2+3+4）＝20＝4×5张正方形纸片；……以此类推[规律总结]（1）第（5）个图形中有张正方形纸片（直接写出结果）；（2）根据上面的发现我们可以猜想：1+2+3+……+n＝；（用含n的代数式表示）[问题解决]（3）根据你的发现计算：101+102+103+……+200．21．在平面直角坐标系中，一机器人从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如图所示．（1）填写下列各点的坐标：A2（，），A5（，），A11（，）；（2）写出点A4n的坐标（n是正整数）；（3）指出机器人从点A2021到A2022的移动方向．22．如图，学校植物园的护栏是由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏的图案放在平面直角坐标系中，已知小正方形的边长为1米，则A1的坐标为（2，2）、A2的坐标为（5，2）（1）A3的坐标为，An的坐标（用n的代数式表示）为．（2）2020米长的护栏，需要两种正方形各多少个？23．（1）为了计算1+2+3+…+8的值，我们构造图形（图1），共8行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有（1+2+3+…+8）个点．如图2，添出图形的另一半，此时共8行9列，有8×9＝72个点，由此可得1+2+3+…+8＝×72＝36．用此方法，可求得1+2+3+…+20＝（直接写结果）．（2）观察下面的点阵图（如图3），解答问题：填空：①1+3+5+…+49＝；②1+3+5…+（2n+1）＝．（3）请构造一图形，求+++…+（画出示意图，写出计算结果）．

参考答案1．解：（1）6+7+8+13+14+15+20+21+22＝126，126÷9＝14．∴圈出的9个数的平均数是14．（2）中间的数为m，则剩下的8个数分别为m﹣1，m+1，m﹣7，m﹣8，m﹣6，m+7，m+6，m+8，∴这9个数之和：m+m﹣1+m+1+m﹣7+m﹣8+m﹣6+m+7+m+6+m+8＝9m，∵9m÷9＝m，∴这9个数的平均数为m．（3）不可能，理由如下；若这9个数的和为225，则9m＝225，解得m＝25，由图可知，25是日历中第4行的最后一个数，∴不可能．2．解：取一个数为243，第一次运算结果为213，第二次运算结果为123，第三次运算结果为123，...，∴最后得到的循环不变的数字是123，故答案为：123．3．解：（1）①1﹣2+3﹣4+……+2021﹣2022＝﹣1×1011＝﹣1011；②1﹣3+5﹣7+……+2021﹣2023＝﹣2×507＝﹣1014；故答案为：﹣1011、﹣1014；（2）根据题意知第1024次爬行后蚂蚁在数轴上的1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+9+10﹣11﹣12+……+1021+1022﹣1023﹣1024＝﹣4×256＝﹣1024．4．解：（1）1×2+2×3+3×4+…+19×20＝（1×2×3﹣0×1×2）+（2×3×4﹣1×2×3）+（3×4×5﹣2×3×4）+…+（19×20×21﹣18×19×20）＝（19×20×21）＝19×20×7＝2660；（2）1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）＝（1×2×3﹣0×1×2）+（2×3×4﹣1×2×3）+（3×4×5﹣2×3×4）+…+[n×（n+1）×（n+2）﹣（n﹣1）×n×（n+1）]＝[n×（n+1）×（n+2）]，故答案为：[n×（n+1）×（n+2）]；（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+17×18×19＝（1×2×3×4﹣0×1×2×3）+（2×3×4×5﹣1×2×3×4）+（3×4×5×6﹣2×3×4×5）+…+（17×18×19×20﹣16×17×18×19）＝（17×18×19×20）＝29070．5．解：观察数阵可知：（1）第1行共有1个数，其中最左侧的一个是﹣1，最右侧的一个是﹣1；第2行共有3个数，其中最左侧的一个是（﹣1）2[（2﹣1）2+1]，最右侧的一个是（﹣1）2×22；第3行共有5个数，其中最左侧的一个是（﹣1）3[（3﹣1）2+1]，最右侧的一个是（﹣1）3×32；…所以第n行共有（2n﹣1）个数，其中最左侧的一个是（﹣1）n[（n﹣1）2+1]最右侧的一个是（﹣1）nn2；故答案为：（2n﹣1），（﹣1）n[（n﹣1）2+1]，（﹣1）nn2；（2）根据（1）所得结论可知：第10行从左数第1个数是82，第10行从左数第9个数是90；故答案为90；（3）∵第2行所有数字之和是：2﹣3+4＝3＝（﹣1）2×（1×2+1）；第3行所有数字之和是：﹣5+6﹣7+8﹣9＝﹣7＝（﹣1）3×（2×3+1）；第4行所有数字之和是：10﹣11+12﹣13+14﹣15+16＝13＝（﹣1）4×（3×4+1）；…∴第n行所有数字之和是：（﹣1）n（n（n﹣1）+1]＝（﹣1）n（n2﹣n+1）．