全国高中数学联赛模拟训练题

全国高中数学联赛模拟训练题全国高中数学联赛模拟训练题PAGEPAGE18全国高中数学联赛模拟训练题PAGE全国高中数学联赛模拟试题〔七〕

第一试

一、选择题：〔每题6分，共36分〕

1、a、b是异面直线，直线c与a所成的角等于c与b所成的角，则这样的直线c有

〔A〕1条〔B〕2条〔C〕3条〔D〕无数条2、已知f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，若f(x)g(x)=x2+2x+3，则f(x)+g(x)=〔A〕x2+2x3〔B〕x2+2x3〔C〕x22x+3〔D〕x22x+33、已知△ABC，O为△ABC内一点，∠AOB=∠BOC=∠COA=2，则使AB+BC+CA3≥m(AO+BO+CO)建立的m的最大值是〔A〕2〔B〕5〔C〕3〔D〕332、设0.5，y=sin1，z=log37则x、y、z的大小关系是4x=0.82〔A〕x＜y＜z〔B〕y＜z＜x〔C〕z＜x＜y〔D〕z＜y＜x、整数101995的尾端两位数字是〔A〕10〔B〕01〔C〕00〔D〕205109536、设(a,b)表示两自然数a、b的最大合约数．设(a,b)=1，则(a2+b2,a3+b3)为〔A〕1〔B〕2〔C〕1或2〔D〕也许大于2二、填空题：〔每题9分，共54分〕1、若f(x)=x10+2x92x82x7+x6+3x2+6x+1，则f(21)=．、设F1、F2是双曲线x221引∠F1PF22y=4的两此中心，P是双曲线上随意一点，从F均分线的垂线，垂足为M，则点M的轨迹方程是．、给定数列n，1，且3xn1，则x1999601．3{x}x=1xn13xnx=1111的棱长为1，E是CD中点，F是BB1中点，则四周体4、正方体ABCDABCDAD1EF的体积是．5、在座标平面上，由条件yx1所限制的平面地区的面积是．y2x36、12个朋友每周会餐一次，每周他们分红三组，每组4人，不同样组坐不同样的桌子．若要求这些朋友中随意两个人最罕有一次同坐一张桌子，则最少需要周．

三、〔20分〕已知椭圆x2y21过定点A(1,0)，且中心在x轴上，椭圆与曲线|y|=xa2b2的交点为B、C．现有以A为中心，过B、C且张口向左的抛物线，抛物线的极点坐标M(m,0)．当椭圆的离心率e满足2e21，务实数m的取值限制．3四、〔20分〕a、b、c均为实数，a≠b，b≠c，c≠a．ab2cbc2aca2b证明：3≤abbcc＜2．2a

五、〔20分〕

已知f(x)=ax4+bx3+cx2+dx，满足i〕a、b、c、d均大于0；〔ii〕对于任一个x∈{2,1,0,1,2}，f(x)为整数；〔iii〕f(1)=1,f(5)=70．

试说明，对于每个整数x，f(x)能否为整数．

第二试

一、〔50分〕设K为△ABC的内心，点C1、B1辩解为边AB、AC的中点，直线AC与C1K交于点B2，直线AB于B1K交于点C2．若△AB2C2于△ABC的面积相当，试求∠CAB．

二、〔50分〕设wcos379isin，f(x)=(xw)(xw)(xw)(xw)．55求证：f(x)为一整系数多项式，且f(x)不可以解析为两个最少为一次的整系数多项式之积．

三、〔50分〕在圆上有21个点．求在以这些点为端点构成的所有的弧中，不超出120°的弧的条数的最小值．参照答案第一试一、选择题：题号123456答案DACBCC二、填空题：1、4；2、x22；、；、5；5、16；6、5．+y=430424三、1,32．四、证略．五、是．第二试一、60°；二、证略．三、100．4全国高中数学联赛模拟试题〔八〕

第一试

一、选择题：〔每题6分，共36分〕

1、设logab是一个整数，且loga1logablogba2，给出以下四个结论①1bba2；②aba=0；③＜＜＜；④ab1=0．blogb+log0ab1〔A〕1〔B〕2〔C〕3〔D〕4此中正确结论的个数是2、若△ABC的三边长a、b、c满足a2a2b2c0，则它的最大内角度数是a2b2c30数学〔A〕150°〔B〕120°〔C〕90°〔D〕60°求：AD、BE和CF三共点．、定l〔l2b2〕的段AB的两头点都在双曲x2y21〔a＞0，b＞0〕，3aa2b2AB中点M的横坐的最小〔A〕al〔〕al〔C〕al2a〔D〕al2a2a2b2B2a2b22a2b22a2b24、在复平面上，曲z4+z=1与|z|=1的交点个数〔A〕0〔B〕1〔C〕2〔D〕35、E={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2}、F={(x,y)|x≤10,y≥2,y≤x4}是直角坐平面上的222xyz≤2．二、〔50分〕非数x、y、z足x+y+z=1．求：1≤yz1zx1xy1三、〔50分〕

由n个A，n个B和n个C排成的行，在其下边从头定一行〔比上边一行少一个字母〕，若其上的两个字母不同样，在地点写上第三个字母；若同样，写上字母．新获得的行重复上边的操作，直到一个字母止．下边出了n=2的一个例子．

ACBCBA

BAAAC

CAAB

两个点集，靠拢G=x1x2,y1y2x1,y1E,x2,y2F所成的形面BACCB22A是〔A〕6〔B〕2〔C〕6.5〔D〕76、正方形片ABCD，沿角AC折，使D在面ABC外，DB与面ABC所成的角必然不等于〔A〕30°〔B〕45°〔C〕60°〔D〕90°求所有的正整数n，使得随意的初始布列，上述操作后，所得的大三角形的三个点上的字母要么全同样，要么两两不同样．

参照答案

二、填空题：〔每题9分，共54分〕第一试sinnsinsinsi1、已知，的等于．一、：24cos4cos3cos3cos2cos2coscos12345611号2、11=．答案ABDADD121231232004二、填空：1、3；2、4008；3、63；4、816；5、1；6、112．3、在Rt△ABC中，AB＝AC，以C一此中心作一个，使个的另一个焦点在AB内，且A、B点，个的离心率等于．320058三、最大2765，最小27310．四、略．五、略．4、从{1,2,3,⋯,20}中出三个数，使得没有两个数相，有种不同样的法．第二试zzzabi、、均正数，且存在复数足．一、略；二、略．三、n=1．z，ab的最大等于5abz1全国高中数学联赛模拟试题〔九〕、使不等式8n7唯一的一个整数k建立的最大正整数n．6nk1315三、〔20分〕已知数x、y足x2+y2≤5．求f(x,y)=3|x+y|+|4y+9|+|7y3x18|的最大与最小．1)作抛物y21、P2、P3、四、〔20分〕点M(2,=x的四条弦ii，且PQ(i=1,2,3,4)PP4四点的坐挨次成等差数列．求：P1MP2MP3MP4M．MQ1MQ2MQ3MQ4五、〔20分〕n正整数，r＞0数．明：方程xn+1+rxnrn+1=0没有模r的复数根．第二试

一、〔50分〕C(I)是以△ABC的内心I心的一个，点D、E、F分是从I出笔挺于BC、CA和AB的直C(I)的交点．

第一试

一、选择题：〔每题6分，共36分〕

1、已知n、s是整数．若不n是什么整数，方程x28nx+7s=0没有整数解，所有

的数s的靠拢是

〔A〕奇数集〔B〕所有形如6k+1的数集

〔C〕偶数集〔D〕所有形如4k+3的数集

2、某个有1997排等候装，要求第一必装9箱物，每相的4装数34箱．足上述要求，最罕有物的箱数是

A〕16966〔B〕16975〔C〕16984〔D〕17009

3、分外数数列{ai}足ai21aiai1ai20，且ai1ai1，i=0,1,2,⋯,n．于定的

数学n1

自然数n，a1=an+1=1，ai等于〔A〕2〔B〕1〔C〕1〔D〕0i04、已知、是方程ax2+bx+c=0〔a、b、c数〕的两根，且2是虚数，是数，5985k的是〔A〕1〔B〕2〔C〕0〔D〕3ik11b21c21a21c21a21b2，A的是5、已知a+b+c=abc，Abcacab〔A〕3〔B〕3〔C〕4〔D〕4nnn1，x16、xi∈{1,2,⋯,n}，i=1,2,⋯,n，有xi2⋯xn！，使12⋯,xn，一x=nx,x,i12定是1,2,⋯,n的一个布列的最大数n是〔A〕4〔B〕6〔C〕8〔D〕9二、填空题：〔每题9分，共54分〕2的间隔h1，到直A2、点P是凸多形12⋯An内一点，点P到直A131AAAA的间隔h2，⋯，到直An-1n的间隔hn-1，到直An1的间隔hn．若存在AA点P使a1a2an〔aiii+1，i=1,2,⋯,n1，ann1〕获得最小，此h1h2hn=AA=AA凸多形必然吻合条件．2、已知a自然数，存在一个以a首系数的二次整数系数的多式，它有两个小于1的不同样正根．那么，a的最小是．3、已知Fa,a22asin2，a、∈R，a≠0．那么，于随意的a、，F(a,)a22acos2的最大和最小分是．4、已知t＞0，对于x的方程xtx22，个方程有相异根的个数情况是．5、已知靠拢{1,2,3,⋯,3n1,3n}，可以分n个互不订交的三元{x,y,z}，此中x+y=3z，

足上述要求的两个最小的正整数n是．

6、任一个自然数k，必然存在整数n，使得xn+x+1被xk+x+1整除，的有序

数(n,k)是〔于定的k〕．三、〔20分〕正方体的某条角的截面面S，求S最大之．S最小四、〔20分〕数列{an}定以下：a1=3，an=3an1〔n≥2〕．求an〔n≥2〕的末位数．