故答案为：（﹣1）n（n2﹣n+1）．6．解：由所给一系列等式，可知：相邻两个奇数的平方差等于8的倍数；（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n（n是正整数），∴20232﹣20212＝（2×1011+1）2﹣（2×1011﹣1）2＝8×1011＝8088．7．解：（1）∵每一行第一列的数字为该行的平方，即第n行第一列的数字为n2，∴第七行第一列的数字是：72＝49，第5列的数字是：49﹣4＝45，故答案为：49，45；（2）由题意得：每一行最末的数字的绝对值是行数的平方，所有数取绝对值后是连续的正整数，所有数中奇数为正整数、偶数为负整数，每行数的个数为：1，3，5，7…；问题1：∵第9行最末的数字的绝对值是81，∴第10行从左边数第9个数的绝对值是81+9＝90，∵偶数为负整数，∴第10行从左边数第9个数是﹣90；问题2：∵每行数的个数为：1，3，5，7…；∴第n行有2n﹣1个数；问题3：∵2023＝442+87，∴数字2023在第45行，从左边数第87个数；故答案为：﹣90；2n﹣1；45，87．8．解：（1）|a﹣2|+|a﹣5|的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和；当a在5和2之间时（包括在5，2上），可以看出a到5和2的距离之和等于3，此时|a﹣2|+|a﹣5|取得最小值是3；故答案为：a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和；3．（2）|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到1、2和3三个点的距离之和．当a取中间数时，绝对值最小，|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|的最小值是1+0+1＝2；如图所示：故答案为：a这个数在数轴上对应的点到1、2和3三个点的距离之和；2；2．（3）当a取中间数3时，绝对值最小，|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+|a﹣4|+|a﹣5|的最小值是：2+1+0+1+2＝6．（4）当a取中间数1010时，绝对值最小，|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|…+|a﹣2019|的最小值为：1009+1008+1007+…+1+0+1+2+3+…+1009＝1009×（1009+1）＝1019090．【拓展应用】∵a使它到2，5的距离之和小于4∴|a﹣2|+|a﹣5|＜4∴①当a≥5时，则有a﹣2+a﹣5＜4解得：a＜5.5∴5≤a＜5.5②当2＜a＜5时，则有a﹣2+5﹣a＝3＜4∴2＜a＜5③当a≤2时，则有2﹣a+5﹣a＜4解得：a＞1.5∴1.5＜a≤2综上：1.5＜a＜5.5，数轴上表示如下：9．解：（1）1+3+5+7+9+11＝62＝36；（2）1+3+5+7+9+…+19＝102＝100；（3）1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）＝n2；（4）21+23+25+…+99＝（1+3+5+…+97+99）﹣（1+3+5+…+19）＝502﹣102＝2500﹣100＝2400．10．解：1+2+3+……+10＝＝55；故答案为：55；【阅读理解】在图1所示的三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12；第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22，…；第n行n个圆圈中数的和为n+n+n+…+n，即n2．这样，该三角形数阵中共有个圆圈，所有圆圈中数的和可表示为12+22+32+…+n2；故答案为：，12+22+32+…+n2；【规律探究】由题意知，每个位置上三个圆圈中数的和均为n﹣1+2+n＝2n+1，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：3（12+22+32+…+n2）＝（2n+1）×（1+2+3+…+n）＝（2n+1）×，因此，12+22+32+…+n2＝；故答案为：2n+1，，；【解决问题】1．