五、〔20分〕已知a、b、c∈R+，且a+b+c=1．明：13≤a2+b2+c2+4abc＜1．27

第二试

一、〔50分〕已知△ABC中，内心I，外接⊙O，点B对于⊙O的径点K，

在AB的延上取点N，CB的延上取M，使得MC=NA=s，s△ABC的半周．明：IK⊥MN．

二、〔50分〕M是平面上所有点(x,y)的靠拢，此中x、y均是整数，且1≤x≤12，1≤y

≤13．明：好多于49个点的M的每一个子集，必包括一个矩形的4个点，且此矩形的平行于坐．

三、〔50分〕系数多式f(x)=x3+ax2+bx+c足b＜0，ab=9c．判此多式能否有三个不同样的根，明原由．

参照答案

第一试

一、：

号123456

答案CBDCCC

二、填空：1、凸多形存在内切；2、5；

3、23，23；4、9；5、5，8；6、(k,k)或(3m+2,2)〔m∈N+〕．

三、23．四、7．五、略．3

第二试一、略；二、略．三、有．

全国高中数学联赛模拟试题〔十〕

第一试

一、选择题：〔每题6分，共36分〕

1、靠拢M={2,0,1}，N={1,2,3,4,5}，照耀f：M→N使随意的x∈M，都有x+f(x)+xf(x)是奇数，的照耀f的个数是〔A〕45〔B〕27〔C〕15〔D〕112、已知sin2=a，cos2=b，0＜＜，出tan的五个答案：44①b；②a；③1b；④1a；⑤ab1．1a1babab1此中正确的选项是：〔A〕①②⑤〔B〕②③④〔C〕①④⑤〔D〕③④⑤

3、几何个棱2、3、5的方体，依同样目标拼成棱90的正方体，正方

体的一条角穿的小方体的个数是

A〕64〔B〕66〔C〕68〔D〕70

4、增数列1,3,4,9,10,12,13,⋯，由一些正整数成，它也许是3的，也许是若

数学干个3的之和，此数列的第100〔A〕729〔B〕972〔C〕243〔D〕9815、C1nCn5C9nCn4m1〔此中mn1，[x]表示不超x的最大整数〕的4〔A〕2ncosn〔B〕2nsinn44〔C〕12n12ncosn〔D〕12n12nsinn24246、一个五位的自然数abcde称“凸”数，当且当它足a＜b＜c，c＞d＞e〔如12430，13531等〕，在所有的五位数中“凸”数的个数是〔A〕8568〔B〕2142〔C〕2139〔D〕1134二、填空题：〔每题9分，共54分〕、x2y21上随意一点P，作的右准的垂PH〔H垂足〕，并延12

PH到Q，使得HQ=PH〔≥1〕．当点P在上运，点Q的迹的离

心率的取范是．

2、已知异面直a、b所成的角60°，空一点P作与a、b都成角〔0＜＜

90°〕的直l，的直l的条数是f()=．3、不等式4x222x9的解集．112x4、复数z足条件|zi|=1，且z≠0，z≠2i，又复数使得2iz数，z2的角主的取范是2i复数．122002均正数，且111112⋯a20025、a,a,⋯,a2a12a22a20022，aa的最小是．6、在一个由十制数字成的数中，假如它含有偶数个数字8，称它“”数〔如12883，787480889等〕，否称它“非”数〔如2348756，958288等〕，度不超n〔n自然数〕的所有“”数的个数之和．三、〔20分〕已知数列{an}是首2，公比1的等比数列，且前n和Sn．〔1〕用Sn表示Sn+1；2〔2〕能否存在自然数c和k，使得Sk1c＞2建立．Skc四、〔20分〕异面直a、b成60°角，它的公垂段EF，且|EF|=2，段AB的4，两头点A、B分在a、b上移．求段AB中点P的迹方程．

五、〔20分〕已知定在R+上的函数f(x)足

i〕于随意a、b∈R+，有f(ab)=f(a)+f(b)；〔ii〕当x＞1，f(x)＜0；〔iii〕f(3)=1．有两个靠拢A、B，此中靠拢A={(p,q)|f(p2+1)f(5q)2＞0，p、q∈R+}，靠拢B={(p,q)|f(p)+1=0，p、q∈R+}．能否存在p、q，使AB，明原由．2

第二试

一、〔50分〕如，AM、AN是⊙O的切，M、N是切点，L是劣弧MN上异于M、

N的点，点A平行于MN的直分交ML、NL于点Q、P．若S⊙O2S△POQ，求：3MP

OLA

NQ

∠POQ=60°．

二、〔50分〕

已知数列a1=20，a2=30，an+2=3an+1an〔n≥1〕．求所有的正整数n，使得1+5anan+1是完满平方数．

三、〔50分〕M坐平面上坐(p·2002,7p·2002)的点，此中p素数．求足以下条件的直角三角形的个数：

〔1〕三角形的三个点都是整点，并且M是直角点；

〔2〕三角形的内心是坐原点．

参照答案

第一试

一、：号123456答案ACBDDB二、填空：0,03031,301451、,1；2、f2,3060；、0,；33,083,6024,090

数学4；、2002110n18n1142．4、arctan,4002；6、5297633三、〔1〕Sn1Sn2；〔〕不存在．四、x2y21．五、不存在．1292第二试一、证略；二、n=3．三、p≠2,7,11,13时，324个；p=2时，162个；p=7,11,13时，180个．2007年全国高中数学比赛模拟试卷一、选择题1、二次函数yax2b与一次函数yaxb(ab)在一致个直角坐标系的图像为〔〕yyyyOxOxOxOx2、已知数列ABCDan满足aa,a2b,ana1an(nN*)。n项的和，则a2004S2004等于〔〕12nSn是an的前A、abB、abC、abD、ab3、在(2x)2n1的张开式中，x的幂指数是整数的各项系数之和为〔〕A、32n11；B、32n1；C、132n1；D、1(32n11)224、在1，2，3，4，5的布列a1,a2,a3,a4,a5中，满足条件a1a2,a3a2,a3a4,a5a4的布列个数是〔〕A、10；B、12；C、14；D、16.5、直线ymx3与抛物线C1:yx25mx4m,C2:yx2(2m1)xm23,C3:yx23mx2m3中最罕有一条订交，则m的取值限制B、有且仅有两组不同样的实数解C、有两组解，但不用然都是实数解D、因为k为参数，以上情况均有也许出现8、锐角△ABC中，BCa,CAb,ABc,且abc，辩解以BC，CA，AB边上的高AD，BE，CF为折线，将三角形折成平面角均为(0)的二面角，记折叠后的四周体ABCD，ABCE，ABCF体积利便为V1,V2,V3，则下边结论正确的选项是〔〕A、V1V2V3B、V1V2V3C、V1V3V2或V3V1V2D、V1,V2,V3大小不可以判断9、有九条直线，此中每一条都将一平行四边形分开成面积比为2：3的两个四边形，那么这九条直线〔〕A、存在这样的九条直线；没有两条过一致个点；

B、最罕有两条过一致个点；

C、最罕有三条过一致个点；

D、最罕有四条过一致个点；

5

10、设xiR,xi0(i1,2,3,4,5)i1xi1，则maxx1x2,x2x3,x3x4,x4x5的最小值等于〔〕A、1B、1C、1D、14364二、填空题11、设a为实数，靠拢Aa,a2,a2a,B1,1a,1a2,AB，则AB__．12、f(x)是界说在(,)上的偶函数，且f(1x)f(1x),f(x)在x(0,1)上是增函数，则f(8.1)与f(3.8)的大小关系是____________________．13、已知向量a3b与7a5b笔挺，a4b与7a2b笔挺，则向量ab与b的夹角是______．14、已知sin(a2)3，且1k,an(,,nk)Z，则an(ta)的值是____．sina22ant15、设a,b,c,d为已知常数，且bcd0，要使xaxabxabcxabcxabcdxabcd为常数，则是〔〕A、m3或m2B、m1或m182C、mRD、以上均不正确6、若对于x的不等式x2ax6a0有解，且解集的区间长不超出5个单位，满足上述要求的a的最大值为Ma、最小值为ma，则Ma－ma等于〔〕A、1B、24C、25D、26ykx2k1x的取值限制是____________________．16、如图，长方体ABCD－ABCD1，111ABa,BCb,A1A11中点，若平面A11c，E为DCBCACE所成二面角的平面角为，则Sin____________________．17、若x表示不超出x的最大整数〔如1.313等等〕则1,24D1EC1A1与平面B1cDCbAaB7、kR，则方程组24y2〔〕9x18x16y110、有且仅有一组实数解1111212323434200420032004＝____________________．

数学18、斜率1的直与x2y21交于A、B两点，P段AB上的点，且AP2.4PBP点的迹方程是____________________．

19、函数ysin2x3(sinxcosx)的最大____________________．

20、一个凸36面体中有24个面是三角形，12个面是四形，多面体的角的条数是____________________．〔不在凸多面体的一致个面内的两个凸面体的点的段叫做凸多面体的角。〕

21、全国球的某个季在H与F之角逐。采纳七局四制〔无平局〕，即如有一4，并且比束。比两方是等也许的。依据过去

料示，每比的者可票收入100万元。者在此季中，两决出后，票收入不低于500万元的概率是____________________．答案与提示一、：1、D.提示：二次函数yax2b与一次函数象yaxb交于两点(o,b)、(1,ab)，由二次函数象知，a,b同号，而由B,C中一次函数象知a,b异号，相矛盾,故舍去B,C.