根据以上发现，计算：＝＝7，故答案为：7．2．试计算112+122+132+……+202＝（12+22+32+…+202）﹣（12+22+32+…+102）＝×20×21×41﹣×10×11×21＝2485．11．解：（1）＝﹣，故答案为：﹣；（2）①原式＝；②原式＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝；故答案为：；；（3）原式＝（﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝×（﹣）＝，故答案为：．12．解：（1）图②：（﹣60）÷（﹣12）＝5，图③：（﹣2）×（﹣5）×17＝170，（﹣2）+（﹣5）+17＝10，170÷10＝17．图①图②图③三个角上三个数的积1×（﹣1）×2＝﹣2（﹣3）×（﹣4）×（﹣5）＝﹣60（﹣2）×（﹣5）×17＝170三个角上三个数的和1+（﹣1）+2＝2（﹣3）+（﹣4）+（﹣5）＝﹣12（﹣2）+（﹣5）+17＝10积与和的商﹣2÷2＝﹣1，（﹣60）÷（﹣12）＝5，170÷10＝17（2）图④：5×（﹣8）×（﹣9）＝360，5+（﹣8）+（﹣9）＝﹣12，y＝360÷（﹣12）＝﹣30，图⑤：＝﹣3，解得x＝﹣2；经检验x＝﹣2是原方程的根，∴图⑤中的数为﹣2．13．解：（1）1+3+5+7+9+11+13＝72．算式表示的意义如图（1）．（2）第n条黑折线与第n﹣1条黑折线所围成的图形面积为2n﹣1．（3）算式表示的意义如图（2），（3）等．14．解：（1）1+2+3+…+11+1＝6×11+1＝67；（2）图4中所有圆圈中共有1+2+3+…+12＝＝78个数，其中23个负数，1个0，54个正数，所以图4中所有圆圈中各数的绝对值之和＝|﹣23|+|﹣22|+…+|﹣1|+0+1+2+…+54＝（1+2+3+…+23）+（1+2+3+…+54）＝276+1485＝1761．另解：第一层有一个数，第二层有两个数，同理第n层有n个数，故原题中1+2+．+11为11层数的个数即为第11层最后的圆圈中的数字，加上1即为12层的第一个数字．15．解：（1）∵﹣a、2a2、﹣3a3、4a4，…，∴第n个单项式是：（﹣1）nnan，∴第5个单项式是﹣5a5，故答案为：﹣5a5；（2）∵第n个单项式是：（﹣1）nnan，当n＝2021时，第2021个单项式是﹣2021a2021；当n＝2022时，第2022个单项式是2022a2022；故答案为：﹣2021a2021；2022a2022；（3）由（1）可得，第n个单项式是：（﹣1）nnan，故答案为：（﹣1）nnan．16．解：（1）因为第一组数为：﹣13，23，﹣33，43，…，所以第6个数为：63＝216；故答案为：216；（2）因为第二组数为：12，﹣22，32，﹣42，…，所以第n个数为：（﹣1）n+1n2；故答案为：（﹣1）n+1n2；（3）因为每组数的第10个数分别为：1000，﹣100，﹣200，所以这三个数的和为：﹣100+1000﹣200＝700．17．解：（1）A是向上箭头的上方对应的数，与4的符号相同，在A处的数是正数；（2）观察发现，向下箭头的上边的数是负数，下方是正数，向上箭头的下方是负数，上方是正数，所以，B和D的位置是负数；（3）∵2021÷4＝505……1，∴第2021个数排在B的位置．18．解：（1）由图知，第1个“100”字样图案的棋子个数是11＝5+6，第2个“100”字样图案的棋子个数是16＝5×2+6；第3个“100”字样图案的棋子个数是21＝5×3+6；…，第5个“100”字样图案的棋子个数是5×5+6＝31；第n个“100”字样图案的棋子个数是5n+6；故答案为：31；（5n+6）；（2）不能，理由如下：令5n+6＝2022，解得，因为不是整数，所以不能．19．解：（1）∵第1个图中共有15＝5+10×1个方格，其中黑方格3＝3×1块，第2个图中共有25＝5+10×2个方格，其中黑方格6＝3×2块，第3个图中共有35＝5+10×3个方格，其中黑方格9＝3×3块，……，∴第n个图中共有5+10n个方格，其中黑方格3n块，∴第4个图中共有5+10×4＝45个方格，其中黑方格3×4＝12块，故答案为：45，12；（2）∵第1个图形中白方格个数共有：12＝5（1+2×1）﹣3×1，第2个图形中白方格个数共有：19＝5（1+2×2）﹣3×2，第3个图形中白方格个数共有：26＝5（1+2×3）﹣3×3，……，∴第n个图形中白方格个数共有：5（1+2n）﹣3n＝7n+5，故