又由ab知，当ab0，b，此与A中形不符，与D中形吻合.故1aD(4m)24(4m3)0,(m1)24m20,4m24(2m)0,得3m1，故吻合条件的m取范是m3或m1，B.22a224a06、D；提示由aa224aaa224a522得a0或a240解得a[25,24)(0,1]∴Mama1(25)26；故Da224a25y1K(x2)7、B提示：原方程可(1)(x1)2(y2)21(2)49(1)表示点(2,1〕的直,(2)表示,中心Q(1,2),短半2.由AQ(21)2(12)222知,A点在内部,所以,点A的直与必有两个不同样的交点.故B.2、B提示：a1a,a2b,a3ba,a4a,a5b,a6ab,a7a,a8b由此推得：an6an,anan1an2an3an4an50∴a2004a63336a6abS2004334S60∴a2004S2004ab。故B2n1r3、D提示：Tr1C2rn1x22r.因为x的指数整数,所以,r奇数.SC21n12C23n123C25n125⋯+C22nn1122n1.因为(12)2n1C20n1C21n12C2n1122⋯-C22nn1122n1,2n101122n12n18、A提示：V11BDCDA1DcbSC2CSiooinsA66abcCosBCSoisnCc3aCosACosBCosCSinbc

nsBC

b

(12)C2n1C2n12C2n12⋯-C2n12,所以,将以上两式相减,即可获得S1(32n11).4、D提示：由已知条件知只也许23,a43,a33.a25或a45，且a2当a25,a43或4当a43,有2!=2种布列:当a44,有3!=6种布列,即共有8种布列.同理,当a25,也有8种布列.故D.5、B.提示：原命可，求方程：mx3x25mx4m，mx3x2(2m1)xm23，mx3x23mx2m3中最罕有一个方程有数解，而此命的反面是：“三个方程均无数解”，于是，从全体数中撤掉三个方程均无数解的m的，使得所求.即解不等式3aCosABCosACossBCCSoin2b2c23a(a2b2c2)2a2b2c2CosACossBCCSoin13a3(a2b2c2)〔以上表示ABC面〕.K2a2b2c2CosACosBsCSoin同理可得3,KKV2,V33(a2b22C3(a2b22)bc)c因为K同样,所以,要比V1,V2,V3大小,即比a3(

b3(a2b2c2)、c3(a2b2c2)的大小.

Da

a2b2C

c2)、

数学∵ab、a2b2c2∴a3(a2b2c2)-b3(a2b2c2)=(a3b3)(a2b2)c2(a3b3)2a2b2(ab)12〔1〕-〔2〕化简得abb；〔3〕222=(a3b3)(a2b2c2)2a2b2(a∴11b2c2)b3(a2b2c2)a3(a2∴V1V2.同理,V2V3.∴V1V2V3,9、C.提示：如图，设CD为满足要求的直线，两个梯形，易知，要使这两个梯形面积之A中位线比为2：3，即AP:PB=2：3，象P这样的点有四个〔图中P,Q,R,S〕，条直线必过这四点中的一个点.依据抽屉条直线过一致个点.应选C10、B提示：0

,

选A.

S将平行四边形分红比为2：3，只需其PBR的九Q且合适条件原理知，此中必有31-2〔1〕×15+〔2〕×8化简得ab；〔〕4a.b2a22b2(a-b)22a·bb设ab与b的夹角为，则Cos(ab)·b1ab·b21200

14、ta.n(a)Si(na).Costa.nCo(sa).Sin1[Sin(a2)Sina]Sin(a2)1312Sina1Sin(a2)32[Sin(a2)Sina]11maxx1x2,x2x3,x3x4,x4x5maxx1x2,x1x4,x1x51(51xix4)3i13取x1x3x51,x2x40则31应选Bmaxx1x2,x2x3,x3x4,x4x53二：填空题11、AB1,2.提示：由AB可得a112、f(8.1)f(3.8).提示:∵f(x)在(,)上是偶函数,且f(1x)f(1x).∴f(1x)f(x1)f(x1)f(x2)f(x)

f(x)是以2为周期的偶函数

∴f(8.1)f(420.1)f(0.1),f(3.8)f(3.8)f(240.2)f(0.2)f(0.2).又∵f(x)在(0.1)上是增函数,0.1与0.2(0,1)且0.10.2,∴f(0.1)f(0.2).∴f(8.1)f(3.8).2213、(a3b)(a5b)07a16ab15b0〔1〕22(a3b)(a5b)07a16ab15b0〔2〕2Sina15、x的取值限制是abxabcd.提示:当bcd0时,有abcabcdababcdabca.所以,abxabcd,这时xaxabxcbcxabcd+xabcdxabc=xaxabxabcxabcd+xabcdxabc=b4c2d.a2bc16、Sin.b2c2c2a2a2b2a2b24b2c24c2a2提示：设D1AC中AC边上的高〔即D1到AC间隔〕为h，则2SD2222221ACbccaab.ha1a又求得SEACa2b24b2c24c2a2.2设C到平面D1AE的间隔为d,于是,由VD1EACVAED1C获得11a2b24b2c24c2a2=111acb,34abc322∴d.a2b24b2c24c2a2

数学∴Sinda2bc.hb2c2c2a2a2b2a2b24b2c217、2003．4c2a2提示：1=1n1n(n1)n1(n1n)=n1n=1n=1n1n118、轨迹是：4xy25(yx)2(yx5)3提示：设动点为P(x,y)，则过Pyx(yx).代入椭圆方程x2y21,整理得：5x24x)22(yx)x(y40(※)若直线l椭圆交于A(x1,y1)，B(x2,y2)(x1x2)，则x1,x2是方程(※)的两个根,且x1(yx)25(yx)2①5x2(yx)25(yx)2②5又∵AP2，x1x2.∴xx12x2.PB3将①、②代入并整理得：4xy25(yx)2〔yx5〕319、ymax963.提示:设参数(R),则121y2Sin2x(2Cosx)2①Sin2x(42)(2Cos2x)②2242212(42)(21)22(2)42由①、②知,取等号条件为:Cos,x231,2解得Cos31.2Co2sx.2∴y2(431)(131)2963,4(31)4即ymax963.2数学20、241提示：

凸多面体的面数F＝36，棱数E＝60，极点数V＝E+2-F＝26将极点记为i＝1，2，3，··，26设凸多面体的面中以i为极点的三角形有ti个，以i为极点的四边形有qi个

那么凸多面体的对角线总数＝126qi)2(25ti112526126ti12622i12qi2i13251243124222、0.875241提示：解一：门票收入不低于500万元比赛进行了5场或6场或7场。赛5场的概率1·313·111P1C2·2)·C4(2)(124赛6场的概率1313·1215P2··2)·C2C5(2)(1216赛7场的概率P31·C31)3·(11315C26·()·2216赛5场或6场或7场两两不可以同时发生，故门票收入不低于500万元的概率P=P+P+P=0.875123解二：恰为赛4场的概率为P’;1141C2(2)8P'故门票收入不低于500万元的概率P1P'171882007年上海市高中数学比赛〔新知杯〕试卷

〔2007年3月25日礼拜日上午8：30—10：30〕

【说明】解答本试卷不得使用计算器

一、填空题〔此题总分值60分，前4题每题7分，后4小题每题8分〕1．方程x112x243x391x1x2x3的实数解x1,x2,x3______．22．有一条长度为1的线段EF，其端点E，F在边长为3的正方形ABCD的四边上滑动，当EF绕着正方形AD的四边滑动一周时，EF的中点M所产生的轨迹的长是_______________．EMBFC3．复数数列an足a10，anan12i〔n2，i虚数位〕，它的前200711．〔安分16分〕已知抛物y22pxp0，的和_______________．AB是中心F的弦，假如AB与x所成的角4．已知l是大小45的二面角，C二面角内必然点，且到半平面和的0，求AOB．2间隔分2和6，A，B分是半平面，内的点，ABC周的最小_______________．5．已知平面直角坐系中点与点的法f:Pm,nP'm,nm0,n0．若一段曲在法f下的一段弧x2y21x0,y0，段曲的方程是________________．a2b26．已知fncosn，算：f1f3f2n1_______________．47．已知数列xn足x10，x21，xnxn1xn2n3，数列xn的通公式2xn_______________．8．已知M：224，x上的点Pa,0存在M的割PBA，使x1y3得PABA，点P的横坐a的取范是_______________．二、解答9．〔安分14分〕随意正整数n，用Sn表示足不定方程111的正整xyn数x,y的个数，比方，足111的正整数有6,3，4,4，3,6三个，xy2S23．求出使得Sn2007的所有正整数n．10．〔安分14分〕已知对于x的方程x3sinsin2x26x40有三个正根，求u9sin24sin3的最小．1cos2cos6sin3sin22

12．〔安分16分〕求足以下条件的最小正整数n，在周上任取n个点A1，

A2，⋯，An，在Cn2个角AiOAj1ijn中，最罕有2007个不超120．

2007年上海市高中数学比赛〔新知杯〕试卷

参照答案1.(2,8,18)2.83.–1003+2i4.1022x2(1)n/2偶数5.(1)6.22nyba2)(0xa1n/20.5奇数()*n227.22*(1)n18133a1333329.1003也许334也许4111也许111nP1nP1P2nP1P2nP1P2P3此中P1,P2,P3是不同样的质数10当sin2/9时，Umin621/811.4arctan12913sin2007年浙江省高中数学比赛〔B卷〕参照答案

数学一、选择题

1.已知靠拢Axx2x20,xR，Bxx210,xR，则AB＝〔D〕Ax1x2Bxx1,or1x2C.x1x2D.x1x2解：x2x20(x2)(x1)01x2x210|x|1x1,oxr.从而可得ABx1x2。2.当x0,时，下边四个函数中最大的是〔C〕。4A.sin(cosx)B.sin(sinx)C.cos(sinx)D.cos(cosx)解：因为x0,，所以0sinx2coxs。1于是有cos(sixn)，42cosx(cossin(sinx)sin(cosx)。又因为sinxcosx2sin(x)2，即oscxnisx，422所以有sin(cosx)sin(2sinx)cos(sinx)。所以，cos(sinx)最大。3.已知椭圆x2y21上一点A到左中心的间隔为3，则点Ａ到直线x43的间隔43为〔C〕A.2B.2(233)C.2(433)D.433333解：设左右中心为F1,F2，则AF1AF24，AF13,AF243。椭圆的离心率为ec3。而x43即为右准线，由界说得，A到直线x43的间隔等于a2334332(433)。324.设分外值函数f(x)(xR)是一个偶函数，它的函数图像yf(x)对于直线x2对2称，则该函数是〔C〕A.非周期函数B.周期为2的周期函数2C.周期为2的周期函数D.周期为2的周期函数解：因为偶函数对于y轴对称，而函数图像yf(x)对于直线x2对称，则22x)f(2f(x)，22即f(x2)f(2(2x))f(x)f(x)。故该函数是周期为2的周期函数。225.假如f(x)1logx2logx29logx364，则使f(x)0的x的取值限制为〔B〕A.0x1B.18C.1x8xxD.33解：明显x0，且x1。f(x)1logx2logx29logx3641loxg2xl3ogx3loxgx。8要使f(x)0。当x1时，3x1，即1x8；当0x1时，3x1，此时无解。838。8由此可得，使f(x)0的x的取值限制为1x36.设f(x)min2x4,x21,53x，则maxf(x)〔〕A.１B.２Ｃ.３D.４解：作图比较简单获得maxf(x)2。二、填空题数学三、7.已知平面上不共的四点O,A,B,C。若OAOB3OC20AB，2。BC解：因3OBOA2OC，所以OBOA2(OCOB)。于是有AB2BC。所以AB

。BC

8.已知数列an，a11，前n部分和Sn足SnSn1Sn1Sn2SnSn1，an1n18(n1)n。1解：SnSn1Sn1Sn2SnSn1SnSn1(SnSn12)0SnSn12S2(n1)12n1Sn(2n1)2。n于是anSnSn1(2n1)2(2n3)28(n1)，〔n1〕。9.方程16sinxcosx16x1的解靠拢1,1。x44解：当x0，16x18，〔x1取到等号〕。169的整数部分。N(2)16942，N(3)16918，N(4)10，q22232N(5)6,N(6)4，N(7)3,N(8)2,N(9)2,N(10)N(11)N(12)N(13)1.所以，取法共有N(1)N(2)N(13)91。12.整数xyz，且2x2y2z4.625，x,y,z分2,1,3。解：方程两同乘以８，得2x32y32z337。因xyz，所以要使左奇数，唯有2z31，即z3。2x32y3362x12y19。要使左奇数，唯有2y11，即y1。从而有2x18，即x2。故有x2,y1,z3。四、解答13.P，Q周x2y21上的两点，且足与内必然点A(0,1)，使PAQ，22x41kk,而16sinxcosx8sin2x8，〔xZ取到等号〕。于是有当x0，方4程唯有一个解x1。因为奇函数的性，可知x1是方程的另一解。44故方程的解靠拢1,1。4410.今日是礼拜天，再20072007天后是礼拜六。解：20072007(72865)20077M520077M53669求P和Q的两条切的交点M的迹。解法一：接PQ，OM，由的切性知OM中点。2M(x,y)，OM2y2，OEOPx2OMxyx2y2,x2y2。PQ，且PQ与OM交点EPQ的

1。从而获得E点的坐

x2y2

117M1(7176)6697M2(71)6697M317M46此中M1,M2,M3,M4均正整数。所以答案礼拜六。从１至169的自然数中随意拿出３个数产生以整数公比的增等比数列的取法有因为PAQ，所以EAEP。又EP1OE2，于是有21OE2EA2，即有11y2(xy2)2(y1)2x2x2x2y22_种。

解：若拿出的３个数产生增等比数列a,aq,aq2，有1aaqaq2169。由此有

2q13。

当q牢靠，使三个数a,aq,aq2整数的a的个数作N(q)。由aq2169，知N(q)是化得x2y24y8。上述以33解法二：P，Q的坐

0,2心，27半径的周。33

x1,y1,x2,y2。由意知，P，Q的切方程分

x1xy1y1⋯⋯⋯⋯①x2xy2y1⋯⋯⋯⋯②x12y121⋯⋯⋯⋯③数学x22y221⋯⋯⋯⋯④由PAAQ，得x1x2(y11)(y210⋯⋯⋯⋯⑤2)2若①和②的交点仍x,y，由此获得y11x1x,y21x2x(y0)yy代入③和④，得2x21x1x1(x2y2)x122x1xy211y1x2x2x221(x2y2)x222x2xy21y立上述两式，即得(x2y2)x12(x2y2)x222x(x1x2)因x1x2，所以(x2y2)(x1x2)2x，即x1x2x22x。y2同理可得y1y22y。于是有x1x22y124x2y2y2x2y2x1x2yy1212x2y2再由⑤式，推出x1x2y1y21(y1y2)10。2y23。44y8。由上可得，y2y2即有x2y2x2x2433上述以0,2心，27半径的周。当y0,x8，也吻合所333求的迹。14.f(x,y,z)sin2(xy)sin2(yz)sin2(zx)，x,y,zR，求f(x,y,z)的最大。解：f(x,y,z)sin2(xy)sin2(yz)sin2(zx)1[1cos2(xy)1cos2(yz)1cos2(zx)]231[(cos2xcos2ysin2xsin2y)(cos2ycos2zsin2ysin2z)]221(cos2zcos2xsin2zsin2x)231[(cos2xcos2ycos2z)2(sin2xsin2ysin2z)23]339，24244当x,y2,z3，上式可以取到等号。故函数f(x,y,z)的最大是9。3334nn(xixj)215.xi1,xi0，求：nxi21。xixji1i1ijnnxi20，故有xi明：因xi1，所以有2xixj1。又xixj1。于是有i1i1ijn(xixj)2nnxi2nxi2(xixj)2xixji1iji1ij得。nnnnxi2(n1)xi22xixjxi22xixj1.i1i1iji1ij2007年浙江省高中数学〔Ａ卷〕参照答案1.假如f(x)1logx2logx29logx364，使f(x)0的x的取范〔B〕A.0x1B.18C.1xD.8xx333x。解：然x0，且x1.f(x)1logx2log29log3641logx2logx3logx4logxxx81，3x8；当01，3x要使f(x)0。当x1，即1xx1，此无解。838由此可得，使f(x)0的x的取范1x8。32.已知靠拢Axcos2x2(12)sinx(221)0,xR，Bxsinxcosx,xR，AB＝〔C〕A.xxB.ＲC.D.x2kx(2k1),kZ44解：cos2x2(12)sinx(221)0sin2x(12)sinx20(sinx2)(sinx1)0没有数x可以使上述不等式建立。故A。从而有AB。3.以1,1,1,2,2,2六条棱的四周体个数〔B〕A.2B.3C.4D.6解：以些三角形有四种：(1,1,1)，(1,1,2)，(1,2,2)，(2,2,2)。牢靠四周体的一面作底面：当底面的三(1,1,1)，其他三的取法唯有一种情况，即(2,2,2)；当底面的三(1,1,2)，其他三的取法有两种情况，即(1,2,2)，

(2,1,2)。其他情况获得的四周体均在上述情况中。由此可知，四周体个数有３个。4.从１至169的自然数中随意拿出３个数产生以整数公比的增等比数列的取法有

数学〔C〕种。A.89B.90C.91D.92解：若拿出的３个数产生递加等比数列a,aq,aq2，则有1aaqaq2169。由此有2q13。当q固准时，使三个数a,aq,aq2为整数的a的个数记作N(q)。由aq2169，知N(q)应是169的整数部分。N(2)16942，N(3)169，N(4)10，q2223218N(5)6,N(6)4，N(7)3,N(8)2,N(9)2,N(10)N(11)N(12)N(13)1.所以，取法共有N(1)N(2)N(13)91。5.若在复平面上三个点A(0),B(z0z),C(z0z)产生以A为直角极点的等腰直角三角形，此中z012i，则△ABC的面积为〔A〕13324B.C.1D.A.333解：依题意，z0ziz1iz0iz0，z021。z0z1i131△ABC的面积为1122ABAC2z0zz0z2(1i)(1i)z03。6.2007200720072007重的末二位数字是〔C〕A.01B.07C.43D.492007解：记Nk20072007ｋ。题目要求N2007的末二位数。N20072007N2006(20007)N2006重2000M7N2006此中M为正整数。由此可得N2007的末二位数与7N2006的末二位数字同样。开始来观察7n的末二位数字的变化规律。n234567897n的末二位数4943010749430107字7n的末二位数字的变化是以４为周期的规律循环出现。N2006(2007)N2005(50241)N2005〔N2005为奇整数〕4M11〔M1为正整数〕4(M11)3所以，7N200674(M11)3与73的末二位数字同样，为43。填空题4的单一递加数列，且满足an2an27.设an为a11168(an1an)2an1an，则an4n2。解：an21an2168(an1an)2an1an(an1an)28(an1an)164an1an(an1an4)24an1ana1a42aan〔由题意可知取正号。〕nnn1(an1an)24an1an2所以，an公差为２的等差数列，即an2n。从而可得an4n2。8.设a,b,c为方程x3k1xk20的根〔k1k21〕，则1a1b1c3k13k2。1a1b1c1k1k2解：由题意，x3k1xk2(xa)(xb)(xc)。由此可得abc0，abbccak1，abck2以及1k1k2(1a)(1b)(1c)。1a1b1c3(abc)(abbcca)3abc3k13k2。1a1b1c(1a)(1b)(1c)1k1k29.设xk,yk(k1,2,3)均为非负实数，则2007y1y2y32x32y32x22y22x12y12(x1x2x3)2的最小值为2007。O(0,0)A(0,2007)解：在直角坐标系中，作点，，P1(x1x2x3,y1)，P2(x2x3,y1y2)，P3(x3,y1y2y3)。则I＝2007y1y2y32x32y2x2y2x2y2(xxx)223221113＝AP3＋P3P2＋P2P1＋PO1〔应用三角不等式〕AP2＋P2P1＋PO1AP1＋PO1AO＝2007。假如取AP1P2P3，